一元函数微分学的应用最全版

1、 8/8一元函数微分学的应用最全版 第四章 一元函数微分学的应用 第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L )法则 思考题 ： 1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？ 答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足. 2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象） 说明. 答：不成立. 图像如下： 习作题： 1. 用洛必达法则求下列极限： （1）11 lim 21-x x x ， （2）x x x sin lim 1，

2、 （3）()-x x x sin lim ， （4）x x x x x x x -+-4240sin 23lim . 解：(1)1 1 lim 21-x x x =)1(lim 1+x x =2, (2)x x x sin lim 0=x x cos lim 0=1, (3)() si n l i m -x x x =()1cos lim -x x =1, (4)x x x x x x x -+-4240sin 23lim =1 4cos 264lim 330-+-x x x x x = 101 2-=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限： （1）x x x + 0 lim , （2）()x

3、x x 1 1lim +. 解 ：(1)x x x +0 lim =x x x ln 0 e lim + =x x x 1 0ln lim e + =x x -+ 0lim e =1, (2)()x x x 10 1lim +=x x x 1 )1ln(0 e lim + =x x x )1ln(lim e +=1 1 lim 0e +x x =e . 3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()x x f x sin lim 0. 解：()00=f , 00s i n =, ()x x f x s i n lim 0 =()()0 sin sin 0lim 0-x f x

4、 f x =()()n si lim 0f x (在0与 x 之间) = cos 1 2lim -=1-. 第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性 思考题： 1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明. 答：不成立. 如下图： 2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题. 罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,上可导； （3）在区间b

5、a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点，使得()0=f . 需回答的问题： （1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？ 答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广. （2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明. 答：不成立. 如下图： （3）不求()()()()()4321=x x x x x f 的导数，说明方程()0=x f 有几个实根,并指出它们所在的区间. 答：方程()0=x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（

6、2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(=f f f f , 据罗尔定理即可得出结果. 3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）. 答：如下图所示. )(x f 在,b a 内不连续 )( x f 在0=x 处不可导 习作题： 讨论函数2 e x y -=的单调性. 解：函数2e x y -=的定义域为),(+-, 2 e 2x x y -=, 令0=y , 得0=x , 用0=x 把),(+- 分成两部分)0(),0,(+-, 当)0,(-x 时0)(x f , 当),0(+x 时0)(=f , 06)2(=a ax

7、y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径. 解：2 3ax y =, ax y 6=, 于是曲率 ()2 32 1y y k + = = () 2 34 2 916x a ax +, 当 a x =时曲率 () 2 36 2 916a a k += , 故曲率半径() 2 6 69113 a a k R += . 2. 曲线()03=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =, x y 6=, 故曲率 () () )0(91691632 34 4 += +=x x x x x k , 对k 关于x 求导, 得 () 2 3 4 44916 ) 91541(d

8、d x x x x k +-=, 令0d d =x k 且0 x 得4 45 1=x . x k ; 4 45 1 x 时, 0d d =, 0, 0,2x x x x x y )0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值. （2）()0 x f 是否一定存在？为什么？画图说明 答：不一定. 如1 x y = 图像如右： ()0,0点为曲线1x y =的拐点，但 d d =x x y 2. 根据下列条件，画曲线： (1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正. 解：如下图. (2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正. 解：如下图. (3) 画

9、出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负. 解：如下图. （4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负. 解：如下图. 习作题： 1. 设水以常速s /m 3 a （0a ）注入图419所示的容器中，请作出水上升的高度关 于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点. 在区间1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()( )11,t f t 为函数图像的拐点. 2. （1）()x f 的图像如图420所示，试根据该图像指出函数)(x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为3x x

10、 =与4x x =. （2）在图421的二阶导数()x f 的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线3 2 3 10510 x x y + +=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+-, 2 1010 x x y +=, x y 2010+=, 图419 令0=y , 得2 1-=x , 用21- =x 把()+-,分成)21,(-，),2 1 (+-两部分. 当x )21,(-时，0y , 曲线的凹区间为),21(+- 凸区间为),21,(- 拐点为)665 ,21(-. 4.求曲线()() 213 -+= x

11、x x y 的渐近线. 解：()() =-+213 lim 1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线, ()() =-+213 lim 2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线, ()()2 133lim lim 0121211x x x x x x x x x +=-? - ? ? ?, 故0=y 为曲线的水平渐近线, 曲线的渐近线为：2,1,0=x x y . 第六节 一元函数微分学在经济上的应用 思考题: 1. 回答下列问题： (1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？ 答：因为需求价格弹性 ()p Q p Q p Ep EQ d d ?=中，p Q d d 是需求量关

12、于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d Q , 所以说需求价格弹性一般为负值. (2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？ 答：平均成本()x x C x C = )(. (3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增 长速度正在逐步变慢”，并画图说明. 答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速 度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹

13、 （如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22t u t u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）. 2. 一般情况下，对商品的需求量 Q 是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求 Q 对收入x 的弹性需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义. 答：需求收入弹性 ()x Q x Q x Ex EQ d d ?=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故 0d d x Q 从而Ex EQ 0. 若Ex EQ =1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若Ex EQ 1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分

14、比.若0Ex EQ 1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比. 习作题： 1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象. （1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入 解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）, （2）边际成本c M =)(q C , 图像如下图（2）, t u （3）边际收入R M =)(q R , 图像如下图（3）. 2. 求解下列各题： （1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为 x x C 23)(+=， 1 5)(+= x x x R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润. 解：边际成本C M =x x C 1)(= 边际收入R M =2