《经济数学》-第4章课件

1、经济数学-第4章课件经济数学-第4章课件经济数学-第4章课件经济数学-第4章课件经济数学-第4章课件例3 求解例3 求解3 不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算. 特别地，有3 不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算. 4.1.2不定积分的基本积分公式4.1.2不定积分的基本积分公式经济数学-第4章课件例4 计算下列积分解例4 计算下列积分解例5 计算下列积分解 (1) (2)例5 计算下列积分解 (1) (2)4.1.3 不定积分的性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.性质2可以推广到有限多个函数的情形，即性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于

2、各函数不定积分的和(或差)，即 4.1.3 不定积分的性质性质1 被积函数中不为零的常数因例6 求解 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可 例6 求解 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意例7 求解例8 求解例7 求解例8 求解例9 求解例10 求解例9 求解例10 求解解例11 求解例11 求例12 求解 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果如例912。 例12 求解 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但 函数f (x)的原函数

3、图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族.4.1.4.不定积分的几何意义 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)处的切线斜率. 函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线, 例13设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程.解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知因此所求曲线的方程为 例13设曲线通过点(2,3),且其上

4、任一点的切线斜率等于4.2.1 第一类换元法例1 原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而所以有？分析4.2 换元积分法4.2.1 第一类换元法例1 原因在于被积函综合上述分析，此题的正确解法如下：综合上述分析，此题的正确解法如下：解解定理1证依题意有即有又由复合函数微分法可得定理1证依题意有即有又由复合函数微分法可得根据不定积分的定义，则有 公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法 应用定理1求不定积分的步骤为 根据不定积分的定义，则有 公式

5、(1)称为不定积例2 求解解例3 求例2 求解解例3 求例4 求解例5 求类似地，有解例4 求例5 求类似地，有解(1)=(2)(3)(4)(5)此外还可以得到一组积分公式： (1)=(2)(3)(4)(5)此外还可以得到一组积分公式：4.2.2 第二类换元积分法例6 求解 作变量代换,令 ,可将无理函数化为 有理函数的积分,所以有4.2.2 第二类换元积分法例6 求解 作变量代换,令 一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想. 一般的说，若积分 设

6、 是单调可导的函数， 且定理2那么应用第二类换元法求不定积分的步骤为 设 是单调可导的函数， 且定理2例7 求解例7 求解例8 求解例8 求解axtaxt例9 求解例9 求解axtaxt例10 求解例10 求解axtaxt 例8例10中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形： 例8例10中的解题方法称为三角代换法或三角换元补充的积分公式：补充的积分公式：经济数学-第4章课件由函数乘积的微分公式移项得对上式两端同时积分，得公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .或4.3 分部积分法由函数乘积的微分公式移项得对上式两端同时积分，得公式(1)或注意：

7、 使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v.选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中要固定注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难为易即一般情况下，u与dv按以下规律选择即一般情况下，u与dv按以下规律选择例1 求解例1 求解例2 求解例2 求解例3 求解例3 求解例4 求解例5 求解例4 求解例5 求解例6 求解例6 求解例7 求解例7 求解例8 求解 在计算积分时,有时需要同时使用换元积分法与分部积分法.例8 求解 在计算积分时,有时需要同时使用换元积分 把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的.求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果.4.4 积分表的使用 把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.现在a=3，b=2, 于是例1 求被积函数为有理函数，属于积分表中的类型 (