小学操作中外化思维思考中直击本质

1、操作中外化思维 思考中直击本质对经典课圆的认识的思考与教学再设计【摘要】圆的认识是一节非常经典的课，如何在大师们的经典之上构建自己的教学理解和设计呢？作者思考了“知识序列” “教材呈现序列”“学生认知序列”和“教师理解序列”这四个序列，又思辨了“画圆的定位问题”“多种工具画圆安排在哪个环节”“体验圆的哪个定义”这三个问题，最后设计了五次画圆活动，构建出自己对圆的认识一课的全新理解和教学设计。【关键词】知识序列、认知序列、学生认知序列、五次画圆、人教版教科书六年级上册圆的认识这节课，是一节非常经典课，有很多名师、特级教师倾情演绎过这节课。他们有的根据圆某一个定义设计教学，通过各种活动归纳出圆的定

2、义；有的通过寻宝初识圆，割圆术中再识圆，画圆中感受圆来设计；有的则以解释自然中的圆和欣赏人文中的圆为主线设计教学；有的以古人的“圆，一中同长也”这句话引领整堂课的教学；还有很多其他的教学设计。如何在大师们的经典之上构建自己的教学理解和设计呢？在思考了四个序列，弄清了试教后出现的三个问题后设计了五次画圆活动，让学生在操作中外化自己的思维，在思考中直击圆的本质属性，重新设计了经典课。一、四序合一，方为教学设计最佳契合点。如何重构教学序列呢？在教学设计之前，除了看课程标准、教师参考书之外，需要重新思考“知识本身序列”、 “教材呈现序列”、“学生认知序列”和“自己对教材的理解序列”这四个序列，它们的和

3、谐统一点就可以成为教学设计最佳契合点。（一）一思，知识本身的序列“圆”作为一种平面图形，在几何学中有着自己的定义。（如下）几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径；轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆；集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。无论采用哪一种定义，只要定义了什么是圆，圆就有了自己的内涵。同时圆的各部分名称和特征也随之产生，这是圆的知识逻辑序列。因此，知识本身序列来说，需要先定义圆，再研究圆各部分名称和特征。（二）二思，各版本教材呈现的序列。 当教材编写者将“圆”这部分知识编写成教材的时候

4、，编者进行了取舍，都有着自己认为适合学生学习的序列。以2014人教版、北师版和苏教版三种教科书为例，讨论教材呈现的序列。2014人教版教科书的编排序列：出示圆形实物回忆生活中的圆让学生想办法画圆聚焦圆规画圆（不指导方法）结合圆规画圆认识圆各部分名称通过圆形纸片折一折、画一画、量一量探究出圆的特征。2014版苏教版教科书的编排序列：出示圆形实物回忆生活中的圆让学生想办法画圆圆规画圆（指导画圆方法）认识圆各部分名称通过圆形纸片折一折、画一画、量一量探究出圆的特征。2014版北师版教课书编写序列：游戏公平性引入圆想办法画圆认识圆各部分名称画圆，讨论圆的特征画圆讨论圆的位置和大小讨论研究车轮为什么是圆

5、的。（北师版教科书还设置了圆的认识第二部分内容，主要教学圆的对称性和半径直径之间的关系以及图案设计）三个版本教科书，都先注重联系学生实际生活引入圆，让学生感受圆是生活中常见的图形；接着，都在实物中抽象出圆后，让学生尝试画圆；然后，都将目光聚焦于圆规画圆；再借助圆规画圆来认识圆各部分名称；最后都通过“折、画、量”的方法探究半径、直径的特点和关系，以及圆的对称性。可见，三个版本教科书对知识的呈现总体上是类同的，说明编者们认为这样的呈现序列有利于学生学习。但是细节上三个版本教科书又各自有个性：人教版教科书学生尝试画圆这一环节，只出现了拓圆和圆规画圆两种尝试的方法；没有出现圆规画圆的方法指导。苏教版教

6、科书出现了圆与其他图形对比的环节，在学生尝试画圆的时候出现了多种方法画圆；用圆规画圆处对画圆的技巧进行了明确指导。北师版教科书也出现了圆规画圆的方法指导，但是在探究半径、直径的关系和特点的时候没有采用折一折的方法；最后出现通过应用来巩固圆的本质特征。（三）三思，学生已有认知的序列六年级学生对圆的认知情况如何呢？他们的认知序列是怎么样的呢？我们对学生进行了问题卷调查。调查对象为某校六年级一个班40名学生。问题序号具体问题调查结果1你以前见过圆吗？请你举一个例子。有100%学生见到圆；举例以实物为主，有5.3%学生将球与圆概念混淆。2你画过圆吗？有100%学生画过圆；3你听说过半径、直径和圆心这些

7、名词吗？40%学生部分听说过圆的各部分名称；有55%学生全都听说过圆各部分名称；只有5%学生没有听说过圆各部分名称。4在你画的圆中，画出一条半径和直径，并用字母表示，写一写你觉得什么是半径？什么是直径？90%学生能够在圆中画出半径和直径；没有办法说出半径和直径的具体含义。10%学生不能够画出半径和直径，也不知道半径和直径的定义。5圆的大小与什么有关？位置呢？17.5%的学生知道圆心决定圆的位置；有12.5%学生知道半径决定圆的大小。6你认为圆有什么特征？什么样的图形是圆？27.5%学生知道圆有无数条对称轴；有5%的学生知道圆上到圆心任何线段距离相等。100%学生不清楚什么样的图形是圆。7关于圆

8、你还知道些什么？请你写一写。有85%的学生提出关于圆知道；有75%学生提出知道圆的周长、面积的计算问题。访谈题请你画一个圆（给出工具，现场操作），你是怎么画圆的？说说遇到了什么困难？工具包括：圆形物体、圆规、绳子、铅笔、钉子、花瓣状物品（物品上有孔）100%学生会选择圆规画圆；有100%学生选择圆形物体拓圆；没有学生选择绳子笔和钉子组合画圆；没有学生选择花瓣状物体，利用它上面的孔画圆。在用圆规画圆的时候你遇到了什么麻烦？35%学生在实际操作画圆的时候一次性成功，认为自己用圆规画圆没有问题；有65%学生不能一次性成功画圆，觉得自己在用圆规画圆时候遇到了困难。主要困难集中在：针尖会移动；手握着圆规

9、两个脚不容易控制住半径。你觉得为什么可以用圆规画圆呢？7.5%学生大概知道固定圆心和半径，所以圆规能够画圆；92.5%的学生不知道圆规可以画圆的原因，有部分学生认为这是高科技的工具，所以可以画圆。由以上的调查问卷和访谈结果，我们发现学生的认知情况是会画圆，不知道什么是圆；知道各部分名称，却无法和圆规画圆建立联系；能画出半径和直径，不清楚什么是半径，什么是直径。总之，学生会操作却不再清楚如此操作的理由，也就是学生会使用圆规画圆却不知道其中的理由。对学生画圆的过程进行分析：学生画过圆，也会画圆；学生只会选择圆形物体拓圆和圆规画圆；用圆规画圆时会遇到困难；不清楚圆规为什么可以画圆，也就是不知道圆的本

10、质属性。（四）四思，自己对教学内容理解的序列基于对知识本身序列的梳理，教材呈现序列的对比，学生认知序列的调查，逐渐形成自己对教学内容的理解序列。按知识本身的序列，人应该先认识圆的本质属性，也就是圆3个定义中的其中一个定义，然后再认识圆各部分的名称，探究圆的特征。教材呈现序列却是，实物抽象出圆，让学生尝试画圆，用圆规画圆，折、画、量的活动中探究特征，但是没有提及对圆定义的认识；学生的认知序列却是“画圆”先与对圆定义的认识；操作先与对定义的理解和各部分名称的认识。显然，三种序列之间存在着矛盾，知识本身序列中提及“圆的定义”，在教材序列中没有提及，在学生认知序列中也不曾涉及；教材序列中多种方法画圆，

11、学生认知序列中又不存在。如何做到知识本身序列、教材呈现序列和学生认知序列之间的和谐统一呢？究竟用什么样的方式，能够利用学生已有的认知去建构对圆本质属性的认识呢？从以上的分析可以看到三序中的共同载体是“画圆”，“画圆”是学生认知序列中的熟练活动，是教材呈现序列中的操作活动，而画圆的过程也能很好体现圆的本质属性。基于以上思考有了自己对教学的理解序列，构建出基本设计思路。表一设计环节活动形式实现目标1第一层次画圆选择工具画圆通过选择画圆的工具，了解基本画圆的方法（实物拓印和圆规画圆），通过比较两种画圆的方法，知道圆规画圆的优点，能够画任意大小的圆而且画得比较工整，将目光聚焦围成圆的曲线上。2第二层次

12、画圆使用常规工具画圆通过尝试画圆知道用圆规画圆的注意点，通过画位置不同大小不同的圆，知道圆各部分的名称，和圆的位置大小与什么有关；通过画半径不同的圆，直径和半径的特点、关系。3第三层次画圆利用不常规工具画圆通过创造性使用其他工具画圆，只要定点、定长、旋转一周就能画出一个圆，明白用圆规画圆是符合了圆的特征，体会到圆的本质属性。经过对“知识本身序列”、“教材呈现序列”、“学生认知序列”深入思考，构建了“自己对教材的理解序列”，找到这四个序列的和谐统一的契合点“用画圆活动推进教学，在画圆的过程中体会圆的本质属性。”二、三问清晰，方能理落实教学目标。找到四个序列的契合点，如何将它落实到实际在教学中呢？

13、自己进行了初步的教学设计，如下。表二设计环节活动形式具体教学设计1第一层次画圆选择工具画圆提供以下工具，学生四人小组合作选择工具画圆。（第一次画圆）比较所用画圆方法，有什么不同。2第二层次画圆使用常规工具画圆用圆规画圆，初步总结画圆的方法。（第二次画圆）思考圆规画圆过程，教师示范画圆教学画圆方法。观看圆规画圆动画，探究圆规为什么可以画一个圆的道理。同时观察出圆的特征。再次用圆规画圆，剪下所画的圆，探讨圆的大小与圆的什么有关，位置与什么有关。（第三次画圆）3第三层次画圆利用不常规工具画圆利用提供的其他工具和学习的知识再画一个圆。（第四次画圆）预设学生可能会画出下面的图形，对图形进行比较和分析，发

14、现画圆的本质。讨论利用尺子画圆的方法理解圆的集合定义只用尺子也能画出圆，这是为什么？在试教后，发现很多问题。第一：虽然教学了画圆的方法但是学生体会不到圆的本质；第二：课的开始准备多种学具画圆学生倒是只选择圆规和实物拓圆，但是最后一环节，学生创造性画圆，学生无所适从。第三：最后环节让学生利用圆的集合定义画一个圆，学生无法理解圆的本质，学生明白画圆的方法，如何让画圆的方法与圆的本质属性建立联系。为此，深入思考了以上三个问题。（一）一问：“画圆”的方法需要教学吗，活动如何安排？画圆的方法需要教学吗？从教材呈现的序列中各版本教科书并不是所有的都涉及到画圆方法的教学。从学生的认知序列看到学生会画圆，但是

15、有困难，需要教师引领学生稍作提炼。因此，画圆的方法需要提及，但是不用一板一眼的从头教起。完全可以利用学生已有的画圆的经验，和存在的问题，经过大家讨论辨析清楚画圆时的注意点。“画圆”这个活动，更多的作用应该是承载学生体验圆的本质属性的任务。在一次次画圆的过程中，学生利用这个操作活动，将自己对圆的认识外显，从而去理解圆的本质属性。在使用“圆规”画圆的时候，为什么学生无法通过观看圆规画圆的过程明白用圆规画圆的道理呢？“画圆”活动如何安排？反观自己的设计，发现自己在这环节中，让学生体验不够多，简单地用视觉上的观察替代了学生的操作活动。而且，每次活动没有提出思考的问题，使得“画圆”活动浮于表层。因此，在

16、用圆规画圆的时候，设计三次不同要求的“画圆”活动，并且提出有效的思考问题，使得学生边活动边思考，接近圆的本质。（具体改进见表三）（二）二问：多种工具画圆到底准备几种工具合适，放在导入还是末尾？画圆可以用很多工具，比如钉子、线和铅笔，用手指、用固定的有洞的尺子等等。在教材呈现序列中，北师版和苏教版都有涉及，人教版没有涉及更多的工具画圆。需要用多种工具画圆吗？如果需要准备什么工具合适，放在课的引入还是末尾比较合适？首先，需要用多种工具画圆，那么是像北师版那样放在课的引入吗？如果放在课的引入部分，那就是起到激活感性认识的作用。而且学生的测查中也没有人会想到用其他工具画圆，这并不是学生原有的生活经验。

17、将其他工具画圆放在圆规画圆之后，就可以有利用理性的对圆的认识进行画圆的成分，也就是运用知识解决问题，同时能提升对圆的本质认识。因此，将多种工具画圆放在课的结束会比较好。但是，从试教的过程发现，当学生利用工具创造性画圆的时候，教师提供太多工具使得他们无所适从。因此，需要减少提供的工具，同时凸显创造性使用工具的必要性。（具体改进见表三）（三）三问：让学生体验哪个圆的定义比较符合圆规画圆的过程？圆有3个定义，分别是几何说、轨迹说和集合说，究竟哪个定义与圆规画圆的过程更相符合呢？圆规画圆的过程是：“固定针尖的位置，让铅笔尖绕着圆心旋转一周形成的轨迹就是圆”。这样的过程更符合轨迹说的定义平面上一动点以一

18、定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周。在本节课让学生体会圆的定义应该是轨迹说的定义。所以，没有必要安排体验“圆的集合定义”。而且，在从生活实际中抽象出圆的时候，选择的素材更多的应该是某个事物留下的轨迹形成的圆，比如滑冰运动员冰刀划过留下的痕迹等等。三个层次的画圆活动，始终围绕着“画圆”，不停体验为什么可以画出一个圆，而这仅仅是画圆的方法，并没有提升到圆的本质。因此，在利用其它工具画圆的环节，需要设计将画圆方法与圆的本质进行沟通建立联系。三、 五次画圆，外化思维直击圆的本质属性想清楚了以上三个问题，进一步改进了自己的教学设计，具体如下。表二设计环节原教学设计思路改进后的教学设计思路1第

19、一层次选择工具画圆提供以下工具，学生四人小组合作选择工具画圆。（第一次画圆）比较所用画圆方法，有什么不同。提供以下工具，学生四人小组合作选择工具画圆。（第一次画圆）比较所用画圆方法，有什么不同。对比分析：再次设计后减少了提供的画圆工具。2第二层次使用常规工具画圆1.用圆规画圆，初步总结画圆的方法。（第二次画圆）2.思考圆规画圆过程，教师示范画圆教学画圆方法。3.观看圆规画圆动画，探究圆规为什么可以画一个圆的道理。同时观察出圆的特征。4.再次用圆规画圆，剪下所画的圆，探讨圆的大小与圆的什么有关，位置与什么有关。（第三次画圆）1.学生随意画圆，要求：边画边想，你是怎么画的？。2. 学生画几个与刚才

20、画的位置不同，大小也不一样圆，边画边想，是怎么做到的？3. 学生画一个圆，半径可以是3厘米、4厘米或者5厘米，并且标出各部分名称。想一想，这次你又是怎画的？对比分析：改进为三次画圆，并提出相对应的思考要求，目标明确，学生体验更到位。在圆规画圆的过程中体会圆“定点、定长”的本质属性。3第三层次利用不常规工具画圆利用提供的其他工具和学习的知识再画一个圆。（第四次画圆）预设学生可能会画出下面的图形，对图形进行比较和分析，发现画圆的本质。讨论利用尺子画圆的方法理解圆的集合定义思考：如果体育老师要在操场上画一个圆，用圆规还行吗？那怎么办呢？利用其它工具创造性画圆。边画边想：是怎么做的？为什么一定可以画出

21、一个圆？反馈学生画圆情况，明晰画圆的道理，与圆的本质建立联系。一问：这些同学选择的画圆工具不一样，为什么都能画出一个圆呢？（三组同学虽然选择的工具不同，但是他们都先确定圆心，再保证半径长度不变，旋转一周画出了圆） 二问：。之所以能这样做，是什么道理呢?（课件演示：圆的轨迹定义，概括出圆，一中同长也！）：三问：一中什么意思？同长是什么意思？四问：反观三组同学画圆的过程中，一中在哪里？同长是什么意思？对比分析：减少提供的工具，使得学生创造画圆的目标清晰，注意集中于几种工具；通过四个问题，将画圆行为与圆的本质建立联系。改进后的教学，在“画圆”的操作活动中将学生的思维外显，在每一次操作活动后的思考中使

22、学生渐渐靠近圆的本质属性，既符合学生的认知起点又能够让学生靠近知识本质，具体教学片断如下。（一）一次画圆，激活已有经验聚焦围成圆的曲线。根据前测，我们可以看到，拓印和圆规两种方式是学生画圆的起点。然而，拓印的圆没有圆心，学生在拓印的时候更多关注物体边缘部分，而不会关注圆心，更不会关注圆心和圆上的距离。通过两种方法的比较，让学生体会到圆规画圆的优势，从而把学生的注意力牵引到关注圆心和围成圆的曲线上，初步感受圆心到圆上距离相等的本质。【教学片断】教师提供工具（如下图），让学生选择其中的工具画一个圆。画完后 教师引导学生对两种“实物拓印”和“圆规画圆”的两种方法进行对比。通过对比得出，用实物拓印的圆

23、大小固定不工整，圆规画的圆大小可以变化而且工整。（二）二次画圆，圆规初次画圆形成画圆技能。 从前测知道，学生已经会用圆规画圆，但是也遇到一些困难。让学生尝试用圆规画圆，再将自己的思考过程完整呈现，通过正例引领和反例辨析，提出用圆规画圆的注意点，从而让学生关注到圆心固定，圆规两脚之间的距离也需要保持不变，才能用圆规画出圆，提升技能的同时再次体会圆的本质属性。【教学片断】（1）学生利用圆规随意画圆，边画边想，是怎么画的。（2）正例反馈：请画得好的学生边画边说自己是怎么画圆的。（3）反例反馈：出示两幅画得不成功的圆，学生说一说，在画的过程中出现什么状况。 （4）师生共同总结：画圆的时候要注意，圆规针

24、尖要固定在一点上，两脚之间的距离保持不变，绕着中心旋转一周画出一个圆。（5）师：针尖所刺的位置叫做什么？圆规两脚之间的距离又叫做什么?生：圆心、半径（三）三次画圆，提升技能感受位置大小与什么有关。从前测中看到，对于圆的位置由谁决定，圆的大小与谁有关的问题，只有小部分学生知道结论多数同学都不清楚。因此，通过画不同位置与大小的圆，让学生体会到圆的位置与圆心有关，大小与半径有关。同时也让学生再次将注意力关注到圆心与圆上任意一点之间的距离（半径）。【教学片断】（1）学生画几个与刚才画的位置不同，大小也不一样圆，边画边想，是怎么做到的？反馈学生作品： 讨论：你是怎么做到的？生1：我把针尖刺到一个地方画一

25、个圆，换一个地方就画另一个圆。生2：我把圆规两脚之间的距离拉开，圆就大一点。师：那么你觉得圆的位置与谁有关？大小呢？生1：圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。（2）学生选一个刚才画的圆，在圆中画出自己认为的半径和直径，边画边想，什么是半径什么是直径？师生归纳：半径和直径的定义。（四）四次画圆，画规定半径长度的圆归纳圆的特征画规定半径的圆对学生来说技能上的要求有一点提高，需要多一步确定半径的长度。通过，画规定半径的圆，让学生归纳出画圆的基本步骤，同时体会到半径长度确定了圆的大小也确定了。【教学片断】出示第四次画圆的活动要求：（1）请你画一个圆，半径可以是3厘米、4厘米或者5厘米，并且标出各部分名

26、称。想一想，这次你又是怎画的？（2）请你在这个圆中画出一些半径和直径，有什么发现？ 反馈交流学生的作品，有半径是3厘米的，也有半径是4厘米的和5厘米的。讨论：怎么画出规定半径的圆？师生总结：确定圆心，这次要量出半径的长度也就是保证了半径长度不变，旋转一周画出了圆。讨论：有什么发现？生：圆的半径有无数条，直径也有无数条；半径长度是直径的一半；直径长度是半径的2倍；在同一个圆内，半径长度都相等直径的长度都相等。（五）五次画圆，利用原理画圆直击圆的本质属性经过以上四次的画圆活动，学生已经通过画圆将自己对圆的认识充分外显，知道画圆需要首先确定圆心再确定半径的长处，最后旋转一周。但是，这仅仅是画圆的方法，也仅仅是用圆规画圆的方法。因此，需要学生将圆规画圆的方法运用到其他工具画圆，这样才能根据理性的圆的成分画出圆