常数项级数的概念和性质

1、关于常数项级数的概念和性质第1页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三常数项级数的概念和性质 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件 第一节 第九章 一、问题的提出 第2页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三一、问题的提出1. 计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积第3页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三二、级数的概念1. 级数的定义:(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和第4页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三2. 级数的收敛与发散:第5页，共40页，202

2、2年，5月20日，23点48分，星期三余项第6页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三解第7页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三 收敛 发散 发散 发散 综上第8页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三解已知级数为等比级数，第9页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三解第10页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三第11页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三 例4.判别级数的敛散性 .解:故原级数收敛 , 其和为第12页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三三、基

3、本性质结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.第13页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三解第14页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三第15页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三性质3.在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会影响级数的敛散性.证: 将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，共40页，2022年，5月20日，23点48

4、分，星期三性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证: 设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.因此必有例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散第18页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三例6.判断级数的敛散性:解: 考虑加括号后的级数发散 ,从而原级数发散 .第19页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三四、级数收敛的必要条件 设

5、收敛级数则必有证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三注意:并非级数收敛的充分条件.例如, 调和级数虽然但此级数发散 .事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾!所以假设不真 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法第22页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级

6、数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部分和数列 为单调增加数列.第23页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三证明即部分和数列有界3.比较审敛法第24页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数. 第25页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三解由图可知第26页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.第27页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三证明第28页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期

7、三4.比较审敛法的极限形式:设=1nnu与=1nnv都是正项级数,如果则(1) 当时,二级数有相同的敛散性; (2) 当时，若收敛,则收敛; (3) 当时, 若=1nnv发散,则=1nnu发散;第29页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三证明由比较审敛法的推论, 得证.第30页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三第31页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三解原级数发散.故原级数收敛.第32页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三证明第33页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三收敛发散第34页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三比值审敛法的优点:不必找参考级数. 两点注意:第35页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三第36页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三解第37页，共40页，2022年，5月20日，23点48分，星期三比值审敛法