时间序列的指数平滑预测技术

1、PAGE PAGE 18第五章时间序列的指数平滑预测技术本章重点内容：常数模型的指数平滑法的基本公式与预测方程，初值对预测值的影响及其选择，基本公式的误差校正式，霍尔特指数平滑法，布朗二次指数平滑法，布朗适应性平滑法，各种平滑法之间的关系，比例模型的指数平滑法。5.1常用模型的指数平滑法5.1.11基本公公式与预预测方程程利用时间序序列前tt期的观观察值xx1 ,x2 , xxt预测第第t1期的值值xt1时，设设赋予第第i期的权权重为wwt1I (ii=1,2tt), w1w2 wwt ,计算算诸观察察值的加加权平均均：并取第t+1期预预测值为为这就是所谓谓加权平平均法。加权平均法法的缺点点：

2、(1)权重重不易确确定(2)要记记忆的数数据太多多(3)计算算较繁权权重不易易确定自动取权重重的方法法：自当当前期向向前，各各期权重重按指数数规律下下降，即即第t期，第第t-11期的权重重依次为为由上式看出出，为使使计算方方便，使使权数之之和等于于1。我们们使这一一条件当当t趋近时成立立，即使使得各期权重依依次为上述办法显显然解决决了自动动选权重重的问题题，但尚尚未克服服记忆数数据多和和计算繁繁两个缺缺点。为为此，我我们考虑虑t充分大大时的情情形，这这时得到到:将滞后一期期拿出：得到即:上式称为指指数平滑滑法的基基本公式式，这个个公式是是用递推推公式给给出的，叫做平滑常数，0 1，其值可由预测

3、者任意指定。Tt称为T的(实际上也是x的)第t期的指数平滑值。指数平滑法法的预测测方程是是：即把第t期期的指数数平滑值值作为第第t+11期的预预测值。指数平滑法法的基本本做法用用公式的的形式表表述出来来就是：新的估计值值=平滑常常数利用当当前期资资料的估估计值+(1平滑常常数) 只利用用历史资资料的估估计值指数平滑法法优点：既继承承加权平平均法重重视近期期数据的的思想，又又能克服服以上三三个缺点点。例5-1某经济济变量前前5期的的观察值值是5，66，4，66，3取 T11=5进进行预测测。利用公式（55-5）和和（5-6）逐逐期计算算：解题过程：把计算结果果列入下下表5.1中：表5.1 指数平

4、平均法预预测155265.25344.965.2465.16884.96534.734445.168864.734445.1.22平滑常常数对预预测结果果的影响响越小，对数数据的平平滑能力力越强，但但对数据据变化的的敏感性性越差，越大，对数据的平滑能力越差，但对数据变化的敏感性越强。例5-2时间序序列前110期的的观察值值由表55.2中中列给出出，试分分别以为为平滑常常数进行行预测，取取初值TT1=5。经计算，把把各预测测值都列列入表55.2中中。表5.2 用不同同的进行行指数平平滑预测测15245.05.05.0364.94.54.1475.05.35.8535.26.16.9625.04.

5、63.4754.73.32.1864.74.14.7934.85.15.91074.74.03.3114.95.56.6图5-1平平滑常数数对预测测值的影影响5.1.33基本公公式的显显式形式式反复利用公公式(55-5),可以以得到5.1.44初值对对预测值值的影响响及其选选择初值只是是对前若若干期的的预测值值产生较较大影响响，随着着t的增大大，它对对预测值值的影响响越来越越小。例5-3时时间序列列前122期的观观察值如如表5.3中列列所示。取取 试试分别用用初值TT1=2, T11=7进进行预测测。表5.3 用不同同的初值值进行指指数平滑滑预测1225275.0372.66.64.0443.

6、56.73.2563.66.12.6654.16.12.0734.35.91.6854.05.31.3934.25.31.01024.04.80.81163.64.20.71254.14.60.5134.24.70.4我们对初值值的选取取提出以以下建议议：(1)如果果只有一一期数据据，没有有任何其其它任何何信息，不不妨取TT1=x1。(2)如果果已有若若干期数数据了，可可以取TT1为前几几期数据据的平均均值。如如果数据据很多，可可以用前前一半数数据的平平均值取取初值，用用后一半半数据平平滑。(3)如果果在应用用指数平平滑法预预测之前前，已用用其它方方法作过过预测，可可把用其其它方法法得到的的第

7、1期的预预测值作作为指数数平滑法法的初值值。(4)对初初值的选选取，也也可以采采用专家家估计的的办法。(5)用逆逆平滑法法取初值值。所谓谓逆平滑滑法就是是：先选选定一个个初值TT1，用指数数平滑法法逐期平平滑，直直到数据据的最后后一期；然后再再用所得得预测值值作为初初值，由由后向前前逐期平平滑，直直到第11期。用用这时所所得的预预测值作作为真正正预测时时正式的的初值。(5)如果果数据不不多，对对的选取取信心不不足，可可以采取取观望态态度，也也就是说说，前几几期预测测结果暂暂时不要要用于决决策，等等看到预预测值可可以相信信的迹象象时再用用。(6)如对对初值的的选取把把握不大大，开始始时可选选取较

8、大大的以减轻轻预测值值对初值值的依赖赖；过一一段时间间后，再再把的值降降下来。5.1.55基本公公式的误误差校正正形式下面公式称称为指数数平滑法法的误差差校正式式。或写成:习题：下列时间序序列中，哪哪些适合合于用简简单指数数平滑法法预测？(1) 1000 1110 1055 1003 995 997 998 1100 1033 1005;(2) 155 166 188 233 222 288 299 355 33 38;(3) 1000 955 800 93 75 60 59 622 55 554;(4) 1000 1150 1000 1550 1000 1550 1000 1550 1100

9、 1500.用简单指数数平滑法法对下面面的时间间序列进进行预测测，取=0.2，T1=x1，并计算算MSEE及MAPPE。110101010-210003100541015510226102173.用简单单指数平平滑法预预测，取取=0.2，利利用误差差校正式式填写下下表中的的空白处处：1028.55529-0.4551128.00028.911-0.9111230.32228.72281.5922134.对第11题(1)中的时时间序列列，取初初值T1=1000，分别别用=0.2和0.55 作简简单指数数平滑预预测，并并在同一一直角坐坐标系中中把实际际观察值值和两种种预测值值都画出出来，分分别以折

10、折线连结结。这两两条预测测线中，哪哪一个波波动较小小，哪一一个对数数据变化化更加敏敏感？本节需要注注意的问问题：本本节讲的的指数平平滑法只只适合常常数模型型，为了了和以后后要讲的的其它模模型的指指数平滑滑法相区区别，本本节讲的的常数模模型的指指数平滑滑法为简简单指数数平滑法法。5.2线性性模型的的指数平平滑法本节所要研研究的是是线性模模型，即即这里，t表表示当前前期，TTt表示第第t期(当前期期)的趋势势值。b=TtTt-11称为趋趋势增量量，它表表示每过过一个时时期趋势势值的增增加量。5.2.11霍尔特特指数平平滑法(1)基本本公式与与方程预测方程:其中各符号号的意义义:当前期预测测超前期期

11、数(或或称预测测步长)利用第期或或前期数数据对第第期或第第期趋势势的估计计。利用前期或或前期数数据对趋趋势增量量的估计计第期的实际际观察值值利用前期数数据对期期的预测测值平滑常数利用公式(5-114)和和(5-15)计算时时,除两两个平滑滑常数外外需先指指定两个个初值和和例5-4时间序序列前44期的观观察值为为2，44，3，66取=0.2，=0.05,T1=2, b11=7，用用霍尔特特方法对对第2期期-第44期作步步长=11的追溯溯预测，并并对第55期至第第7期分分别作步步长的预预测。反复利用公公式(55-144)-(5-116),得详细结果列列于表55.4中中，为了了对第55期第7期作预预

12、测，表5.4霍霍尔特方方法预测测1220242.40.022332.53660.025582.42463.249940.000022.5611853.3099663.3699873.43000(2)关于于初值的的研究例5-5我国119788-19987年年间各年年的棉布布产量如如表5-5中 所示(单位:亿米),试预预测19988年年的产量量。画出散点图图（图55-4）。从从图中看看出，这这些点大大致分布布在一条条直线的的附近。取取=0.2，=0.05。表5-5我我国棉布布产量的的预测T1（19778年）110.33116.665.62121.55122.225.5933122.223134.7

13、7129.115.66335127.774142.77136.335.74332134.775153.55144.445.85776142.116148.88149.995.84335150.227137.00152.005.65558155.888146.77155.555.51661157.779164.77161.885.58118161.0010(19987年年)173.00168.555.63994167.3311(19988年年)176.22174.11MSE=884.997255,MAAPE=5.1164%(3)误差差校正式式上式是由公公式(55-166)得出出下一步步预测误误差

14、。公式(5-19)(5-20)便是霍霍尔特法法的误差差校正式式。5.2.22布朗二二次指数数平滑法法1、基本本公式与与预测方方程布朗二次指指数平滑滑法就是是为了弥弥补这种种缺陷的的一种方方法.所所谓二次次指数平平滑法,就是对对一次指指数平滑滑后的序序列再作作一次指指数平滑滑,使序序列反映映出线性性趋势,建立线线性方程程进行预预测的方方法。2、误差差校正式式5.2.33布朗适适应性平平滑法对2，4，33，6四四个数据据，用布布朗适应应性平滑滑法，取取r=00.9,T1=2,b1=0.利用公式逐逐期计算算详细结果见见表5.8。表5.8 布朗朗适应性性平滑法法预测r1220242.380.02223

15、32.51440.02662.40.6463.197740.060062.543.4653.258863.3188673.379925.2.44各种方方法间的的关系应性平滑法法与二次次指数平平滑法的的等价性性应性平滑法法与二次次指数平平滑法都都是霍尔尔特指数数平滑法法的特殊殊情形5.3比例例模型的的指数平平滑法5.3.11缪尔指指数平滑滑法例5-8时时间序列列前5期期的观察察值为：2.22,2.4,22.7,2.99,3.3试用缪尔指指数平滑滑法预测测第6期期和第77期的值值。取=0.2，=0.05,T1=2.2, r1=1。利利用公式式逐期计计算：详细结果见见表5.11。表5.111 缪缪尔

16、指数数平滑法法预测12.22.2122.42.241.000002.232.72.333361.003302.242242.92.452241.005542.3400553.32.632241.008872.4655562.6555572.67887这里,预测测值比实实际值低低得较多多,主要要原因是是r的初初值取为为r1=1太太低,而而且=00.055较小，数数据个数数又太少少。5.3.22线性化化目前，缪缪尔指数数平滑法法应用还还不十分分普遍，因因为比例例模型（乘乘法模式式）可以以通过简简单的变变换转化化为线性性模型，然然后利用用线性模模型的预预测方法法预测。例5-100利用例例5-99中的数数据，采采用比例例模型，再再线性化化，预测测我国119888年客运运总量。首先把100个原始始数据分分别取对对数，得得出的110个观观察值。用用霍尔特特方法。取取=0.2，=0.05。初初值用与与上例类类似的办办法选取取（即用用公式（55-188），kk=5）:详细计算见见表5.13。故1988年我国客运总量预测值为（万人）。MSE=11.30004109MAPE=7.331888%表5.133比例模模型线性性化方法法t1（19778年）12.4445112.37740.13777212.5776512.522470.1388312.51117312.3995812.60