高三数学总复习 课时提升作业(二十三) 章 八节 正弦定理、余弦定理的应用举例 文

1、PAGE 7 -课时提升作业(二十三) 第三章 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题1.某水库大坝的外斜坡的坡度为512,则坡角(A)1213(B)513(C)52.(2013太原模拟)如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是,(),则A点离地面的高度AB等于( )(A)asinsinsin(-)(B)(C)asincossin(-)3.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=3,则SABC等于( )(A)2(B)3(C)32(D)24.(2013咸阳模拟)如图所示,在山底A处测得山顶B的

2、仰角CAB=45,沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S点,又测得山顶仰角DSB=75,则山高BC为( )(A)500m(B)200m(C)1000m(D)1000m5.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与货轮相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行,30分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为( )(A)20(6+2)海里/小时(B)20(6-2)海里/小时(C)20(6+3)海里/小时(D)20(6-3)海里/小时6.(2013宜春模拟)从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60,从电视塔的西偏南30的B处,测得塔顶仰角为45,A,B间距离是3

3、5m,则此电视塔的高度是( )(A)5m(B)10m(C)4 90013二、填空题7.(2013延安模拟)在ABC中,A=60,AC=8,SABC=43,则BC=.8.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距m.9.(2013长沙模拟)如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30方向上,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,且与灯塔S相距82n mile.此船的航速是32n mile/h,则灯塔S对于点B的方向角是.三、解答题10.(2013宜春模拟)在ABC中

4、,sin(C-A)=1,sinB=13(1)求sinA的值.(2)设AC=6,求ABC的面积.11.如图,某观测站C在城A的南偏西20的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40的公路,在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少千米?12.(能力挑战题)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相

5、遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.答案解析1.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.【解析】选B.由tan=512,得125sin=cos,代入sin2+cos2=1,得sin=2.【解析】选A.由已知得DAC=-,由正弦定理得,DCsinDAC=所以AC=DCsinDsinDAC=故AB=ACsin=asinsin3.【思路点拨】由角A,B,C依次成等差数列可得B,由正弦定理得A,从而得C,再用面积公

6、式求解即可.【解析】选C.角A,B,C依次成等差数列,A+C=2B,B=60.又a=1,b=3,asinA=bsinA=asinBb=321又ab,AB,A=30,C=90.SABC=1213=3【变式备选】在ABC中三条边a,b,c成等比数列,且b=3,B=3,则(A)32(B)34(C)334【解析】选C.由已知可得b2=ac,又b=3,则ac=3,又B=3SABC=12acsinB=123324.【解析】选D.SAB=45-30=15,SBA=ABC-SBC=45-(90-75)=30,在ABS中,AB=ASsin135sin30=1 000BC=ABsin45=10002225.【解析

7、】选B.由题意知SM=20,SNM=105,NMS=45,MSN=30.在MNS中利用正弦定理可得,MNsin30=MN=20122+6货轮航行的速度v=10(6-2)6.【思路点拨】画出示意图,将条件转化为三角形的边和角,然后利用三角函数和余弦定理求解.【解析】选A.作出示意图(如图所示).设塔高为hm.在RtAOC中,tanOAC=OCOA=OCtanOAC=htan60在AOB中,AOB=150,OB=h,AB=35.由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB,即352=(3h3)2+h2-23h3h整理得73h2=352,解得h=521【方法技巧】测量高度的一般思路解决

8、高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.7.【解析】由条件知SABC=12bcsinA=12bc=34bc=43.又b=AC=8,c=2.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=82+22-282cos60=52.a=213,即BC=213.答案:2138.【解析】如图,OM=OAtan45=30,ON=AOtan30=3033=103由余弦定理得MN=900=300=103(m).答案:1039.【解析】由已知可得,AB=32n mile/h12

9、BS=82n mile,BAS=30,由正弦定理得ABsinASB=sinASB=ABsin30BS=16又0ASB180,得ASB=45或135,若ASB=45,则ABS=105,此时,S在点B的北偏东75方向上;若ASB=135,则ABS=15,此时,S在点B的南偏东15方向上.答案:北偏东75或南偏东15【方法技巧】测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离.(2)用正弦定理或余弦定理解三角形.(3)将解得的结果转化为实际问题的解.同时注意把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形时条件不具备,需要先在其他三角形中求解相关量.1

10、0.【解析】(1)在ABC中,A,B,C(0,),而sin(C-A)=1,C-A=2,即C=A+sinB=sin(A+C)=sin(2A+2)=cos2A=1-2sin2A=13.(2)在ABC中,由正弦定理得:BCsinA=ACsinB,即BC33又由sinC=sin(A+2)=cosA=1-sinSABC=12ACBCsinC=12632=32.11.【解析】在BCD中,BC=31,DB=20,DC=21,由余弦定理得cosBDC=D=202+2所以cosADC=17,故sinADC=4在ACD中,由条件知CD=21,BAC=60,所以sinACD=sin(60+ADC)=3217+124在ACD中,由正弦定理得ADsinACD=即AD53所以AD=2132所以此车距离A城15千米.12.【思路点拨】第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式.第(2)问建立速度与时间的函数关系式.【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里,则s=900=900=900(t-故当t=13时,smin=103此时v=10313即小艇以303(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2=400+