统计学 静态分析指标课件

1、第四章数据分布特征的描述集中趋势(平均指标) (位置)离中趋势(标志变异指标) (分散程度)偏态和峰度（形状）一、数据分布的特征数据分布的特征和测度数据的特征和测度分布的形状集中趋势离散程度众 数中位数均 值离散系数方差和标准差峰 度四分位差偏 态 第三节 平均指标 变量集中趋势的测度一、集中趋势指标的概念及作用1.概念也称平均指标或平均数用来反映标志值的典型水平或标志值分布的中心位置或集中趋势2.作用反映变量分布的集中趋势和一般水平。可用来比较同一总体在不同空间的发展水平可用来分析现象之间的依存关系是统计推断中一个重要的统计量。二、数值平均数（一）算术平均数最常用的平均数。基本形式是数据和除

2、以数据项数。1、简单算术平均数应用条件：资料未分组，各组出现的次数都是12、加权算术平均数应用条件：适用于已分组的统计资料3、举例例1：某车间20名工人加工某种零件资料： 按日产量分组（件）x工人数（人）f 14 2 15 4 16 8 17 5 18 1 合计 20日产总量 xf 28 60 128 85 18 319例3：由比重权数计算的应用条件：已知比重权数（次数是比重）按日产量分组（公斤）人数比重（%）组中值x 2030 5 25 3040 35 35 4050 45 45 5060 15 55抽奖返利，顾客真的受益？ 某大商场策划了一次“还利给顾客”活动，凡一次购物100元以上（含1

3、00元）均可当场抽奖。奖金分配见下表商场提醒 : 平均每份奖金249元，莫失良机呦！等级一等奖二等奖三等奖四等奖幸运奖奖金数15000800010008020中奖人次41070360560（三）是非标志的平均数是非标志:如果按照某种标志把总体只能分为具有某种特征的单位和不具有该种特征的单位两部分，这个标志就是是非标志。（四）算术平均数的数学性质1、各个变量值与其算术平均数的离差之和等于零 对简单算术平均数： 对加权算术平均数：算术平均数的数学性质2、各个变量值与其平均数离差平方和为最小值 或 算术平均数的数学性质4、给每个变量值乘以或除以一个任意数A，则算术平均数也相应扩大或缩小A倍。（五）算

4、术平均数的适用范围1、当变量值是绝对数时，变量值之间是和的关系，在这种情况下，反映现象的平均水平用算术平均数。2、当变量值是相对数或平均数时，变量值之间既不存在和的关系，也不存在相乘的关系，而且已知的是分母资料，在这种情况下，反映现象的平均水平用算术平均数。（二）调和平均数又称倒数平均数，为各个标志值倒数的算术平均数的倒数。记m为各组标志总量，即m=xf,则公式为：例1速度 x 行走里程 m 20 1 15 2 10 3 合计 6 所需时间1、简单调和平均数应用条件：资料未分组，各变量值次数都是1。计算公式:举例:一个人步行两里，走第一里时速度为每小时候10里，走第二里时为每小时20里，则平均

5、速度为： 2、加权调和平均数计算公式：应用条件：资料经过分组，各组次数不同。3、调和平均数的适用范围当变量值是绝对数时，变量值之间是和的关系，而且已知的是分子资料，在这种情况下，反映现象的平均水平用调和平均数。练习题：甲、乙两地同种商品的资料如下表，比较哪个地区的平均价格高并说明原因等级价格甲地销额(元)乙地销量1级1.3130010002级1.2240010003级1.111002000合计_48004000简单几何平均数 例：某企业生产某种产品需经过三个连续作业车间才能完成。总的产品合格率三个车间平均合格率车间投入量产出合格品量合格率% x 一 1000 800 80 二 800 720

6、90 三 720 504 70例： 将一笔钱存入银行，存期10年，以复利计息，10年的利率分别是第1年至第2年为5%、第3年至5年为8%、第6年至第8年为10%、第9年至第10年12%，计算平均年利率。 设本金为年份累计存款额本利率%1105%2105%3108%10112%本利率x年数f 105% 2 108% 3 110% 3 112% 2 合 计 10平均年利率=8.77%3、几何平均数的适用范围当变量值是相对数，而且变量值之间存在连乘关系，反映现象的一般水平时采用几何平均数。三、众数与中位数（一）众数(概念要点)出现次数最多的变量值不受极端值的影响，可能没有众数或有几个众数主要用于定类

7、数据，也可用于定序数据和数值型数据无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5多个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42定类数据的众数(算例)表3-1 某城市居民关注广告类型的频数分布 广告类型人数(人)比例频率(%) 商品广告 服务广告 金融广告 房地产广告 招生招聘类 其他广告112 51 91610 20.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.5 4.5 8.0 5.0 1.0合计 2001100.0【例】根据表3-1中的数据，计算众数解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量

8、值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即 Mo商品广告定序数据的众数(算例)【例】根据表3-2中的数据，计算众数解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意表3-2 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)百分比 (%) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意24108934530836311510合计300100.0数值型数据的众数(算例)1、由未分组资料确定众数例：7名工人日产量（件）

9、为4、5、6、6、6、7、8。 2、由单项数列确定众数按日产量分组（件）工人数（人）2015213022202310则众数是63、数值型分组数据的众数（1） 众数的值与相邻两组频数的分布有关（4） 该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布（2） 相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数Mo（3）相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算MoMo3、数值型分组数据的众数年人均纯收入（千元）农户数（户）5以下2405648067110078700893209以上160合计3000（1）确定众数组（在67千元组）（2）计算众数以下限公式为例：数值型分组数据的众数(算例)表3-5 某车间50

10、名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合计50【例】根据表3-5中的数据，计算50名工人日加工零件数的众数（二）中位数 和分位数1、概念1）按某一标志值大小顺序排列后处于中间位置上的值Me50%50%2）不受极端值的影响3） 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即2、中位数位置的确定未分组数据：分组数据：1）未分组数据的中位数(计算公式)3、中位数的计算数值型未分组数据的中位数 (5个数据的算例)原始数据: 24 22 21 26 20中位数 22 排

11、 序: 20 21 22 24 26 位 置: 1 2 3 4 5数值型未分组数据的中位数 (6个数据的算例)原始数据: 10 5 9 12 6 8位置N+126+123.5中位数8 + 928.5排 序: 5 6 8 9 10 12位 置: 1 2 3 4 5 62）由单项数列确定中位数例：中位数为第40 名的日产量 按日产量分组（件）x工人数（人）f2010221524302625合计80累计次数向上累计向下累计1080257055558025（1）根据位置公式确定中位数所在的组（2）采用下列近似公式计算（3） 该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布3、由组距式分组计算中位数数值型分组数

12、据的中位数(算例)表3-5 某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合计50【例】根据表3-5中的数据，计算50 名工人日加工零件数的中位数4、四分位数(概念要点)1）排序后处于25%和75%位置上的值2） 不受极端值的影响3）主要用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据QLQMQU25%25%25%25%四分位数(位置的确定)未分组数据：组距分组数据：4下四分位数(QL)位置 =N+1上四分位数(QU)位置 =3(N+1)4下四分位

13、数(QL)位置 =N4上四分位数(QL)位置 =3N4定序数据的四分位数(算例)【例】根据表3-2中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位数解：下四分位数(QL)的位置为： QL位置(300)/475 上四分位数(QL)的位置为： QU位置(3300)/4225从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中。因此 QL 不满意 QU 一般表3-2 甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2410893453024132225270300合计300数值型未分组数据的四分位数 (7个（N+1能被

14、4整除）数据的算例)原始数据: 23 21 30 32 28 25 26QL= 23N+17+1QL位置 =4=4= 2QU位置 =3(N+1)43(7+1)4 = 6QU = 30 排 序: 21 23 25 26 28 30 32 位 置: 1 2 3 4 5 6 7数值型未分组数据的四分位数 (6个（N+1不能被4整除）数据的算例)原始数据: 23 21 30 28 25 26排 序: 21 23 25 26 28 30位 置: 1 2 3 4 5 6QL= 21+0.75(23-21) = 22. 5QL位置 =N+14=6+14= 1.75QU位置 =3(N+1)43(6+1)4=

15、5.25QU = 28+0.25(30-28) = 28.5数值型分组数据的四分位数(计算公式)上四分位数: 下四分位数: 数值型分组数据的四分位数(计算示例)QL位置50/412.5QU位置350/437.5表3-5 某车间50名工人日加工零件数分组表按零件数分组频数（人）累积频数105110110115115120120125125130130135135140 3 5 81410 6 4381630404650合计50【例】根据表3-5中的数据，计算50 名工人日加工零件数的四分位数四、切尾平均数和温氏化平均数（一）切尾平均数将变量值两端的个别极值切去，对中间的变量值进行平均。缺点：极端

16、值未起任何作用（二）温氏化平均数1、首先计算四分位数： 例：某比赛中，11名评委对某歌手的打分分别为8.0 9.0 9.1 9.2 9.2 9.3 9.4 9.4 9.4 9.5 9.8 在 处 ， 在 处 ， 在 处2、温氏化平均数返回众数、中位数和均值的比较众数、中位数和均值的关系对称分布 均值= 中位数= 众数左偏分布 众数中位数均值 右偏分布众数中位数均值离散趋势的测度第四节 标志变异指标一、离散程度指标及其作用也叫标志变异指标。反映各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势。作用：（1）说明数据离散程度（2）衡量集中趋势测度值的代表程度（3）是统计推断中重要尺度指标离散程度的测度

17、指标一. 极差、四分位差二平均差 三.方差及标准差四.相对离散程度：离散系数二、极差、四分位差和平均差（一）极差1. 一组数据的最大值与最小值之差2. 易受极端值影响7891078910未分组数据 R = max(Xi) - min(Xi).=组距分组数据 R 最高组上限 - 最低组下限3. 计算公式为（二）四分位差【例】根据表3-2中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位差解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 已知 QL = 不满意 = 2， QU = 一般 = 3四分位差： QD = QU - QL = 3 2 = 1表3-2 甲城市家庭对住

18、房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2410893453024132225270300合计300QD = QU - QL（三）平均差(概念要点及计算公式)1. 各变量值与其均值离差绝对值的平均数2. 能全面反映一组数据的离散程度3. 数学性质较差，实际中应用较少1、简单平均差2、加权平均差举例：前例按日产量分组kg）工人数f组中值x20301025304070354050904550603055合 计2001704902703901320平均差的优缺点优点：平均差是根据全部数值计算的，受极端值影响较全距小。缺点：由于采取绝对值的方法消

19、除离差的正负号，数学性质不是最好，因而应用较少。三、方差和标准差(概念要点）1.最常用的测度值2.反映了数据的分布3.反映了各变量值与均值的平均差异4.根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4 6 8 10 12X = 8.3标准差的计算1、简单标准差公式：应用条件：资料未分组，各组次数都是1。2、加权标准差公式：应用条件：资料经过分组，各组次数不同。例：日产量（kg）工人数f组中值x20301025304070354050904550603055合 计200288034308105070121903、是非标志的平均数是非标志:如果按照某种标志把总体

20、只能分为具有某种特征的单位和不具有该种特征的单位两部分，这个标志就是是非标志。是非标志的平均数平均数的计算：把具有某种特征的用“1”表示，不具有该种特征的用“0”表示。 是非标志 x单位数 f比重 1 0 合 计 N 1是非标志的标准差如前：是非标志的平均数为P。标志值x单位数f10合计N标准差在实际应用中最为广泛。而方差有良好的数学性质4、方差的数学性质（1）常数的方差为0（2）所有变量都加上（或减去）常数a，方差不变（3）所有变量都乘以常数a，则方差将乘以a2（4）分组条件下，总体方差 等于组间方差 与平均组内方差的和5、标准化值用于比较来自不同均值和标准差的个体的数据公式：实质上是把不同

21、均值和标准差的总体转换为均值为0，标准差为1的总体，将各个体数据转换为其在总体中的相对位置。6、对称钟形分布中的3 法则绝对数形式变异指标的适用条件当两个或多个数列的平均水平相等时,对比数列标志值间的变异程度及平均水平的代表性,用绝对数形式的变异指标。指标值越大，说明变异程度越大，平均水平的代表性越不好；反之亦然。相对离散程度：四、离散系数离散系数(概念要点和计算公式)1.标准差与其相应的均值之比2.消除了数据水平高低和计量单位的影响3.测度了数据的相对离散程度4.用于对不同组别数据离散程度的比较5. 计算公式为离散系数（实例和计算过程）表4-7 某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品

22、销售额（万元）X1销售利润（万元）X21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表4.7。试比较产品销售额与销售利润的离散程度离散系数(计算结果)X1=536.25（万元）S1=309.19（万元）V1=536.25309.19=0.577S2=23.09（万元）V2=32.521523.09=0.710X2=32.5215（万元）结论： 计算结果表明，V1 0为右偏分布 5. 偏态系数 0为左偏分布偏 态(实例)【例】已知1997年我国农村居民家庭按纯收入

23、分组的有关数据如表4.9。试计算偏态系数表4-10 1997年农村居民家庭纯收入数据按纯收入分组（元）户数比重（%）500以下500100010001500150020002000250025003000300035003500400040004500450050005000以上2.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94户数比重(%)252015105农村居民家庭村收入数据的直方图偏态与峰度(从直方图上观察)按纯收入分组(元)100050015002000250030003500400045005000结论：1. 为右偏分布 2. 峰度适中偏态系数（计算过程）表4-10 农村居民家庭纯收入数据偏态及峰度计算表按纯收入分组（百元）组中值Xi户数比重(%)Fi(Xi- X ) 3 Fi(Xi- X ) 4Fi5以下5101015152020252530303535404045455050以上2.57.512.517.522.527.532.537.542