材料力学基本第五章-圆轴扭转课件

1、第五章 圆轴扭转5-1 外加力偶矩与所传递功率的关系5-2 纯剪切状态与切应力互等定理5-3 圆轴扭转时的切应力分析5-4 圆轴扭转时的迁都与刚度计算5-5 结论与讨论第五章 圆轴扭转5-1 外加力偶矩与所传递功率的关系55.1 外加力偶矩与所传递功率的关系 求横截面n-n上的内力偶矩 截面法 作用于横截面上的内力偶矩称为扭矩 由作用与反作用原理可知，在部分横截面n-n上也必然有大小相等、转向相反的扭矩T 5.1 外加力偶矩与所传递功率的关系 求横截面n-n上的内发生扭转变形的外力偶矩，称为扭转力偶矩 1. 已知外力2. 已知传递的功率P(kW)和转速n(r/min) 得发生扭转变形的外力偶矩

2、，称为扭转力偶矩 1. 已知外力2.5.2 纯剪切状态与切应力互等定理 一、实验观测现象 (1) 纵向线都倾斜了相同的角度，变为平行的螺旋线。 5.2.1薄壁圆筒的扭转时的切应力与纯剪切状态 在圆筒表面画一系列纵向线和圆周线。 (2)圆周线绕杆轴线旋转了不同的角度，但仍保持为圆形，且在原来的平面内。 推断： (a)变形后，横截面仍保持为平面； (b)横截面上没有正应力，只有切应力，切应力的方向与半径垂直。 5.2 纯剪切状态与切应力互等定理 一、实验观测现象 (1研究薄壁筒的任一横截面 横截面上的扭矩 微内力dA对截面形心的力矩为dAR 微面积 dA = Rd 二、切应力的计算即 积分得研究薄

3、壁筒的任一横截面 横截面上的扭矩 微内力dA对截面形取一单元体 力dydz 左、右侧面 上、下侧面 5.2.2 切应力互等定理 平衡条件Mz = 0得dydzdx-dxdzdy=0力偶矩 ( dydz)dx 切应力 切应力 力 dydz 力偶矩( dxdz)dy = 取一单元体 力dydz 左、右侧面 上、下侧面 5.2.2切应力互等定理 在单元体相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，且大小相等，方向都指向(或背离)两平面的交线 纯剪切应力状态 单元体侧面上只有切应力，没有正应力的状态称为纯剪切应力状态。 切应力互等定理 在单元体相互垂直的截面上，切应力必然成对出现直角的改变量即为切应变 低碳

4、钢的 曲线在弹性极限范围内 5.2.3 剪切胡克定理 上式称为剪切胡克定理。 G称为材料的切变模量,单位为帕(Pa) 切变模量G、弹性模量E和泊松比三者之间的关系是 直角的改变量即为切应变 低碳钢的 曲线在弹性极5.3 圆轴扭转时的切应力分析 圆轴扭转的平面假设 变形前为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，半径仍保持为直线，各横截面的形状、大小及间距均不改变。 5.3.1 平面假定 圆轴扭转时横截面上的应力可以从三个方面导出 1几何方面 2物理方面3静力学方面5.3 圆轴扭转时的切应力分析 圆轴扭转的平面假设 5.3.2变形协调方程取长为dx的微段从该微段中切取一楔形体 由几何关系及小变形假设

5、两截面的相对扭转角为 表示扭转角沿轴线的变化率，称为单位长度扭转角 在同一半径为的圆周上，各点处的切应变均相同，且与成正比。 5.3.2变形协调方程取长为dx的微段从该微段中切取一楔形5.3.3物理方面 根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比。 横截面上半径为 处的切应力为 (1)横截面的切应力与该点到圆心的距离成正比。 (2) 纵向截面上的切应力也沿半径线性变化。5.3.3物理方面 根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应5.3.4静力学方面 微力矩 截面上的扭矩 为常量，得 引进记号 Ip称为横截面对圆心的极惯性矩 圆轴单位长度扭转角的计算公式 5.3.4静力学方面 微力矩

6、截面上的扭矩 为常量，得 引5.3.5 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式圆轴横截面上任一点处的切应力 切应力达到最大值 引进记号 Wp称为抗扭截面系数。 (1)只适用于弹性范围内的等直圆轴 (2)对于小锥度圆轴，也可以用以上各式近似地计算。 说明： 5.3.5 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式圆轴横截面例 图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1 = 40 mm，d2 = 60 mm。由轮3输入的功率P3 = 60 kW，轮1输出的功率P1 =24 kW。轴作匀速转动，转速n = 300 r/min。材料的许用切应力 = 70 MPa。试校核轴的强度。 解 (1)计算外力偶矩，画扭矩图 例 图

7、3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1 = 40 mm(2)校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面的直径也大，对AC和DB两段轴都需要作强度校核。 AC段DB段轴满足强度要求。 (2)校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面5.4 圆杆扭转时的强度和刚度计算5.4.1 圆轴扭转实验与破坏现象 1 观察变形现象： 2 变形现象： （1）纵线在变形后近似为直线，但相对于原位置转了一个 角。 （2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。 3 推论：（1）圆杆在扭转后横截面保持为垂直杆轴线的平面，且大小、形状不变，半径为直线。（2）用纵线和环线截取的单元体处于纯剪切状态。（

8、3）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。5.4 圆杆扭转时的强度和刚度计算(1) 为材料的许用切应力 (3) 对变截面轴,需要综合考虑T和Wp来确定max。 (2) 对于等直轴，最大切应力发生于扭矩最大截面上的外边缘。 5.4.2 圆轴扭转强度条件 (1) 为材料的许用切应力 (3) 对变截面轴,需(1) 实心圆截面 空心圆截面杆横截面上的切应力仍然呈线性分布，最大切应力发生在截面外边缘。(2) 空心圆截面极惯性矩与抗扭截面系数 (1) 实心圆截面 空心圆截面杆横截面上的切应力仍例3-2 图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1 = 40 mm，d2 = 60 mm。由轮3输入的功率

9、P3 = 60 kW，轮1输出的功率P1 =24 kW。轴作匀速转动，转速n = 300 r/min。材料的许用切应力 = 70 MPa。试校核轴的强度。 解 (1)计算外力偶矩，画扭矩图 例3-2 图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1 = 405.4.3 圆轴扭转刚度计算 相距为dx的两截面间的相对扭转角为 相距为l的两横截面间的相对扭转角为 当T和GIp为常量时 GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。 扭转角的单位是rad。 一、扭转角 5.4.3 圆轴扭转刚度计算 相距为dx的两截面间的相对扭二、刚度条件 取长为dx的微段是最大单位长度扭转角，单位为rad /m 在设计规

10、范中，单位长度许用扭转角的单位通常是度/米(/m)。二、刚度条件 取长为dx的微段是最大单位长度扭转角，单位为r例33 图3-14a所示为一装有四个皮带轮的实心圆轴。已知Me1= Me2=3.5 kNm，Me3=11.5kNm，Me4=4.5 kNm；材料的切变模量G=80GPa，许用切应力=80MPa，单位长度许用扭转角 =0.8/m。试设计轴的直径，并计算全轴的相对扭转角。 解 (1)计算外力偶矩，画扭矩图 例33 图3-14a所示为一装有四个皮带轮的实心圆轴。已(2)设计轴的直径 圆轴中最大扭矩发生在BC段，其绝对值为7.0 kNm。 根据强度条件 根据刚度条件 轴的直径可选用D = 9

11、0 mm (2)设计轴的直径 圆轴中最大扭矩发生在BC段，其绝对值为7(3) 计算全轴的相对扭转角 极惯性矩 各段的相对扭转角为 全轴的相对扭转角为 (3) 计算全轴的相对扭转角 极惯性矩 各段的相对扭转角为 例3-4 图3-15a示两种材料制成的组合轴,外层空心圆轴的抗扭刚度为 ,内层实心圆轴的抗扭刚度为 ，两轴紧密地配合在一起，求此组合轴在扭转力偶矩Me作用下的切应力。 解 (1)平衡方程 空心圆轴承担的扭矩为T1，实心圆轴承担的扭矩为T2 (2)变形协调条件 例3-4 图3-15a示两种材料制成的组合轴,外层空心圆轴联立求解 代入式 两轴内半径为处的切应力分别为 联立求解 代入式 两轴内

12、半径为处的切应力分别为 (2)校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面的直径也大，对AC和DB两段轴都需要作强度校核。 AC段DB段轴满足强度要求。 (2)校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面5.5. 结论与讨论（一）扭转是杆件四种基本变形之一，本章主要计论圆截面等 直 杆的扭转。（二）扭转时杆所受的外力是作用在垂直于杆轴线平面内的外 力 偶。变形的特征是杆件的横截面绕杆轴线作相对运 动。（三） 扭转时杆件横截面上的内力，可用截面法求得。它是 作用 在横截面所在平面的内力偶，称为扭矩。5.5. 结论与讨论（一）扭转是杆件四种基本变形之一，本章主（四） 圆轴扭转时，变形符合平面假设。由此可得变形的几 何关系，再用剪切胡克