离散数学习题解第二部分(代数系统)

1、离散数学习题解第二部分代数系统习题四第四章代数系统1.设I为整数集合。判断下面的二元关系是否是I上的二元运算+=(x，y)，z|x，y，zI且z=x+y=(x，y)，z)|x，y，zI且z=xyX=(x,y),z)lx,y,zI且z=xXy/=(x，y)，z)|x，y，zI且z=x/yR=(x,y),z)lx,y,zI且z=xy=(x,y),z)lx,y,zI且z=yxmin=(x,y),z)lx,y,zI且z=max(x,y)min=(x,y),z)lx,y,zI且z=min(x,y)GCD=(x,y),z)lx,y,zI且z=GCD(x,y)LCM=(x,y),z)lx,y,zUI且z=L

2、CM(x,y)解a)是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I2I是I上的一个二元运算。b)是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I2-I是I上的一个二元运算。c)是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：I2I是I上的一个二元运算。不是：例如若x=5,y=6,则z=x/y=5/6I;当y=0时z=xly=x/0无定义。不是。例如若x=2,y=-2,贝Iz=xy=2-2=I;若x=y=0,贝Uz=xy=0,224贝Iz=,x=2I;是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：I2-I是I上的一个二元运算。是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。

3、故知min：I2-I是I上的一个二元运算。是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD：I2-I是I上的一个二元运算。是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD：I2-I是I上的一个二元运算。注：两个整数a和b的最大公约数GCD(a,b)定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM(a,b)定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。2.设X=xIx=2n,nUN问普通数的加法是否是X上的二元运算？普通数的乘法呢？答普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着xi=2UX,x2=22UX,使x1+x2=2+22=6X。普通的乘法运算

4、是X上的二元运算，因为对于任意的xi=2n1X,x2=2n2X,这里ni，n2N,都有Xx2=2n12n2=2n1=，n2GX(因为片+珀匕“)。3设vX,*是代数系统，*是X上的二元运算，若有元素elUX,使xgX，有el*x=x，则称ei是关于*的左幺元。若有元素erX，使xGX，有x*ei=x，则称e是关于*的右幺元。r试举出公含有左幺的代数系统的例子。试举出仅含有左幺的代数系统的例子。证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。解:a)构造代数系统X,如下：令X=a,b,c,d,*:XX-X-X，其运算表如下：*abcdadabcbabcdcabccdabcd则此

5、代数系统含有左幺元b,d,但不含右幺元。b)构造代数系统X,*如下：令X=1,2,3,4*XXfXX，其运算表如下:*123411243221343341244423则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。证因为代数系统vX,*关于*运算存在着左、右幺元，ei,eUX贝Iire=e*e=eUllrr4.设X,*是代数系统，*是X上的二元运算。若有元素OUX,使UX,有O*x=q是关于*的左零元。若有元素O丘乂，使UX,有x*O=0，则称O是关于*rrrr的右零元。试举出公含有左零元的代数系统的例子。试举出仅含有左零元的代数系统的例子。证明:在代数系统中,若关于*有左零元和右右零元,贝左零元等于

6、右零元。解a)构造代数系统X,*如下：令X=a,b,c,*：XXX-X,其运算表如下：*abcaaaabbbbcbca贝a和b都是左零元,但没有右零元。b)构造代数系统X,*如下：令X=1,2,3,*XX-X-X，其运算表如下:*123123323133123则3是右零元，但没有左零元。证因为代数系统x,*关于*运算存在着左、右零元，q,or=x,则O=O*O=Ollrr5当给出一个代数系统的二元运算表时,如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律,是否满足交换律,是否有幺元,是否有零元,每个元素是否有逆元。答在一个代数系统vX,*中，运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x,yUX,x行

7、每个元素与y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。运算*满足交换律,当且仅当运算表关于主对角线是对称的。运算*有幺元,当且仅当存在一元素,它所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。运算*有零元,当且仅存在一元素,它所对应的行和列中每个元素都是蛇自己。若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素yUY,使得x所在行，y所在列的元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。设X,*是代数系统，*是X上的二元运算，e是关于*的幺元。对于X中的元素x,若存在yUX,使得y*x=e，则称y是x的左逆元。若存在z=X，使得x*z=e,则称z是x的右逆元。指出下表中各元素的左、右逆元的情况。*a

8、bcdeaabcdebbdacdccababddacdceedace解a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，do设vX,*是代数系统，*是X上的二元运算。x,yUX,有x*y=x。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。解a)*运算满足结合律因为对任何x，y，zUX，都有x*(y*z)=x*y=x=x*y=(x*y)*z*运算不满足交换律因为对于二个元素x，yUX,有x*y=x，而y*x=y。所以当X包含多于一个元素时，能

9、使xHy，从而x*yHy*x。没有幺元因为若有幺元eUX存在，则对任何xUX,应有e*x*e,但是e*x=e,x*e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x工e，矛盾。没有零元，仿c)保证。对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。并且若存在一个元素aUX,使得对每个元素xUX,都有一个元素yUX，使y*x=x*y=a,则有y=x=a,当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的(只在x=a,且a具有幂等性时才成立)设N,*是代数系统，*是N上的二元运算，x,yUN,x*y=LCM(x,y)。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。解a)*运

10、算满足结合律因为，对于任何x，y，zUN，(x*y)*z=LCM(x*y)，z)=LCM(LCM(x，y)，z)=LCM(x，y，z)=LCM(x，(y*z)=LCM(x*y)，z)=x*(y*z)注：关于LCM(LCM(x,y),z)=LCM(x,y,z)我们可证明如下：设C1=LCM(x,y,z),d=LCM(x,y),从而C1=LCM(d,z),C2=LCM(x,y,z),因此只需证C1=C2即可，为此由于C2=LCM(x,y,z),故此xIC2，yIC2，zIC2，因此由d=LCM(x,y)及xIC2,yIC2,从d2的最小性有dWC2于是dIC2(否则C2=kd+r,OVrVd,由于

11、xId,乙乙乙乙乙乙yId及xIC2,yIC2，故有xIr,yIr，这与d=LCM(x,y)的最小性矛盾)。即dIC2且zIC2故此由C1=LCM(d,z)的最小性，可知CWC2。另一方面，由C1=LCM(d,z)知dIC1，zIC,又由d=LCM(x,y)知xId,yId,yId,因此有xIC,yIC，并且zIC0因而C2=LCM(x,y,z)的最小性可知C2WCo所以，C=C2。同理可证LCM(x,LCM(y,z)=LCM(x,y,z)。b)*运算满足交换律因为对于任何x,yUN,x*y=LCM(x,y)=LCM(y,x)=y*x*运算有幺元lUNo因为,对于任何xUN,x*=LCM(x,

12、)=x=LCM(,x)=1*x*运算没有零元。因为0No对于每个元素xUX,若xMl,则对每个元素yUN,都有x*y=y*x=LCM(x,y)三xMl,故此没有逆元素。设vX,*是代数系统，*是X上的二元运算。X是X中的任一元素，若有x*x=x,则称x是幂等元。若*是可结合的，且Vx,yX,当x*y=y*x时，有x=y。证明：X中每个元素都是幕等元。证对于任何xUX,令x=x*x,x=x，于是ijx*x=(x*x)*xij=x*(x*x)(结合律)=x*xji从而由怕给性质，有x=x.,即X*X=Xoij因此，由x的任意性，可知X中每个元素都是幕等元。设X,，是代素系统，和分别是X上的两上二元

13、运算。若VxUX,有xy=x。证明关于是可分配的。证对于任何x,y,zUXx（yz）=xy=（xgy）=（yz）x=yx=（ygx）（zx）因此代数系统vX,，g中g关于是可分配的。11.设X,，g是代数系统，和0分别是X上的两上二兀运算。ei和e2分别是关于g和的幺元，且对于0满足分配律，0对于满足分配律。证明：,xUX,有xgx=x,xgx=x证（a）先证eiei=eieiei=e严（ee）=（e0e）（e0e）2iii=（ee）0e2ii=（e0e）2i=ei（b）次证023e2=e2ee=eg（ee）22222=（ee）g（ee）i222=（ege）ei22=eei2=e（c）最后，我

14、们来证乂乂二乂，xgx=xxx=（xge）（x（c）最后，我们来证乂乂二乂，xgx=x22=xg（ee）22=xge2=xxgx=（xe）g（xe）二乂ge）二乂=x证法二：x=xe2=xg（ee）（e（e是g幺元）（e2是g幺元）（g对的分配）（ei是幺元（e2是g幺元）（e2是g幺元）（ei是幺元（Q对g的分配）（e2是g幺元）（ei是幺元（e2是g幺元）（g对的分配）（利用（b（e2是g幺元）（ei是幺元（对g的分配）（利用（a（ei是幺元（e2为g的幺元）（e为幺g元）=xe2（eie2）=x（ee）（ee）2122=x（e（ee）222=x（ee）22=（xe）（xe）22=x3xx

15、=xe（ei为的幺元）=x3（ee）12=x3eg（ee2）=x3（ee）（ee）1112=x（ee）e=x（ee）（e2为幺元）（对的分配律）（ei为幺元）（e2为（e2为幺元）（对的分配律）（ei为幺元）（e2为幺元）（对分配律）（e2为幺元）（e2为幺元）（e2为幺元）（对的分配律）（e2为幺元）（e1为幺元）=xx（e为幺元）12设X=a,b,c,d,和分别是X上的两个二元运算，其运算表如下12算表如下：abcdabcdaaaaaaabcdbababbbbddcaaccccdcddabcdddddd，取S1=b，d，S2a，分别是vX,d，S3=b,c，问vS，的子代数系统吗？，为什么

16、？vS2，10，所以-8,8R这不是一个同余关系，因为(-1,-2)UR且(1,1)UR，但(-1+1,-2+1)=(0,-1)R这不是一个同余关系,因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和传递的，但不是对称的，例如取x=8,y=7，于是有8三7，从而(8,7)UR,但7工8,故(7,8)R。设S=a,b,X=V25,n,U,Y=0,1,A,V,-)0证明：Y是X的同态象。证如下构造的函数h是一个从X到Y的同态：h：2Sf0,1h(0)=0h(a)=0，h(b)=1，h(S)=1容易验证：h(AnB)=h(A)Ah(B)h(AUB)=h(A)Vh(B)(A,BUS)h(Az)=h(A)并且h

17、显然是满射的，因此Y是X同态象。设R是实数集合，十和X是实数的加法和乘法。X=R,+，Y=R,x，问Y是否是X的同态象。答Y不是X的同态象。否则将存在着从X到Y的满同态函数h,从而对于0UR,由h是满射的，可知存在着r0UR,使h(r0)=0,于是对任何rUR,由于r-r0=r+(-r0)UR,所以h(r)=h(r0+(r-r)=rzlrURA(ErUR)(h(r)=r)=0MR设N是自然数集合，x是自然数乘法，X=N,x，Y=0,1,x，证明：Y是X的同态象。证如下构造的函数h是一个从X到Y的同态h：N0,1h(2n)=0,nNh(2n1)=1于是h(2mX2n)=h(22mn)=0=0X0

18、=h(2m)Xh(2n)h(2mX(2n-1)=h(2m(2n-1)=0=0X1=h(2m)Xh(2n-1)h(2m-1)X(2n-1)=h(2(mn-m-n+1)-1)=1=1X1=h(2m-1)Xh(2n-1)所以h满足同态公式，另外h显然是满射，因而Y是X的同态象。18.设S=a,b，c，X=0，S,G,U,，Y=a,b,S,G,U,。问X和Y是否同构，为么？答X和Y不同构。因为Y=a,b,S,H,U,Z)不是代数系统，补运算关于a,b,S不封闭，这可见下表：而如果存在着X和Y的同构，则从X是代数系统，知Y也应该是代数系统,矛盾。设X,*和丫，是两个代数系统，*和分别是X和Y上的二元运算

19、，且满足交换律，结合律。f1和f2都是从X,*到丫，的同态函数。令h：XYh(x)=f(x)f(x)12证明：h是从X,*到丫，的同态函数。证对于任何a,b=X,h(a*b)=f1(a*b)2(a*b)(h的定义)=(f1(a)f(b)(f2(a)2)(f1和f2是同态函数)=(f1(a)(b)(f2(a)f2(b)(的结合律)=(f1(a)f2(a)(b)f2(b)(的结合律)=(f1(a)f2(a)(b)f2(b)(的结合律)=h(a)h(b)(h的定义)设X,f1，Y,f2，Z,f3是三个代数系统。f,f2,f3分别是X,Y,Z上的二元运算。证明：若h1是从X,到Y,f2的同态函数，h2

20、是从Y,f2到Z,f3的同态函数，则h2oh1是从X,f/到Z,f3的同态函数。证对于任何x,yUX,(hOh)(xfy)=h(h(xfy)211211=h2(hi(x)f2hi(y)(hi是X,1至lY,f丿的同态)TOC o 1-5 h z乙J_乙J_J_J_乙=h2(hi(x)f3h2(h(y)(h2是X,f丿至到i,使得yj=yi,从而令P=j-i,那么就有yi=yj=yp+I=yp*yi,因此可得yi+1=yp*yi+1,.,也就是对任何g三i,都有yg=yp*yg0所以，从pl总可找到k三1,使kp三i。故此，令x=ykps,则x就是s中的一个幕等元，推证如下：x*x=ykp*yk

21、p=(yP+*y(k-1)p)*ykp(利用上述性质)=y(k-1)p*ykp=ykp=x25设R是实数集合。在R上定义二元运算*如下x,yR,x*y=x+y+xy证明：R,*是含幺半群。证(1)*运算是实数集R上的二元运算。因为普通实数加法+和乘法X都是封闭的和运算结果唯一的，因此由它们定义的*运算也是封闭的、运算结果唯一。(2)*运算满足结合律。对于任何x,y,zR,因为(x*y)*z=(x*y)+z+(x*y)z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x*y)*z=x+(y*z)+x(y*z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z

22、+xy+xz+yz+xyz所以(x*y)*z=x(y*z)(3)oR为幺元对于任何xR因为o*x=o+x+ox=xx*o=x+o+xo=x故此o*x=x*o=x综合(1)(2)(3)证得R,*是含幺半群。26.设S,*是可父换半群。证明：x,yS,右x,y是幂等元，则有(x*y)*(x*y)=x*y。证(x*y)*(x*y)=x*(y*x)*y(*可结合)=x*(x*y)*y(*可父换)=(x*x)*(y*y)(*可结合)=x*y(x，y为幂等元)27.设S,*是半群。，ys,右xHy,则x*y工y*x。证明：a)xs，有x*x=xx,yUs，有x*y*x=x；x,zUs,有x*y*z=x*z

23、；证对任何x,yUs若x*y=y*x，则x=y（否则xMy,于是x*yMy*x，矛盾）。a）对任何xUs，因为（x*x）*x=x*（x*x）（*可结合）所以x*x=x对任何x，yUs，(x*y*x)*x=x*y*(x*x)(*可结合)=x*y*x(由a)=(x*x)*y*x(由a)=x*(x*y*x)(*可结合)所以x*y*x=x对任何x,y,zUs，有(x*y*z)*(x*z)=x*y*(z*x*z)(*可结合)=x*y*z(由b)=(x*z*x)*y*z(由b)=(x*z)*(x*y*z)(*可结合)所以x*y*z=x*z28.设S,*是半群。证明：x，y，zUs,若x*z=z*x且y*z

24、=z*y，贝l(x*y)*z=z*(x*y)。证对任何x，y，x证对任何x，y，xUs29.设x,y,*是半群,x*y=y*x；y*y=y。证a)x*y=x*(x*x)=(x*x)*x=y*xb)y*y=(x*x)*y=x*(x*y)=x*（y*z）（*可结合）=x*（z*y）（y与z可交换）=（x*z）*y（*可结合）=（z*x）*y（x与z可交换）=z*（x*y）（*可结合）x*x=y。证明：（因x*x=y）（*可结合）（因x*x=y）（因x*x=y）（*可结合）根据*运算的封闭性，可知x*y=x或者x*y=y若x*y=x,贝Iy*y=x*（x*y）=x*x=y若x*y=y,贝Iy*y=x

25、*(x*=x*x=y若x*y=y,贝Iy*y=x*(x*y)=x*y(由x*y=y)=y(由x*y=y)因此无论如何，y*y=y。30.S，*是半群。若有aUs，xUs由x*y=x)由x*x=y)u,QUS，使得a*u=v*a=x证明：S,*是含幺半群。证只需证明半群S,*中含有幺元即可。取x=a,那么，存在u,vUs,使a*u=v*a=aaaaa对于s中任一元素b,那么存在ub,vbUs，使得bb元素于是所以u并且a*u=v*a=bbbbu=(v*a)*ua=vb=v*ab=b是右幺元。ba*u)a(因v*a=b)b(*可结合)因au=a)a(因u*a=b)bavb=v*(a*u)aa=(v

26、*a)a=a*ub=b所以v是左幺元。但是a将b*ua=b中的b取为uaaa将u*b=b中的b取为u,aa故此，可得u=v。所uaaa*是含幺半群。是含幺半群。Zsb*ub因a*u=b)b(*可结合)因u*a=a)aa*u=b)b贝I有v*u=v；aaa，贝有v*u=u；aaa(=v)是处，*的幺元。a从而，S,31.设S,*的左零元。证由于z是关于*的左零元，所以对于任意aUs，都有z是关于*的左零元。证明：x=s,x*z也是关于*z*a=z因而对任何xUs，对任何aUs,都有(x*z)*a=x*(z*a)(*可结合)=x*z(z为左零元，z*a=z)这说明x*z也为左零元。设S,*是含幺半

27、群。Ss=fIf：s-s,)o是函数的合成运算。证明：Ss，*是半群；证明：存在从S,*至1Ss，o的同态函数。证a)由于O是函数的合成运算，而Ss=fIf:ss是所有从s到s的函数的集合，因此o运算封闭且运算结果唯一；并且o运算当然具有结合律，故此Ss，o是一半群。b)令h:sss，对于所有的aUsh(a)=f；这时f:ss，对于任何xUsaa有f(a)=a*xa由于S，*是半群，故*是s上的二元运算。因此*运算封闭，且运算结果唯一，因此如上定义的f后者唯一，是从s到s的函数，即fss。因此h的定义aa是良定义的。对于任何a，bUsh(a*b)=fa*b而对于任何xUs，(x)f(x)a*b

28、=(a*b)*x=a*(b*x)(*的结合律)=a*(f(x)b=f(f(x)ab=(fof)(x)ab所以，有f=fof,因此，h(a*b)=fof=h(a)oh(b)。故此h满足同a*babab态公式。因而存在从到Ss，o的同态函数。设f是从半群X,*至1Y,的同态函数，证明：若x是X中的幕等元,则Y中也存在幂等元。证由于f(x)f(x)=f(x*x)(f是同态函数，满足同态公式)=f(x)(因x是幕等元，故x*x=x)且f(x)UY,故此f(x)是Y中的幕等元。即Y中也存在幕等元。设f是从半群X,*至lY,的同态函数，问下列结论是否为真。X,*在f下的同态象是Y,的子代数系统；X,*在f

29、下的同态象是半群；若X,*是含幺交换半群，则X,*在f下的同态象也是含幺可交换半群。解a)真。因为1)f(X)DY。这点是根据事实f:X-Y得出的。2)集合f(X)在运算下是封闭的，即，如果a,buf(X),那么abuf(X)。因为若a,buff(X),那么存在着x,yUX,使得f(x)=a且f(y)=b。进一步，由X在*运算下封闭(因X,*为半群)可知存在着某一zUX，使z=x*y因此ab=f(x)f(y)=f(x*y)(f是同态函数,满足同态公式)=f(z)uf(X)运算结果的唯一性是自动遗传，因为Y,至少是一代数系统，故应是Y上的二元运算，具有运算结果唯一性。故由1)和2),可知X,*在

30、f下的同态象f(X),是Y,的子代数系统。b)真。因为3)运算在集合f(X)上满足结合律，即，如果a、b、cuf(X),那么()()。因若a,b,cuf(X),那么存在着x,y,zuX,使f(x)=a且f(y)=b及f(z)=c，故此()()()()=f(x*y)f(z)(f满足同态公式)=f(x*y)*z)(f满足同态公式)=f(x*(y*z)(X*为半群*运算有结合律)=f(x)f(y*z)(f满足同态公式)=f(x)(f(y)Of(z)(f满足同态公式)=a(bc)于是由的),)及这里的),可知X,*在f下的同态象f(X),是半群。真。因为4)f(X),含有幺元，即若eux是含幺半群X,

31、*的幺元，那么f(e)uf(X)就是f(X),的幺元。因为对任何auf(X),存在着xuX使f(x)=a故此af(e)=f(x)f(e)=f(x*e)(f满足同态公式)=f(x)(x*e=x)=a同理可证f(e)a=a,因而af(e)=f(e)a=a。5)运算在f(X)上满足交换律，即，对任何a,buf(X),都有ab=ba。因若a,buf(X)则存在着x,yUX,使f(x)=a且f(y)=b,因此ab=f(x)f(y)=f(x*y)(f满足同态公式)=f(y*x)(X,*是含幺可交换半群,故*有交换律)=f(y)f(x)(f满足同态公式)=ba综合a)的1)2),b)的3),和这里的4)和5

32、),可知，若X,*是含幺可交换半群，贝lX,*在f下的同态象f(X),也是含幺可交换半群。35.设N6=0,1,2,3,4,5,N6上的+6运算定义如下666Va,bUN,a+b=(a+b)mod666求了半群N6,+6的运算表如下：66+6012345001234511234502234501334501244501235501234从运算表看出N6,+6是一循环半群，生成元是1,5。因而除两个平凡66子半群0,+6及N6,+6外，任何包含1或5的子集都不能构成真子半666群。所以考虑0234的子集由于2+63=53+64=1故此任何包含2或4的子集中不能包含3。另外2+62=43+63=0

33、4+64=2故此单元素集上运算+6不6666封闭。因而叫,+6的真子半群只有二个0,3,+6及0,2,4,+6，它们的运算表如下：+603+602400300243302240440236证明：含幺半群的子半群可以是一个含幺半群，但不是子含幺半群。证n6,+6是一个含幺半群，其幺元为1。运算表如下：66X60123450000000101234520240243030303404204250543214,2,x6是N,6+6的子半群,并且是含幺半群,其幺元为4运算为但是它不是N6,6+6的子含幺半群,因为6N,6+6的幺元1D4,2。x64237设S,*是含幺半群，幺元为e442幺元不遗传S=

34、xlxUS1且口y(y*x)=e224证明：S,*是S1,*的子含幺半群。证1）集合S在运算*下是封闭的，即，右x1,x2US1,则x1*x2US1。因若x1，xUS则X,x2=S,存在着yi,y2使yi*xi=e,y2*x2=e。于是有xi*x2=S(S在*运算下封闭，因S,*是半群)，并且存在着z=y2*y，使z*(xi*x2)=(y2*yi)(xi*x2)=y2*(yi*xi)*x2(的结合律)=y2*(e*x2)=y2*x2(e是幺元,e*x2=x2)=e故此X*X2Us。2）*运算在S上满足结合律，这点由*运算在S上的结合律遗传而来。3）佝，*含有S,*的幺元e。因为eUS，且存在着

35、e使e*e=e，所以eUS。1综合上述1),2),3),证得S,*是处，*的子含幺半群。38写出所有不同构的一阶，二阶，三阶，四阶，五阶，六阶，七阶，八阶群。解由于素数阶群是循环群，故此一阶，二阶，三阶，五阶，七阶群各只有一个，其运算表分别如下：一阶群二阶群*ea一阶群二阶群*eabeeabaabebbea三阶群*eabcd*eabcdfgeeabcdeeabcdfgaabcdeaabcdfgebbcdeabbcdfgeaccdeabccdfgeabddeabcddfgeabcffgeabcdggeabcdf五阶群七阶群四阶群已知有两个，一个是循环群，一个是Kiein4群，其运算表如下：*ea

36、bc*eabceeabceeabcaabceaaecbbbceabbceaccdeaccbae四阶循环群Klein四群而六阶和八阶的情况比较复杂。我们先来讨论六阶群的情况：(一)(1)六阶群G,*一定有三阶子群。对于IG1=6,6的正因子只有1,2,3和6。若G=是6阶循环群，则H=是一个三阶子群；若G不是循环群，则G中非幺元的阶只能是2或3。若G中有一个非幺元b的阶是三，则H=vb是G的一个三阶子群。若G中非幺元的阶都是二，则对任何a,b=G,并且a和b是不同的非幺元，就有a2=e,b2=e,()2=e从而a-1=a，b-1=b，(a*b)-1=a*b又因为(a*b)-1=b-1*a-1=b

37、*a,所以a*b=b*a，所以G是交换群。现在来考察G的子集H=e,a,b,a*b,这里a,b是G中的两个不同的非幺元。显然a*bMe,Ma,Mb,(如a*bMe，否则，有a-1=b，又a-1=a,从而a=b与a与b不同矛盾。余者同理可证)*关于H的运算表如下：*eaba*beeaba*baaba*bb(运算表利用G的可父换性来编制)bba*bea*ba*bde所以H在*运算下封闭，vH,*实际上与Klein四群同构。于是H是G的一个四阶子群，根据Lagrange定理，必有4I6，这不可能。因此G中非幺元都是二阶的。偶阶群G,*一定含有一个二阶的非么元(见41题)即含有二阶子群。若任何群G,*

38、的子群H,*在G中的指数为2,则H,*为正规子群，即HG。(见58题(a)设六阶群的含有的三阶子群为H1=a=e，a，a2二阶子群为G2=b=e,b,令H=H1H2，即H=e，aa2，b，ab，a2b(这里a*b简记为ab,a2*b简记为a2b,以下类同，不再交代)。由于a，b分别是三、二阶元素，故斗GH2=e。容易验证H=HH2中6个元素是两两不同的(例，如a2Hb,否则a2=bHHH2=e，矛盾。略验证)。所以G=H=H1H2。下面分两种情况来讨论：(a)若a*b=b*a,这时G是交换群，又由于a*b=ab是阶元素，因此G是六阶循环群。利用G的可交换性及a3=e,b2=e可构成*运算的运算

39、表发下：*eaba2baa2beeaba2baa2bababa2baa2bea2a2baa2beabbbaa2beaba2aaa2beaba2ba2ba2beaba2ba它与孔，+6同构，同构函数f:GN6f(e)=06,f(ab)=16,f(a2)=26,666666f(b)=3，f(a)=4，f(a2b)=5。666(b)若a*bMb*a，这时G是非交换群。由于斗=a=e,a,a2在G中指数IGl/IHJ=6/3=2,所以H1G。因此对于bG,aH1根据正规子群的条件可知b-1ab=babUH(因为b2=e，故b-1=b)显然可得bab=a2(否贝I，若bab=e,则a=(b-1)2=b2=e,矛盾；同样，若bab=a,则ab=b-1a=ba,于是G是交换群，矛盾)。故此ab=b-1a2=ba2。利用b2=e,a3=e,b-1=b及bab=a2，ab=ba2等可编制*的运算表如下，计算过程如右：*eaba2baa2beeaba2baa2bababa2baa2bea2a2ba*eaba2baa2beeaba2baa2bababa2baa2bea2a2baa2beabbbaa2beaba2aaa2beaba2ba2ba2beaba2ba它与三次六阶对称群S3，O同构，其中S3=e,T,O2T,OT,002=P，p2，p3，p