文科高数函数的连续性课件

1、改变量,(可正可负)的改变量 ,（可正可负)当自变一、函数的连续性1. 自变量的改变量和函数的改变量（1）自变量的改变量（2）函数的改变量第三节 函数的连续性与间断点改变量,(可正可负)的改变量 ,（可正可负)当自变一、函数的注:yxDD,分别为整体记号 ,不能理解为及曲线上相应点的纵坐标的改变量。21.0=11.122-=)1()1.1(-=ff)1()1.01(-+=ff解)()(00-D+=Dxfxxfy注:yxDD,分别为整体记号 ,不能理解为及曲线上相应点的定义1 如果0=)()(lim000-D+Dxfxxfxlim0=DDyx则称函数)(xfy=在0 x点连续.在上述定义中,)(

2、)(lim00 xfxfxx=从而定义2)()(lim00 xfxfxx=如果则称函数)(xfy=在0 x点连续.2.函数在点0 x处的连续性指出:定义1与定义2是等价的.定义1 如果0=)()(lim000-D+Dxfx例2 证明函数1)(3+=xxf在2=x处连续证明9=)1(lim32+=xx)(lim2xfx所以函数1)(3+=xxf在2=x处连续。【注】若)()(lim00 xfxfxx=- ,则称函数)(xfy=在0 x点左连续。 若)()(lim00 xfxfxx=+ ,则称函数)(xfy=在0 x点右连续。函数)(xfy=在0 x点连续的充分必要条件是:函数)(xfy=在0 x

3、点既左连续且右连续。因为结论:例2 证明函数1)(3+=xxf在2=x处连续证明9=)1(练习证由定义1知练习证由定义1知右连续但不左连续 ,右连续但不左连续 ,3.函数在区间上的连续性在左端点ax=处右连续则称函数连续点的全体所构成的区间 ,称为函数的连续区间。bx=处左连续 , 且在右端点)(xf在闭区间上连续,()若函数)(xf在开区间内每一点都连续。()若函数)(xf在开区间内连续 , 则称在开区间内连续。在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。3.函数在区间上的连续性在左端点ax=处右连续则称函数连续点证明证明4. 初等函数的连续性函数的连续性是通过极限来定义的 , 因此

4、,由极限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：法则1(连续函数的四则运算),设函数)(xf和)(xg均在0 x点连续 , 则)()(xgxf、)0)(0 xg都在0 x点连续。即4. 初等函数的连续性函数的连续性是通过极限来定义的 , 因法则2 (反函数的连续性) 单调连续函数的反函数在其对应的区间上是连续的。基本初等函数在其定义域内是连续的。应用函数连续的定义与上述两个法则，可以证明法则2 (反函数的连续性) 单调连续函数的反函数在其对应的 设函数)(uf在点0u处连续 ,函数)(xuj=在点0 x处连续 ,且)(00 xuj= , 则法则3 说明连续函数的复合函数仍为连续函数，并可

5、得如下结论：例如 0=0)sinlimarctan(=xx)arctan(sinlim0 xx复合函数在点0 x处连续。(复合函数的连续性)法则3 设函数)(uf在点0u处连续 ,函数)(xuj=在点0 x法则xx1)1ln(+=0 xlim解又由于函数uln在eu=处是连续的 ,故1=ln=e)1ln(+xx0 xlim令xu)1(+=x1e=0 xx+)1(limx1)1ln(+=x0 xlimx1指出:法则xx1)1ln(+=0 xlim解又由于函数uln在eu解解练习解解练习定理 由于基本初等函数在其定义域内是连续的 ，初等函数在其定义区间内是连续的。 若)(xf为初等函数 ,且0 x

6、在其定义区间内 ,则这表明:对连续函数在连续点求极限,只需求该点函数值.由以上法则，可得：例5 求2211limxx-23=1lim221-xx解因此，初等函数的定义区间就是它的连续区间。定理 由于基本初等函数在其定义域内是连续的 ，初等函数在练习求下列函数的连续区间，并求极限：解1解2练习求下列函数的连续区间，并求极限：解1解2如果函数)(xf在点0 x处不连续 , 就称)(xf在点0 x处间断 ,0 xx=点称为函数)(xf的间断点或不连续点。由函数连续性定义可知 ,二、函数的间断点如果函数)(xf在点0 x处不连续 , 就称)(xf在点0 x处间断点分类：间断点可分为以下几种类型 ,按左

7、、右极限是否都存在来分类。（一）第一类间断点(左、右极限均存在)但不相等;2.跳跃间断点1.可去间断点00+-均存在与,)(lim)(limxfxfxxxx存在,)(lim0 xfxx（二）第二类间断点(左、右极限至少有一个不存在)间断点分类：间断点可分为以下几种类型 ,按左、右极限是否都文科高数函数的连续性课件例2 11)(2-=xxxf函数2=所以1=x为函数)(xf的可去间断点。令2)1(=f则函数)(xf在1=x点处就连续了。例2 11)(2-=xxxf函数2=所以1=x为函数)(x例3 函数-=-=+=010001)(xxxxx例4 函数11)(-=xxf在1=x点处 ，由于=-=1

8、1lim1xx)(lim1xfx 所以1=x为)(xf的第二类间断点。（无穷型间断点）例4 函数11)(-=xxf在1=x点处 ，由于=-=解解练习是可去间断点,则补充或改变定义,使函数在该点连续。如果解则函数)(xf在1=x点处就连续了。练习是可去间断点,则补充或改变定义,使函数在该点连续。如果解解解三、闭区间上连续函数的性质下面介绍闭区间上连续函数的一些重要性质，我们不证明，只给出几何说明。定理1(最值性质) 则)(xf必存在最大值M和最小值m , 即在闭区间,ba上至少存在两点21,xx ,使得mM三、闭区间上连续函数的性质下面介绍闭区间上连续函数的一些重要如 ,函数-=-+=10100

9、011)(xxxxxxf在闭区间1 ,-1 上有间断点0=x ,函数)(xf在闭区间1,-1 上不存在最大值 ,也不存在最小值。又如 ,函数xxf1)(=在开区间)4,1(内不存在最大值 ,也不存在最小值。是连续函数【注意】间断点的函数， 定理的结论不一定成立。(1)对开区间内的连续函数或闭区间上有如 ,函数-=-+=10100011)(2)函数的最大和最小值的点也可能是区间,ba的端点 . 如函数12+=xy在2,1上连续 , 它的最大值是5)2(=f, 它的最小值是3)1(=f 均在区间2,1的端点上取得。(2)函数的最大和最小值的点也可能是区间,ba的端点 .定理2(介值性) 设函数)(

10、xf在闭区间,ba上连续 ,M和m分别是)(xf在区间,ba上的最大值和最小值 , 则对于满足Mmm的任何实数m至少存在一点,bax 使得定理2指出：定理2(介值性) 设函数)(xf在闭区间,ba上连续 推论(方程根的存在性) 设函数)(xf在闭区间,ba上连续 ,且0)()(bfaf ,),(bax使得0)(=xf则至少存在一点几何意义：推论(方程根的存在性) 设函数)(xf在闭区间,ba上连例 证明方程2431xx=+在区间)1,0(内至少有一实根。证明 设2431)(xxxf-+= 因为函数)(xf在闭区间1,0上连续 ,又有=)0(f 1， 1)1(-=f 故0)1()0(ff ,根据推论可知，至少存在一点)1,0(x ,使0)(=xf ,即031)(24=-+=xxxf由推论知：例 证明方程2431xx=+在区间)1,0(内至少有一实根练习证明练习证明证明证明四、小结 1. 函数在一点连续必须满足的三个条件;5. 间断点的分类与