防洪物质调运问题交通流最终版

1、PAGE PAGE 22交通流问题孙东方（数学院）高上起（信息院）李一山（资安院）摘要问题一的题设给出了很好的一个研究线索。受此启发，本文在单行道，无超车等基本假设的基础上定义了交通流基本参数（具体见基本假设和符号说明），建立了车流的基本关系，导出了车辆守恒方程，进而建立了包含车辆跟随模型的交通流模型。利用这个模型对问题一至问题六进行了求解。接着对模型进行了进一步的分析，分别研究了模型中密度波传播的问题以及非连续交通流的问题，并利用得出的结论解决了问题七至问题十。最后对模型的不足和可能的推广作了简单阐述。在第一个问题中，本文采用了数值拟合得出测量某时刻车流密度的最佳区间长度2r。考虑到公路很长

2、，r不大时可以认为所建的模型是连续的，为后续问题的讨论奠定了基础。第二、三个问题我们分别选取了一个物理模型（交通流模型中的子模型）求出了结果。第四问先推导出车流速度与密度的关系，再用MATLAB非线性拟合进行拟合，得到了描述车流速度与密度、流量与密度的关系，发现可以很好的与观测数据相符。后面几问是在前四问的基础上进行讨论的。在对模型做了进一步假设后，建立了车流的基本关系，导出了车辆守恒方程，进而建立了包含车辆跟随模型的交通流模型。利用这个模型对问题一至问题六进行了求解。接着对模型进行了进一步的分析，分别研究了模型中密度波传播的问题以及非连续交通流的问题，求解过程中，我们得到了车流恒定方程、车辆

3、跟随方程、车流速度与密度的关系以及红绿灯时车流速度，密度变化规律，对交通中红绿灯的时间设置及管理提供了一定的依据。文章最后对模型的不足和可能的推广作了简单阐述。关键词：交通流模型 密度波 密度波传播 非连续交通流目录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc174471483 1.问题重述 PAGEREF _Toc174471483 h 3 HYPERLINK l _Toc174471484 2.基本假设 PAGEREF _Toc174471484 h 3 HYPERLINK l _Toc174471485 3.符号说明 PAGEREF _Toc174471485 h

4、4 HYPERLINK l _Toc174471486 4.问题一：测量区间的选取 PAGEREF _Toc174471486 h 4 HYPERLINK l _Toc174471487 5.问题二：证明N(t)的变化率满足一个重要关系 PAGEREF _Toc174471487 h 8 HYPERLINK l _Toc174471488 6.问题三：给出两辆车的车速和距离估计值 PAGEREF _Toc174471488 h 8 HYPERLINK l _Toc174471489 7.问题四：据数据给出速度-密度关系模型 PAGEREF _Toc174471489 h 10 HYPERLIN

5、K l _Toc174471490 8.问题五：证明=-(du/d)*(du/dx) PAGEREF _Toc174471490 h 12 HYPERLINK l _Toc174471491 9.问题六：带有反应时间T的线性车辆跟随模型分析 PAGEREF _Toc174471491 h 15 HYPERLINK l _Toc174471492 10.问题七：计算密度波传播速度并且证明其小于汽车的速度 PAGEREF _Toc174471492 h 16 HYPERLINK l _Toc174471493 11.问题八：两小时后会不会有=m/2 PAGEREF _Toc174471493 h

6、17 HYPERLINK l _Toc174471494 12.问题九：交通灯由红变绿后的车流密度 PAGEREF _Toc174471494 h 19 HYPERLINK l _Toc174471495 13.问题十的分析求解 PAGEREF _Toc174471495 h 20 HYPERLINK l _Toc174471496 14.模型的评价与推广 PAGEREF _Toc174471496 h 21 HYPERLINK l _Toc174471497 15.参考文献 PAGEREF _Toc174471497 h 21 HYPERLINK l _Toc174471498 16.附录

7、PAGEREF _Toc174471498 h 21 HYPERLINK l _Toc174471499 (一)问题一的程序代码： PAGEREF _Toc174471499 h 21 HYPERLINK l _Toc174471500 (二)问题四的程序代码： PAGEREF _Toc174471500 h 22问题重述问题背景：随着现代化发展的程度不断深入,人口和交通工具的不断增多,世界各国都面临交通问题.而在当今的信息化社会里,效率就是时间,时间就是财富.而随着人们拥有汽车的数量不断地增长,优化交通管理成为亟需 解决的突出问题之一.要求对以下问题进行研究：在给出的初步模型（在单车道的区间

8、0，100上有45辆汽车，在并给出了每辆车的位置坐标）讨论分析如何选取测量区间来定义在x=50处的车辆密度。证明动态研究路段的车流量变化率满足的一个重要关系在两个固定观测站条件下，求通过的两辆车的车速和距离的估计值。利用所观测得到的速度密度关系的数据给出速度-密度关系模型，并画出它们的流量密度曲线，并确定这条隧道的容量。设u=u(),如果表示每辆汽车的加速度，证明=-(du/d)*(du/dx),其中负号是否有道理？试对带有反应时间T的线性车辆跟随模型进行分析。设u()=um(-/m)。如果车流密度处处在0附近，试计算其密度波的传播速度并且证明这个速度要小于汽车的速度。结果表明林肯隧道的资料适

9、合于模型q()=am-。假设初始密度将在区间-x0,0内从m线性地减为0.问两小时后会不会有=/2?设u=um(1-p2/pm2).试给出公路上交通灯由红变绿后的车流密度。如果交通灯由红灯变成绿灯，试给出这个信息的传播速度。基本假设在高速公路上各种类型的机动车一辆接着一辆的飞驶而过，就象在江河中奔腾的水流一样，一股车流沿着公路滚滚向前。因此它启发我们把车流看成连续的流体，利用物理上处理液体动力的思想来分析和讨论交通流的有关问题。于是我们可以作出以下假设：假设车辆沿着一条无穷长的单车道，沿着单一方向运动，并设其为x轴。公路沿途没有岔路口及其它入口或出口。即关于车辆守恒的假设：在一个路段上除了从端

10、点驶往和驶出的的车辆处，不会在其中出现或消失其它的车辆。单车道内不允许超车。汽车速度仅仅依赖于车流速度。如果路上车辆很少时，汽车将以其可能的最大速度行驶。在一定的密度下（拥护以致发生堵塞时）汽车将停止不动。密度和流量是连续的（甚至于连续可微）。速度仅仅是密度的函数。符号说明单位距离的公路上的车辆数，即车辆密度r车辆密度单位区间的半径X设公路为x 轴，车辆沿x 轴的正向运动。一辆车的位置表示为x(t),它是时间t的函数。于是速度为dx(t)/dt,加速度为q流量某时刻通过固定点的车速度q道路的车流量N某时刻某区间内的车辆数T因驾驶人的动作反应时间引起的加速度的延迟灵敏系数问题一：测量区间的选取我

11、们设区间半径为r 。公路在x=50处车辆的密度可以表示为以半径为r区间50r,50+r上的车辆数量N除以区间的长度2r。即： （1） 由于给出的车辆数N对于位置的函数是离散的。所以如果r非常小，车辆实际上就由于偏大而不能正确的反映x=50这点的车辆密度。为研究r的取值与车辆密度的关系，用MATLAB6.0软件绘制出r图像如图表1所示。图表 SEQ 图表 * ARABIC 1：区间r的选取与密度的关系图（测量区间变化较大）由图表1可知，刚开始密度变化很快，有一定的突变，随着r取值增大，的取值趋于平稳。但从另一个角度来说，车辆密度是描述一段道路中某一位置（本题中为x=50）的特征量，而公式区（1）

12、中N为该位置为中点的区间上的车辆数。所以区间取的越大就越不能反映其中心位置的特征。由于我们取的测量区间变化较快，所以我们也可以看一下区间变化较小的情况，下面我们也给出其图表2。图表 2：区间r的选取与密度的关系图（测量区间变化较大）由图表1，2我们认为r取为20是合理的，即测量区间为30，70，在此测量区间以后车辆密度就会趋于稳定，大概为0.45。下面我们可以进一步研究不同点的密度与测量区间的关系，还是利用原来编写的matlab程序，再稍做改变就可以得到图表3。图表 3：区间r的选取与密度的关系图（取不同的点）由图表3可以看出，取不同的测试点，开始的密度也是变化很快，最后的密度都会趋于稳定，而

13、且基本上和测试点x50是相同的，当然这里我们要去除边界上的点，因为边界点的区间不好取，会产生较大的误差。问题二：证明N(t)的变化率满足一个重要关系如下图图（1）表示在公路上有两个观测站，一个固定在x=a，另一个是移动的x=b(t)。N(t)表示公路上区间a,b(t)内的车辆数图（1）a (a (t) b(t) b(t+t)我们知道，流量q(x,t)=u(x,t)(x,t)及车辆数N=q(x,t)t所以，在t时间内，有t辆车从a段进入区间，有t辆车从b段开出区间，另外， 由于观测点x=b(t) 是移动的，所以相当于又有(b,t) x辆车进入区间（其中）。于是，变化的总车辆为t-t+(b,t)

14、x所以dNdt=即：dNdt=-(b,t)u(b,t)-db/dt+(a,t)u(a,t)问题三：给出两辆车的车速和距离估计值从题目中可以知道两个观测站的位置是固定的，现在给出了两个观测站对a，b两辆汽车通过观测站的时刻，分别为ta1，ta2，tb1，tb2，为了方便计算，我们可以假设它们的时间有关系有ta1ta2tb1 0时，车辆守恒方程特征线满足dx/dt=dq/d，又注意到车流关系q()= ()易知（x，0）=0,因此眼所有这些现有=0。则因此，在t=0时，通过点x。的特征线由给出，于是，在x0 时，当时间t x/um时，一直没有车辆在行驶。当x0) 和我们再令x0=0,得到，第一辆车追

15、上前面的车流的时的位置=Um(t-),最后一辆车开始运动的位置=mUm(m) (t-)，代入题目给出的速度公式u=um(1-p2/pm2) 可以解出： 我们得到。问题十的分析求解在第九题的分析基础上，我们易得到x=Um(t-)即信息传递速度为Um模型的评价与推广该模型只研究单行道上的机动车交通流的问题。而实际状况下的道路多数不是单行道，且多为双行道。道路存在分岔，弯道；道路上又存在着车辆流，行人流，自行车流（这在我国尤其典型）分流，交汇的复杂问题。这显然不是单单依靠本模型可以解决的。而该模型除解决本题外也有其他的应用价值，例如在研究隧道交通流问题时可以运用本模型推导出隧道内车流的最佳车流密度，

16、管理人员可以根据实际情况的不同随时对进入隧道的车流量进行控制。该模型也可以运用在生产线的管理上。参考文献数学模型（第三版） HYPERLINK /search/power_search/power_search.asp?key1=%BD%AA%C6%F4%D4%B4+%D0%BB%BD%F0%D0%C7+%D2%B6%BF%A1 t _blank 姜启源 谢金星 叶俊 同作者作品 高等教育出版社附录问题一的程序代码：hold off;clear;r=1:50;position=1.0,3.1,6.1,9.4,12.7,14.1,15.2,16.9,18.9, 20.1,21.5,23.5,25

17、.8,28.9,31.3,34.8,37.0,40.1, 43.4,44.9,46.4,47.9,49.6,51.6,53.3,54.8,56.6, 58.3,59.6,60.6,61.9,62.9,63.7,65.0,66.6,69.8, 72.1,76.3,78.8,81.6,84.2,87.7,90.8,95.1,99.3;m,n=size(r);for k=45:50 for i=1:n num=0; for j=1:45 if abs(position(j)-k)=r(i) num=num+1; end end midu(i)=num/2/r(i); end subplot(4,1,

18、4) plot(r,midu); hold on;endxlabel(r);ylabel(midu);title(密度与测量区间的关系);问题四的程序代码：syms x;t=34 44 53 60 74 82 88 94 94 96 103 112 108 129 132 139 160 165;y=32 28 25 23 20 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6;m,n=size(t);myfunc=inline(beta(1)+beta(2)*(log(beta(3)+log(beta(4)*(1./t),beta,t); beta=nlinfit(t,y,myfunc,1 1 1 1);for i=1:n s=t(i);y1(i)=beta(1)+beta(2)*(log(beta(3)+log(beta(4)*(1./s);endbetaplot(t,y,*,t,y1,r);y1=beta(1)+beta(2)*(log(beta(3)+log(beta(4)*(1./x);xlabel(密度);ylabel(速度);syms x;t=34 44 53 60 74 82 88 94 94 96 1