一类微生物模型的动力学分析

1、类微生物模型的动力学分析摘 要：艰难梭菌感染!clostridium difficile infection,CDI)是一个严重影响人类健康的疾病，而阑尾细菌可以 在一定程度上抑制CDI的发生和感染.考虑了一类艰难梭菌感染的三维系统，用微分方程定性理论的知识分析系 统平衡点的存在性和闭轨的不存在性.关键词：非线性动力学；平衡点；闭轨;CDI(1(1)(2)成人的肠胃微生物种群是一个生态系统，一般 来说是相对稳定的；但一些外部的干扰，如饮食的急 剧变化，或抗生素的使用，会让微生物种群失调，从 而影响肠胃功能，或诱发疾病.例如，长期使用抗生 素，尤其是克林霉素，容易引起菌群失调，使耐药的 艰难梭菌

2、被药物选择出后大量繁殖而致病，导致抗 生素相关性腹泻，这就是艰难梭菌感染(CDI).而阑 尾可以保护结肠免受艰难梭菌的感染.一方面，阑尾 将细菌引入肠道，与艰难梭菌进行竞争；另一方面， 阑尾可以激发身体免疫来抵抗CDI，但目前尚没有 可靠的科学依据，需要进一步的观察研究.文献1( 从微生物群落的角度来考虑这个问题，提出阑尾和 肠道微生物群的生态模型来描述阑尾细菌和CDI 之间的关系.它忽略炎症动力学，并考虑阑尾仅通过 迁移作用于结肠微生物系统.阑尾细菌(A)被视为 促进结肠“好”细菌(G)生长的单一的类别.这些共 生细菌与艰难梭菌(C)竞争资源.这些变量的时间演 变由下面三个耦合微分方程组给出

3、：=+# (1 ) 4#， TOC o 1-5 h z dtkdGG + dC ,.,亍=$G (1,) + mA，dtIde % C + G)IdT = e(1L )v 其中，+描述阑尾细菌的最大增长率，$描述结肠细 菌的最大增长率，；描述艰难杆菌的最大增长率，m 描述细菌从阑尾到结场的迁移率，以上取值范围均 为01; k描述阑尾容纳量，取值范围为010; 描述结肠容纳量，取值范围为10/107 ; d描述竟 争效应对结肠细菌的影响，/描述竞争效应对阑尾 细菌的影响，取值范围均为。10.文献1(求出系 统(1)的极限方程，并求出了极限方程的平衡点和它 们的存在条件及稳定性.本文将避开极限方程

4、，直接 考虑三维系统(1).本文首先分析出它的平衡点个 数，然后分析平衡点的存在性和闭轨的不存在性.平衡点的存在性用变量代换 A = 9$ + G = yl + C = zl + t = D、a =9( + m)、7 = 、s = 4、c = 4.并把 t 换成 t， +k $l$那么系统(1)就变为-dx-qbx (x )，dtdy, = y y2 dyz +cx， dtd = s *z z2 fyz).新的参数、b、f、c、s取值范围分别为(一，)、(0,)、(0,)、(0,)、(0,).因为系统(2)是 二次的，所以最多有8个平衡点，分别记为E%、E、 E/ 62 67、Es、E&、E；

5、,其中 E, (10,08, 1N)如 证明中所定义.命题1系统(2)的平衡点Ei、E、E7总是存 平衡点E/E都存在；当V-2时，E/E 不存 在 当2 V- V0 时,E/、E2 存在.E4、E&、E；的 存在性如表1所示. 当 ar/0时，E/E 只有一个存在；当ar = 0时，表1 Ey、E,、Ez的存在性dfar平衡点的分布/ (d 1)2E4存在a，V4(fd 1)0f0E。存在E&E；只有一个存在,1arV0E4、E&、E8都不存在f dar0不存在，E&、E；只有一个存在f1arV0ar0不存在,E&、E；只有一个存在E。、E&、E；不存在0VfV1arV0ar0存在，E&、E

6、；不存在 存在，E&、E8只有一个存在d = 1f=1arV0ar0不存在E&E；只有一个存在 不存在,E& ,E；不存在f1arV0E。存在E&E；只有一个存在ar0存在E&、E；不存在10VfVdarV0ar0E。、E&、E；不存在 不存在，E&、E；只有一个存在f 1arV0不存在,E&、E；只有一个存在f dar0E4、E&、E8都不存在arV0不存在，E&、E8只有一个存在1VdV10fd0Var4(fd-1)存在在证明为了得到系统平衡点的存在性，采用如下的方法化简由系统(2)的第一个方程和第三个方程 解得:9 =0,N=0,或 9 =-,=0,或 9 =0, =1 Eh，或9 =-

7、 , =1 .fy将这四个解分别带入系统 (2)的第二个方程，得到四个二次函数：fi(y)= (y 1)y、E(y) = y2 Wy Warf/ (y) = y (Tfy y d + 1)、f4(y) = (d f 1) y2 W (1 T)y W ar.因为系统的平衡点与上述四个二次函数的非负 数根一一对应，则f 1 (y)总是有两个解，对应着总 是存在两个平衡点E1和E2.对于f 2 (y )，当 ar V。，那么它在(0 ,)上 只有一个实根，对应着平衡点E/；另外，当=0 时，0也是它的一个根，对应着平衡点Er当V2时系统没有正根，对应着E/E不存在；当一2 VarV0时，系统有两个正

8、根，对应着E/、E4存在.f/ (y) 一定有一个根为。，对应着平衡点E5,还有一个解为y =,对应着平衡点E6，它的存在条df 1件是 & 0,既(d 1) (df 1)/0 或 d = 1.df 1当 df1=当 df1=0 时，如果-c(d 1) 。或d =1, f 4 (y)没有 实根.当df 1 4 0时，f4(y)化成标准形式为 (4 (y) = y+By+C，其中 B= fC = df14adfr 4ar d + d 140,B 4C = 4aC d 1 .则当B 0,C0, A -4C0时，有两个实根，对应着 平衡点 E& 和 ；当10 或 B 0,或 B 0,B 4C=0 或

9、 B 0,B 4C0 时，没有实根， 对应平衡点E&和E；不存在.用 Maple 的包 SolveTools 中的函数 Semi Algebraic 计算就可以得出表1.2闭轨的不存在性(3)(3)(4)当/ = 0或/ = a时，=0,也就是在9 = 0平 面上的轨线不会跑到9=0平面外,9= a平面上的轨 线不会跑到9= a平面外.所以9=。和9= a是系统 (3)的两个不变平面.当9= 0时，系统()退化为MyM =y y dyz =51 (y ),vz =s(z z fyzZ =Q(y ,z).当9 =a时,系统()退化为My=y y 一 dyz + ra =5(y z), Dvz =

10、s(z z fyz) =Q(y ,z).引理1系统(3)在a40 , 1 。的情况下， 没有闭轨.其中a 1 = (fs + )(Tfs + fs + TR4s )=s(dfs3 df s 1fs3d 8fs4 +Tf!s +4Tf!s +4Tfs +4fs3T! + ;fs3 +;fs4 R1dfs 56fs! 3fs3 + 8ds + 4dfs + 4s! +4 fs + 3 s 3 R8 T R3 sT+ 8 T+ 3 s ) .证明：首先，计算出向量场(51(y,z) , Q(y ,z) 的散度.g 51 (y ,z) +Q(y ,z)= TOC o 1-5 h z dydz33(y

11、H dyz) + (sz(1 z fy)= dy8zdz 2y+1+s (f y z + 1).fsy s + y1考虑直线5 : z= ,在5上,向T+ s量场的散度为0 ,并且这条直线将向量场分成三个 部分,在5两边,向量场都保持定号.根据Dulac判 据，如果系统有闭轨y，那么就有y9 5 = )A1,B1 4 ：成立，并且向量场(51, Q)在A1&B1 两点分别指向直线5的两侧，根据函数的连续性,线 段A1&B1上必存在一点E1,满足Q(y ,z)51(y,z) E1dy E1也就是fy (fsy s + y 1)d +s(fsys + y 1) fsys + y 1)/(d + s

12、)d + sMy ( fsy s +y 1 )fs +(d+s_y +y) = d+s，化简得a1y+D1y+c1=0.(5)其中a 1= (fs +)(Tfs +fs+T4s )71 = s (3dfs +fs + df fs +4d 8),C1 = (d +s 1) (s + 1)s.这是一个关于y的二次方程,计算出它的判别式为 1=s(dfs3dfs 1fs! 8fs4 + dfs + 4df s +4Hfs+4fs! +8 fs3 + 8fs41T!fs 56fs T! 3fs3+8T s +4Tfs + 4 s T! +4 fs +3 s 38 T3 sT+8 T+3 s ) 根据定

13、理的条件，可以知道a1 40 ,且1 0 ,故(5) 恒不为0 ,得出矛盾.引理2 系统(4)在a 40 , , 2 V0时，系统没有闭轨.证明：把整个空间分成五个部分，9a、9=a、 0%9 Va 9 = 0、9 V0(不在定义域内).不难发现,系 统的所有平衡点都落在9=0和9 =a上,而在区 dz域9 a , 0 V9 Va , 9 V0上,有40.假设在这些 dz区域上有闭轨，那么9=9(Z)就是一个周期函数, 也就是存在9 (11 ) = 9 (l1 + T) = 9 (Z 2 ).根据 Cauchy引理，在区间(A ,Z 2 )上存在一个点Z使得 d9 =0 ,矛盾.所以在区域9a,0V9Va,9V0 dZ Z3上，没有闭轨.当9=0时，系统退化为(2 )，当9=a 时，系统退化为(3).则由引理1,可以知道系统(2 ) 没有闭轨.由引理2,可以知道，系统(3)没有闭轨.综 上，系统在90上没有闭轨.3结论本文分析了一类微生物模型，分析了平衡点的 存在性和闭轨的不存在性.一般来讲，当分析清楚了 一个系统的平衡点和极限环的性质之后，就可以把 这个系统的全局结构大致的勾勒出来.与已有文献 相比较3,本文的分析是直接针对三维系统的，更加 合理和准确.36ad2f 2rs2 12adf2rsi +d2f 2s2 2d2f 2s3 12df s2 8f 气7