数列的极限课件-3

1、第二节 数列的极限一、 数列极限的定义二、 数列极限的性质三、 收敛准则第二节 数列的极限一、 数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放刘徽概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正 形2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”一、数列极限的定义例如一、数列极限的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数注意：1.数列对应着数轴上一个点列.

2、可看作一动点在数轴上依次播放数列的极限播放数列的极限问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定数列的极限课件_3定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式e N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式二、数列极限的性质证: 用反证法.及且取因故存在 N1 , 2、有界性例如,有界无界2、有界

3、性例如,有界无界定理2 收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.定理2 收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.3. 收敛数列的保号性.若且时, 有证:对 a 0 ,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)3. 收敛数列的保号性.若且时, 有证:对 a 0 ,取4、子数列的收敛性注意：例如，4、子数列的收敛性注意：例如，定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证证毕定理4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证证毕定

4、义5 数列xn的项若满足x1x2xnxn+1,则称数列xn为单调增加数列; 若满足x1x2xnxn+1,则称数列xn为单调减少数列; 当上述不等式中等号都不成立时,则分别称xn 是严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则1 单调增加且有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限.三、收敛准则定义5 数列xn的项若满足x1x2xnxn+数列的极限课件_3数列的极限课件_32. 夹逼准则 (准则2)证: 由条件 (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件 (1)即故 2. 夹逼准则 (准则2)证: 由条件 (2) ,当时,当例5. 证明证: 利用夹逼准则 .且由例5. 证明证: 利用夹逼准则

5、 .且由五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.数列收敛的准则:单调有界准则、夹逼准则.五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、思考题证明要使只要使从而由得取当 时，必有 成立思考题证明要使只要使从而由得取当 时思考题解答（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大” 的值思考题解答（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没从而 时，仅有 成立，但不是 的充分条件反而缩小为从而 练 习 题练 习 题一、概念的引入一、概念的引入数列的极限课件_3数列的极限课件_3数列的极限课件_3数列的极限课件_3数列的极限课件_3数列的极限课件_3数列的极限课件_3数列的极限课件_3数列的极限数列的极限数列的极限课件_3数列的极限课件_3数列的极限课件