《概率论基础教程》总结2随机变量、期望、方差

1、2随机变量、期望、差随机变量随机变量定义：随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种随机变量不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是定的，此种变量称为随机变量。随机变量先是个变量。昨天的天，你的考成绩都是随机变量，不过这些是确定疑的，相反随机变量结果不确定。累计分布函数定义：这X为实随机变量，即取值为实数的随机变量。（离散）伯努利变量：变量取值1或0，取值1概率为p，取值0概率为1-p。期望p，差p(1-p)。（离散）项随机变量：进n次独重复实验，每次成功概率p，总共成功次数x是项随机变量。记为参数为(n,p)的随机变量。项随机变量可以看做是n个独同分布伯努利变

2、量的和构成的随机变量。项分布分布列（概率质量函数）：期望np，差np(1-p)。（离散）泊松随机变量：现实活中很多显现服从泊松分布，举个例：医院每天接待的病数、超市某商品每天的销售数、公司每天接到电话数、本书中错别字个数。这些问题中存在个单位范围：天、页书。这个单位范围中某事件发的次数就符合泊松分布。参数lambda可以在更范围统计平均值得到：年中平均每天病数、整本书中平均页错别字数。个明显的问题是，为什么这些问题付聪泊松分布，不是其他的如正态分布？这个涉及到概率论更级的问题，叫做泊松过程，如果事件是个泊松过程，那么它就服从泊松分布。具体学习随机过程教程。泊松分布 分布列：上式表，在t个单位时

3、间内，发n次事件的概率。当t为个单位时间时，可以如下表：泊松分布的均值、差都等于参数(lambda)另外，在某些条件下，项分布可以泊松分布近似。（连续）均匀随机变量概率密度函数：均值差：（连续）正态随机变量正态分布概是概率论中最重要的随机分布了。个原因是因为中极限定理说明了多个随机变量的和服从正态分布。活中的例有：的分布、测量误差的分布。实际上，正态分布在现实活中并没有那么常见，相反指数正太分布更常见（即是个随机变量的对数值服从正态分布）。正太分布密度函数：均值差分别为和。正态分布的计算：正态分布的计算过程是根据均值差的特点，将正态分布化为均值0、差1的标准分布。然后查表计算概率值。正态分布可

4、以于近似项分布，在计算离散值时需要进连续性修正。（连续）指数随机变量：指数分布概率密度函数：实际上，指数分布表了现实活中事件发的时间间隔的概率。神奇的是，指数分布可以由泊松分布推倒来：下次事件发的时间间隔于 t 的概率等于泊松分布中 t 时间内发0次该时间的概率。可以证明指数随机变量的公式可以由泊松分布得到。所以指数随机变量和泊松随机变量紧密相关，个衡量了段时间内发次数的概率，另个衡量了事件之间等待时间的概率。指数分布的记忆性：记忆性表现为：或者写为：也就是说，下次事件如果在 t 时间内没发，那么在 (t, t + s) 时间发的概率和在(0,s) 时间内发的概率相同。也就是长度为 t 的时间

5、对分布没有影响，或者说，被遗忘了。更级的概率分布：(Gamma)分布：参数为（n，）的gamma分布，在n为整数时，表了时间发n次需要的等待时间的分布。当n为1时，即是指数分布。实际上，参数为n的gamma随机变量是n个指数随机变量的和。所以，根据中极限定理，当n很时，gamma分布会趋近于正态分布。卡分布：卡分布也是由gamma分布来，取gamma分布的参数为（1/2， n/2）即得到由度为n的卡分布。卡分布常出现在误差分布中，例如n维空间上每个维度的偏差服从标准正态分布，那么最后整体的误差的平（也是各个维度的偏差的平和）服从由度为n的卡分布。3两个变量的联合概率密度函数/分布函数：即是有两

6、个变量的密度函数/分布函数。边缘分布：联合分布函数中，其中个变量取穷，得到另个变量的边缘分布函数。条件分布：随机变量的条件分布和事件的条件概率相同。有公式：左边的是已知x条件下y的概率密度函数，右边是xy联合概率密度函数除以x的边缘概率密度函数。离散情况类似。独随机变量：xy两个变量独，如果y的边缘密度函数等于已知x时y的条件密度函数，或者反过来。也就是说，x的值不影响y的分布。两个独的随机变量的联合密度函数等于各的密度函数的乘积。xy两个随机变量独的充分必要条件是：xy的联合概率密度函数可以分解为两个部分，个部分只和x有关，另个部分只和y有关。独性的对称性：独性的对称性是指，如果x独于y，那

7、么y也是独于x的。独性总是双向同时存在的，有时候法判断X是否独于Y，不妨换个度判断Y是否独于X。独随机变量和的分布：随机变量XY和为Z时，Z随机变量的概率密度函数为：两个相同的均匀分布的和的分布，变成了三形。gamma分布的和还是gamma分布。（参数不同）神奇的是，上的式被称为求卷积。、期望、差、协差1期望的定义：离散：连续：如何理解呢，根据离散随机变量的期望定义，期望是随机变量可能值的加权平均，权重是每种可能值的概率。期望定义了个随机变量取值的概位置（加权平均衡量）。期望的性质：1、期望是线性函数：这条性质、以及差的性质保证了任意的正态分布可以化为标准分布。2、随机变量函数的期望：3、随机

8、变量和的期望：随机变量和的期望等于期望的和。注意，这条性质并不要求各个随机变量之间独。根据这个性质，可以很容易的从伯努利随机变量的期望推出项随机变量的期望。4、期望值是个常数：根据定义计算差时，会遇到这个步骤，如何理解这个过程呢？我看来，任何随机变量的期望都是固定的，是个常数。算式中的期望可以像常数样提出来。另外可以知道，期望的期望就是期望本。2差的定义：差来表随机变量取值的离散程度。是随机变量值到均值的距离，叫做离差。为了数学处理上的便才使了离差的平，离差平的期望就是差。化简得到差的简化计算公式：协差的定义：定义公式：协差是衡量了两个随机变量整体偏离均值点的程度。另种表达：从这个公式可以看出

9、，当两个变量互相独时，协差为0。差、协差的性质：1、随机变量带常数参数：2、多个随机变量的差：可以看出，当随机变量序列互相独时，随机变量和的差就等于各个随机变量差的和。相关系数：注意，由于量纲的不统，协差并不能来计算两个变量的线性相关性，这需要使相关系数。三、概述内容这概括些没有提到的简短但是重要的内容。1、极限定理：弱数定理、强数定理：主要意思都是：在n趋近穷时，n个独同分布随机变量的平均值趋近于该分布的期望。中极限定理：在n趋近穷时，n个独随机变量的和趋近于标准正态分布。2、各个分布之间的转换各种分布之间有着更深的相互联系，某些极限情况下，会发转换。这总结在学习本书过程中跳过的内容：1、第七章：条件期望结合条件概率和期望。