高质量高中数学-解题小结-各章节知识点-大汇总

1、高中数学解题小结大汇总熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果。一、集合与简易逻辑 1.集合合的元素具有有无序性和互互异性. 2.对集合，时时，你是否注注意到“极端”情况：或；求集合的的子集时是否否注意到是任任何集合的子子集、是任何何非空集合的的真子集.3.对于含有个个元素的有限限集合，其子子集、真子集集、非空子集集、非空真子子集的个数依依次为 4.“交的补等等于补的并，即即”；“并的补等于于补的交，即即”.5.判断命题的的真假关键是“抓住关关联字词”；注意：“不或即且，不且即或”.6.“或命题”的真假特点点是

2、“一真即真，要要假全假”；“且命题”的真假特点点是“一假即假，要要真全真”；“非命题”的真假特点点是“一真一假”.7.四种命题中中“逆者交换也”、“否者否定也”.原命题等价于逆逆否命题，但但原命题与逆逆命题、否命命题都不等价价.反证法分分为三步：假假设、推矛、得得果.注意：命题的否否定是“命题的非命题题，也就是条件不变，仅仅否定结论所得命题”，但否命题是“既否定原命命题的条件作作为条件，又又否定原命题题的结论作为为结论的所得得命题” .8.充要条件二、函数1.指数式、对对数式，.，.2.(1)映射射是“全部射出出加一箭一雕”；映射中中第一个集合合中的元素必必有像，但第第二个集合中中的元素不一一

3、定有原像（中元素的像有且仅有下一个，但中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”. (2)函数图像像与轴垂线至至多一个公共共点，但与轴轴垂线的公共共点可能没有有，也可任意意个.(3)函数图像像一定是坐标标系中的曲线线，但坐标系系中的曲线不不一定能成为为函数图像.(4)原函数与与反函数有两两个“交叉关系”：自变量与与因变量、定定义域与值域域.求一个函函数的反函数数，分三步：逆解、交换换、定域（确确定原函数的的值域，并作作为反函数的的定义域）.注意：，但.函数的反函数数是，而不是是.3.单调性和奇奇偶性(1)奇函数在在关于原点对对称的区间上上若有

4、单调性性，则其单调调性完全相同同.偶函数在关于原原点对称的区区间上若有单单调性，则其其单调性恰恰恰相反. 单调函数的反函函数和原函数数有相同的性性；如果奇函函数有反函数数，那么其反反函数一定还还是奇函数.注意：（1）确确定函数的奇奇偶性，务必必先判定函数数定义域是否否关于原点对对称.确定函函数奇偶性的的常用方法有有：定义法、图图像法等等.对于偶函数而言言有：.（2）若奇函数数定义域中有有0，则必有有.即的定义域域时，是为奇函数的的必要非充分分条件.（3）确定函数数的单调性或或单调区间，在在解答题中常常用：定义法法（取值、作作差、鉴定）、导导数法；在选选择、填空题题中还有：数数形结合法(图像法)

5、、特特殊值法等等等.（4）函数单调调是函数有反反函数的一个个充分非必要要条件. (5)定义在在关于原点对对称区间上的的任意一个函函数，都可表表示成“一个奇函数数与一个偶函函数的和（或或差）”.(6)函数单调调是函数有反反函数的充分分非必要条件件，奇函数可可能反函数，但但偶函数只有有有反函数；既奇又偶函函数有无穷多多个（，定义域是是关于原点对对称的任意一一个数集）.(7)复合函数数的单调性特特点是：“同性得增，增增必同性；异异性得减，减减必异性”.复合函数的奇偶偶性特点是：“内偶则偶，内内奇同外”.复合函数要考虑虑定义域的变变化。（即复复合有意义）4.对称性与周周期性（以下下结论要消化化吸收，不

6、可可强记）(1)函数与函函数的图像关关于直线（轴）对称.推广一：如果函函数对于一切切，都有成立，那那么的图像关关于直线（由由“和的一半确定定”）对称.推广二：函数，的图像关于于直线（由确定）对对称.(2)函数与函函数的图像关关于直线（轴）对称.推广：函数与函函数的图像关关于直线对称称（由“和的一半确定定”）.(3)函数与函函数的图像关关于坐标原点点中心对称.推广：函数与函函数的图像关关于点中心对对称.(4)函数与函函数的图像关关于直线对称称.推广：曲线关于于直线的对称称曲线是；曲线关于直线的的对称曲线是是.(5)曲线绕原原点逆时针旋旋转，所得曲曲线是（逆时时针横变再交交换）.特别：绕原点逆逆时

7、针旋转，得得，若有反函数数，则得.曲线绕原点顺时时针旋转，所所得曲线是（顺顺时针纵变再再交换）.特别：绕原点顺顺时针旋转，得得，若有反函数数，则得.(6)类比“三三角函数图像像”得：若图像有两条对对称轴，则必是周期期函数，且一一周期为.若图像有两个对对称中心，则则是周期函数数，且一周期期为.如果函数的图像像有下一个对对称中心和一一条对称轴，则则函数必是周周期函数，且且一周期为.如果是R上的的周期函数，且且一个周期为为，那么.特别：若恒成成立，则.若恒成立，则.若恒成立，则则.如果是周期函数数，那么的定定义域“无界”. 5.图像像变换(1)函数图像像的平移和伸伸缩变换应注注意哪些问题题？函数的图

8、像按向向量平移后，得函函数的图像.(2)函数图像像的平移、伸伸缩变换中，图图像的特殊点点、特殊线也也作相应的变变换.(3)图像变换换应重视将所所研究函数与与常见函数（正正比例函数、反反比例函数、一一次函数、二二次函数、对对数函数、指指数函数、三三角函数、“鱼钩函数”及函数等）相相互转化. 注意：形如的函数，不不一定是二次次函数. 应特别重视“二次三项式式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别别联系. 形如如的图像是等等轴双曲线，双双曲线两渐近近线分别直线线(由分母为为零确定)、直直线(由分子子、分母中的的系数确定)，双曲线的的中心是点.三、数列1.数列的通项项、数列项的的项数，

9、递推推公式与递推推数列，数列列的通项与数数列的前项和和公式的关系系：(必要时请分分类讨论).注意：；.2.等差数列中中：（1）等差数列列公差的取值值与等差数列列的单调性.（2）；.(3)、也成等等差数列. (4)两等差数数列对应项和和(差)组成成的新数列仍仍成等差数列列.(5)仍成等差差数列.（6），.(7)；.(8)“首正”的递减等差差数列中，前前项和的最大大值是所有非非负项之和；“首负”的递增增等差数列中中，前项和的的最小值是所所有非正项之之和； (9)有限等等差数列中，奇奇数项和与偶偶数项和的存存在必然联系系，由数列的的总项数是偶偶数还是奇数数决定.若总总项数为偶数数，则“偶数项和”“奇

10、数项和”总项数的的一半与其公公差的积；若若总项数为奇奇数，则“奇数项和”“偶数项和”此数列的的中项.（10）两数的的等差中项惟惟一存在.在在遇到三数或或四数成等差差数列时，常常考虑选用“中项关系”转化求解.(11)选择填填空题判定数数列是否是等等差数列的主主要方法有：定义法、中中项法、通项项法、和式法法、图像法(也就是说数数列是等差数数列的充要条条件主要有这这五种形式).3.等比数列中中：（1）等比数列列的符号特征征(全正或全全负或一正一一负)，等比比数列的首项项、公比与等等比数列的单单调性.（2）； .(3) 、成成等比数列；成等比数列列成等比数列列.(4)两等比数数列对应项积积(商)组成成

11、的新数列仍仍成等比数列列.(5)成等比数数列.（6）.特别：.(7) .(8)“首大于于1”的正值递减减等比数列中中，前项积的的最大值是所所有大于或等等于1的项的的积；“首小于1”的正值递增增等比数列中中，前项积的的最小值是所所有小于或等等于1的项的的积； (9)有限等等比数列中，奇奇数项和与偶偶数项和的存存在必然联系系，由数列的的总项数是偶偶数还是奇数数决定.若总总项数为偶数数，则“偶数项和”“奇数项和”与“公比”的积；若总项项数为奇数，则则“奇数项和”“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.（10）并非任任何两数总有有等比中项. 仅当实数数同号时，实实数存在等比比中项.对同同号两实数的的

12、等比中项不不仅存在，而而且有一对.也就是说，两两实数要么没没有等比中项项(非同号时时)，如果有有，必有一对对(同号时).在遇到三三数或四数成成等差数列时时，常优先考考虑选用“中项关系”转化求解. (11)判定定数列是否是是等比数列的的方法主要有有：定义法、中中项法、通项项法、和式法法(也就是说说数列是等比比数列的充要要条件主要有有这四种形式式).4.等差数列与与等比数列的的联系(1)如果数列列成等差数列列，那么数列列(总有意义)必成等比数数列.(2)如果数列列成等比数列列，那么数列列必成等差数数列.(3)如果数列列既成等差数数列又成等比比数列，那么么数列是非零零常数数列；但数列是常数数数列仅是

13、数数列既成等差差数列又成等等比数列的必必要非充分条条件.(4)如果两等等差数列有公公共项，那么么由他们的公公共项顺次组组成的新数列列也是等差数数列，且新等等差数列的公公差是原两等等差数列公差差的最小公倍倍数.如果一个等差数数列与一个等等比数列有公公共项顺次组组成新数列，那那么常选用“由特殊到一一般的方法”进行研讨，且且以其等比数数列的项为主主，探求等比比数列中那些些项是他们的的公共项，并并构成新的数数列.注意：(1)公公共项仅是公公共的项，其其项数不一定定相同，即研研究.但也有有少数问题中中研究，这时时既要求项相相同，也要求求项数相同.(2)三(四)个数成成等差(比)的中项转化化和通项转化化法

14、.5.数列求和的的常用方法：（1）公式法：等差数列求求和公式（三三种形式），等比数列求和公式（三种形式），.（2）分组求和和法：在直接接运用公式法法求和有困难难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一一起，再运用用公式法求和和.（3）倒序相加加法：在数列列求和中，若若和式中到首首尾距离相等等的两项和有有其共性或数数列的通项与与组合数相关关联，则常可可考虑选用倒倒序相加法，发发挥其共性的的作用求和（这这也是等差数数列前和公式式的推导方法法）.（4）错位相减减法：如果数数列的通项是是由一个等差差数列的通项项与一个等比比数列的通项项相乘构成，那那么常选用错错位相减法，将将其和转化为为“一个新的的的等比

15、数列的的和”求解（注意意：一般错位位相减后，其其中“新等比数列列的项数是原原数列的项数数减一的差”！）（这也也是等比数列列前和公式的的推导方法之之一）.（5）裂项相消消法：如果数数列的通项可可“分裂成两项项差”的形式，且且相邻项分裂裂后相关联，那那么常选用裂裂项相消法求求和.常用裂裂项形式有：， ， ，,，.特别声明：运用用等比数列求求和公式，务务必检查其公公比与1的关关系，必要时时分类讨论.（6）通项转换换法。6.分期付款型型应用问题(1)重视将这这类应用题与与等差数列或或等比数列相相联系.(2)若应用问问题像“森林木材问问题”那样，既增增长又砍伐，则则常选用“统一法”统一到“最后”解决.(

16、3)“分期付付款”、“森林木材”等问题的解解决过程中，务务必“卡手指”，细心计算算“年限”作为相应的的“指数”. 四、三角函数1.终边与终边边相同(的终终边在终边所所在射线上).终边与终边共线线(的终边在在终边所在直直线上).终边与终边关于于轴对称.终边与终边关于于轴对称.终边与终边关于于原点对称.一般地：终边与与终边关于角角的终边对称称.与的终边关系由由“两等分各象象限、一二三三四”确定.2.弧长公式：，扇形面积积公式：，11弧度(1rrad).3.三角函数符符号特征是：一是全正、二二正弦正、三三是切正、四四余弦正.注意：，.4.三角函数线线的特征是：正弦线“站在轴上(起起点在轴上)”、余弦

17、线“躺在轴上(起起点是原点)”、正切线“站在点处(起起点是)”.务必重视视“三角函数值值的大小与单单位圆上相应应点的坐标之之间的关系，正弦纵坐标、余弦横坐标、正切纵坐标除以横坐标之商”；务必记住：单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系.为锐角.5.三角函数同同角关系中，平平方关系的运运用中，务必必重视“根据已知角角的范围和三三角函数的取取值，精确确确定角的范围围，并进行定定号”；6.三角函数诱诱导公式的本本质是：奇变变偶不变，符符号看象限.7.三角函数变变换主要是：角、函数名名、次数、系系数(常值)的变换，其其核心是“角的变换”! 角的变换主主要有：已知知角与特殊角角的变换、已已知角与目标标

18、角的变换、角角与其倍角的的变换、两角角与其和差角角的变换.如， ，等.常值变换主要指指“1”的变换：等.三角式变换主要要有：三角函函数名互化(切割化弦)、三角函数数次数的降升升(降次、升升次)、运算算结构的转化化(和式与积积式的互化). 解题时时本着“三看”的基本原则则来进行:“看角、看函函数、看特征征”,基本的技技巧有:巧变变角,公式变变形使用,化化切割为弦,用倍角公式式将高次降次次.注意：和(差)角的函数结结构与符号特特征；余弦倍倍角公式的三三种形式选用用；降次(升升次)公式中中的符号特征征.“正余弦三兄妹的内存联系系”(常和三角角换元法联系系在一起辅助角公式中辅辅助角的确定定：(其中角所

19、在的的象限由a, b的符号确定定，角的值由由确定)在求最最值、化简时时起着重要作作用.尤其是是两者系数绝绝对值之比为为的情形.有实实数解.8.三角函数性性质、图像及及其变换：(1)三角函数数的定义域、值值域、单调性性、奇偶性、有有界性和周期期性注意：正切函数数、余切函数数的定义域；绝对值对三三角函数周期期性的影响：一般说来，某某一周期函数数解析式加绝绝对值或平方方，其周期性性是：弦减半半、切不变既为周期函函数又是偶函函数的函数自自变量加绝对对值，其周期期性不变；其其他不定. 如的周期都是是, 但的周期期为， y=|tanxx|的周期不不变，问函数数y=cos|x|, ，y=cos|x|是周期函

20、函数吗？(2)三角函数数图像及其几几何性质：(3三角函数图像的的变换：两轴轴方向的平移移、伸缩及其其向量的平移移变换. (4)三角函函数图像的作作法：三角函函数线法、五五点法(五点点横坐标成等等差数列)和和变换法.9.三角形中的的三角函数：(1)内角和定定理：三角形形三角和为，任任意两角和与与第三个角总总互补，任意意两半角和与与第三个角的的半角总互余余.锐角三角角形三内角都都是锐角三内内角的余弦值值为正值任两两角和都是钝钝角任意两边边的平方和大大于第三边的的平方.(2)正弦定理理：(R为三角形外外接圆的半径径).注意：已知三角角形两边一对对角，求解三三角形时，若若运用正弦定定理，则务必必注意可

21、能有有两解.(3余弦定理：等，常选用用余弦定理鉴鉴定三角形的的类型.(4)面积公式式：.10.反三角函函数：(1)反正弦、反反余弦、反正正切的取值范范围分别是.(2)异面直线线所成的角、直直线与平面所所成的角、二二面角、向量量的夹角的范范围依次是，.直线的倾斜斜角、到的角、与的夹角的范范围依次是.五、向 量1.向量运算的的几何形式和和坐标形式，请请注意：向量量运算中向量量起点、终点点及其坐标的的特征.2.几个概念：零向量、单单位向量(与与共线的单位位向量是，特别：)、向量平行(共线) (无传递性性，是因为有有与平行向量量定义不同的的)、相等向向量(有传递递性)、相反反向量、向量量垂直、以及及一

22、个向量在在另一向量方方向上的投影影（在上的投影是是).3.两非零向量量平行(共线线)的充要条条件 . 两个非零向向量垂直的充充要条件 .特别：零向量和和任何向量共共线. 是向量平行行的充分不必必要条件! 4.平平面向量的基基本定理：如如果e1和e2是同一平面面内的两个不不共线向量，那那么对该平面面内的任一向向量a，有且只有有一对实数、，使a=e1e2.5.三点共线共共线；向量中三终点共共线存在实数数使得：且.6.向量的数量量积：，.注意：为锐角且且不同向；为直角且； 为为钝角且不反向是为钝角的必要要非充分条件件.向量运算和实数数运算有类似似的地方也有有区别：一个个封闭图形首首尾连接而成成的向量

23、和为为零向量，这这是题目中的的天然条件，要要注意运用；对于一个向向量等式，可可以移项，两两边平方、两两边同乘以一一个实数，两两边同时取模模，两边同乘乘以一个向量量，但不能两两边同除以一一个向量，即即两边不能约约去一个向量量；向量的“乘法”不满足结合合律，即，除非共线切记两向向量不能相除除(相约).7.注意：同向或有有；反向或有；不共线.(这些些和实数集中中类似)8.平移与定比比分点(1)线段的定定比分点坐标标公式设P（x,y）、P1（x1,y1），P2（x2,y2），且，则.，.特别：分点的位位置与的对应应关系.中点坐标公式， 为的中点.中，过边中点；.为的重心；特别为的重心.为的垂心；所在直

24、线过的内内心(是的角平分分线所在直线线)；的内心.(2)平移公式式： 如果果点P(x，y)按向量a(h，k)平移至，则.曲线按向量a(h，k)平移得曲线线.六、不等式1.(1)解不不等式是求不不等式的解集集，最后务必必有集合的形形式表示；不不等式解集的的端点值往往往是不等式对对应方程的根根或不等式有有意义范围的的端点值.(2)解分式不不等式的一般般解题思路是是什么？（移移项通分，分分子分母分解解因式，x的系数变为为正值，标根根及奇穿过偶偶弹回）；(3)含有两个个绝对值的不不等式如何去去绝对值？(一般是根据据定义分类讨讨论、平方转转化或换元转转化)；(4)解含参不不等式常分类类等价转化，必必要时

25、需分类类讨论.注意意：按参数讨讨论，最后按按参数取值分分别说明其解解集，但若按按未知数讨论论，最后应求求并集.2. 利用重要要不等式 以以及变式等求求函数的最值值时，务必注注意a，b（或a ，b非负），且且“等号成立”时的条件是是积ab或和ab其中之一应应是定值(一一正二定三等等四同时).3.常用不等式式有：(根据据目标不等式式左右的运算算结构选用) a、b、cR，（当且仅当当时，取等号号）4.比较大小的的方法和证明明不等式的方方法主要有：差比较法、商商比较法、函函数性质法、综综合法、分析析法和放缩法法(注意：对对“整式、分式式、绝对值不不等式”的放缩途径径， “配方、函数数单调性等”对放缩的

26、影影响).5.含绝对值不不等式的性质质：同号或有；异号或有.注意：不等式恒恒成立问题的的常规处理方方式？（常应应用方程函数数思想和“分离变量法法”转化为最值值问题）.七、直线和圆1.直线倾斜角角与斜率的存存在性及其取取值范围；直直线方向向量量的意义(或)及其直线线方程的向量量式(为直线的方方向向量).应用直线线方程的点斜斜式、斜截式式设直线方程程时，一般可可设直线的斜斜率为k，但你是否否注意到直线线垂直于x轴时，即斜斜率k不存在的情情况？2.知直线纵截截距，常设其其方程为或；知直线横横截距，常设设其方程为(直线斜率kk存在时，为k的倒数)或或.知直线过过点，常设其其方程为或.注意：(1)直直线

27、方程的几几种形式：点点斜式、斜截截式、两点式式、截矩式、一一般式、向量量式以及各各种形式的局局限性.（如如点斜式不适适用于斜率不不存在的直线线，还有截矩矩式呢？）与直线平行的直直线可表示为为；与直线垂直的直直线可表示为为；过点与直线平行行的直线可表表示为：；过点与直线垂直直的直线可表表示为：.(2)直线在坐坐标轴上的截截距可正、可可负、也可为为0.直线两两截距相等直直线的斜率为为-1或直线线过原点；直直线两截距互互为相反数直直线的斜率为为1或直线过过原点；直线线两截距绝对对值相等直线线的斜率为或或直线过原点点.(3)在解析几几何中，研究究两条直线的的位置关系时时，有可能这这两条直线重重合，而在

28、立立体几何中一一般提到的两两条直线可以以理解为它们们不重合.3.相交两直线线的夹角和两两直线间的到到角是两个不不同的概念：夹角特指相相交两直线所所成的较小角角，范围是，而而其到角是带带有方向的角角，范围是.相应的公式式是：夹角公公式，直线到角公式.注：点到直线的的距离公式.特：；.4.线性规划划中几个概念念：约束条件件、可行解、可可行域、目标标函数、最优优解.5.圆的方程：最简方程；标准方程；一般式方程；参数方程为参数数)；直径式方程.注意：(1)在在圆的一般式式方程中，圆圆心坐标和半半径分别是. (2)圆的参参数方程为“三角换元”提供了样板板，常用三角角换元有：，.6.解决直线与与圆的关系问

29、问题有“函数方程思思想”和“数形结合思思想”两种思路，等等价转化求解解，重要的是是发挥“圆的平面几几何性质(如如半径、半弦弦长、弦心距距构成直角三三角形，切线线长定理、割割线定理、弦弦切角定理等等等)的作用用!” (1)过圆上上一点圆的切切线方程是：，过圆上一点圆的的切线方程是是：，过圆上一点圆的的切线方程是是：.如果点在圆外，那那么上述直线线方程表示过过点两切线上上两切点的“切点弦”方程.如果点在圆内，那那么上述直线线方程表示与与圆相离且垂垂直于(为圆心)的的直线方程，(为圆心到直线的距离).7.曲线与的交交点坐标方程程组的解；过两圆、交点的的圆(公共弦弦)系为，当当且仅当无平平方项时，为为

30、两圆公共弦弦所在直线方方程.八、圆锥曲线1.圆锥曲线的的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，如果涉及到其两焦点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率，那么将优先选用圆锥曲线第二定义；涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.(1)注意：圆锥曲线第第一定义与配配方法的综合合运用；圆锥曲线第第二定义是：“点点距为分分子、点线距距为分母”，椭圆点点距距除以点线距距商是小于11的正数，双双曲线点点距距除以点线距距商是大于11的正数，抛抛物线点点距距除以点线距距商是等于11.圆锥曲线

31、的的焦半径公式式如下图： 2.圆锥曲线的的几何性质：圆锥曲线的的对称性、圆圆锥曲线的范范围、圆锥曲曲线的特殊点点线、圆锥曲曲线的变化趋趋势.其中，椭椭圆中、双曲曲线中.重视视“特征直角三三角形、焦半半径的最值、焦焦点弦的最值值及其顶点、焦点点、准线等相相互之间与坐坐标系无关的的几何性质”，尤其是双曲曲线中焦半径径最值、焦点点弦最值的特特点.注意：等轴双曲线线的意义和性性质.3.在直线与圆圆锥曲线的位位置关系问题题中，有“函数方程思思想”和“数形结合思思想”两种思路，等等价转化求解解. 特别是是：直线与圆锥曲曲线相交的必必要条件是他他们构成的方方程组有实数数解，当出现现一元二次方方程时，务必必“

32、判别式0”，尤其是在应应用韦达定理理解决问题时时，必须先有有“判别式0”.直线与抛物线线(相交不一一定交于两点点)、双曲线线位置关系(相交的四种种情况)的特特殊性，应谨谨慎处理. L在直线与圆锥锥曲线的位置置关系问题中中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键键是“斜率”、“中点弦”别忘了点差差法问题关键是“韦达定理”或“小小直角三三角形”或“点差法”、“长度(弦长长)”问题关键是长长度(弦长)公式(，, )或“小小直角角三角形”.如果在一条直直线上出现“三个或三个个以上的点”，那么可选选择应用“斜率”为桥梁转化化.4.要重视常见见的寻求曲线线方程的方法(待定系系数法、定义义法、直译法法、代点法

33、、参参数法、交轨轨法、向量法法等), 以及如何何利用曲线的的方程讨论曲曲线的几何性性质(定义法法、几何法、代代数法、方程程函数思想、数数形结合思想想、分类讨论论思想和等价价转化思想等等)，这是解解析几何的两两类基本问题题，也是解析析几何的基本本出发点.注意：如果问问题中涉及到到平面向量知知识，那么应应从已知向量量的特点出发发，考虑选择择向量的几何何形式进行“摘帽子或脱脱靴子”转化，还是是选择向量的的代数形式进进行“摘帽子或脱脱靴子”转化.曲线与曲线方方程、轨迹与轨迹迹方程是两个个不同的概念念，寻求轨迹迹或轨迹方程程时应注意轨轨迹上特殊点点对轨迹的“完备性与纯纯粹性”的影响.在与圆锥曲线线相关的

34、综合合题中，常借借助于“平面几何性性质”数形结合(如角平分线线的双重身份份)、“方程与函数数性质”化解析几何何问题为代数数问题、“分类讨论思思想”化整为零分分化处理、“求值构造等等式、求变量量范围构造不不等关系”等等.九、直线、平面面、简单多面面体1.计算异面直直线所成角的的关键是平移移（补形）转转化为两直线线的夹角，或或建立空间坐坐标系转化为为空间向量的的夹角计算(、, .特别：，,则- =. ，2.计算直线与与平面所成的的角关键是作作面的垂线找找射影，或向量法(直线线上向量与平平面法向量夹夹角的余角)，三余弦公公式(最小角角定理，)，或或先运用等积积法求点到直直线的距离，后后虚拟直角三三角

35、形求解.注：一斜线线与平面上以以斜足为顶点点的角的两边边所成角相等等斜线在平面面上射影为角角的平分线.3.计算二面角角的大小主要要有：定义法法(先作其平平面角后计算算大小)、公公式法()、向量法(两平平面法向量的的夹角)、等等价转换法等等等.二面角角平面角的主主要作法有：定义法(取取点、作垂、构构角)、三垂垂线法(两垂垂一连，关键键是第一垂(过二面角一一个面内一点点，作另一个个面的垂线)、垂面法法.二面角的求法（1）定义法：直接在二面面角的棱上取取一点（特殊殊点），分别别在两个半平平面内作棱的的垂线，得出出平面角，用用定义法时，要要认真观察图图形的特性；（2）三垂线法法：已知二面面角其中一个个

36、面内一点到到一个面的垂垂线，用三垂垂线定理或逆逆定理作出二二面角的平面面角；具体操作先先定背景面-作背背景面的垂线线-一做一连（3）垂面法：已知二面角角内一点到两两个面的垂线线时，过两垂垂线作平面与与两个半平面面的交线所成成的角即为平平面角，由此此可知，二面面角的平面角角所在的平面面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射射影公式S射射S原cos,其中中为平面角的的大小，此方方法不必在图图形中画出平平面角；特别:对于一类类没有给出棱棱的二面角，应应先延伸两个个半平面，使使之相交出现现棱，然后再再选用上述方方法（尤其要要考虑射影法法）。（5）距离法，即即转发为点到到面的距离比比上点到线的的距离，即为为

37、二面角的正正弦（6“绝招”-向量法，在在求点的位置置时是很实用用的4.计算空间距距离的主要方方法有：定义义法(先作垂垂线段后计算算)、等积法法、转换法(平行换点、换换面)等.5.空间平行垂垂直关系的证证明，主要依依据相关定义义、公理、定定理和空间向向量进行，模模式是：线线关系线面关关系面面关系系，请重视线线面平行关系系、线面垂直直关系(三垂垂线定理及其其逆定理)的的桥梁作用.注意：书写写证明过程需需规范. 特别声明：证证明计算过程程中，若有“中点”等特殊点线线，则常借助助于“中位线、重重心”等知识转化化. 在证明计算算过程中常将将运用转化思思想，将具体体问题转化 (构造) 为特殊几何何体(如三

38、棱棱锥、正方体体、长方体、三三棱柱、四棱棱柱等)中问问题，并获得得去解决.如果根据已知知条件，在几几何体中有“三条直线两两两垂直”，那么往往往以此为基础础，建立空间间直角坐标系系，并运用空空间向量解决决问题.6.直棱柱、正正棱柱、平行行六面体、长长方体、正方方体、正四面面体、棱锥、正正棱锥关于侧侧棱、侧面、对对角面、平行行于底的截面面的几何体性性质.如长方体中：对对角线长，棱棱长总和为，全全(表)面积积为，(结合合可得关于他他们的等量关关系，结合基基本不等式还还可建立关于于他们的不等等关系式)，；如三棱锥中：侧侧棱长相等(侧棱与底面面所成角相等等)顶点在底底上射影为底底面外心，侧侧棱两两垂直直

39、(两对对棱棱垂直)顶点点在底上射影影为底面垂心心，斜高长相相等(侧面与与底面所成相相等)且顶点点在底上在底底面内顶点在在底上射影为为底面内心.如正四面体和正正方体中： 7.求几何体体体积的常规规方法是：公公式法、割补补法、等积(转换)法、比比例(性质转转换)法等.注意：补形形：三棱锥三三棱柱平行六六面体 分割割：三棱柱中中三棱锥、四四三棱锥、三三棱柱的体积积关系是 .8.多面体是由由若干个多边边形围成的几几何体棱柱柱和棱锥是特特殊的多面体体正多面体的每个个面都是相同同边数的正多多边形，以每每个顶点为其其一端都有相相同数目的棱棱，这样的多多面体只有五五种， 即即正四面体、正正六面体、正正八面体、

40、正正十二面体、正正二十面体 关于多多面体的概念念间有如下关关系： 多面面体 简单多面面体 凸多面体体 正多面体； 凸多多面体 棱柱 直直棱柱 正棱柱柱 正方体； 凸多多面体 棱锥 正正棱锥 正四面面体欧拉公式(VF一E2)是简简单多面体的的重要性质，在在运用过程中中应重视“各面的边数数总和等于各各顶点出发的的棱数总和、等等于多面体棱棱数的两倍”“简单多面体体各面的内角角总和是(VV-2)3600”.过一个顶点有nn条棱，每个个面是m边形形的一般方法法是什么？ 10球是一种种常见的简单单几何体球球的位置由球球心确定，球球的大小仅取取决于半径的的大小球包包括球面及球球面围成的空空间区域内的的所有的

41、点球面是到球球心的距离等等于定长(半半径) 的点点的集合球球的截面是圆圆面，其中过过球心的截面面叫做大圆面面球面上两两点间的距离离，是过这两两点的大圆在在这两点间的的劣弧长，计计算球面距离离的关键是“根据已知经经纬度等条件件，先寻求球球面上两点间间的弦长”，因为此弦弦长既是球面面上两点间的的弦长，又是是大圆上两点点间的弦长注：“经度是小小半径所所成角，纬度是大小半径的的夹角”.球体积公式，球球表面积公式式，是两个关关于球的几何何度量公式它们都是球球半径及的函函数解决球球的相关问题题务必注意球球的几何性质质(尤其是“球的半径、球球心截面距、小小圆半径构成成直角三角形形”；球与多面面体相切或相相接

42、时，组合合体的特殊关关联关系).十、排列、组合合和概率十字方针：“先先分类，再分分步，取好再再排”1.排列数、组组合数中.(1)排列数公公式 ；.(2)组合数公公式；.(3)组合数性性质：,.2.解排列组合合问题的依据据是：分类相相加，分步相相乘，有序排排列，无序组组合3.解排列组合合问题的规律律是(优限法法和间接法)：相邻问题题捆绑法；不不邻(相间)问题插空法法；多排问题题单排法；定定位问题优先先法；多元问问题分类法；有序问题用用除法(组合合法)；选取取问题先选后后排法；至多多至少问题间间接法，特别别地还有隔板板法(什么时时候用？)、字字典法、构造造法等.4.(1)二项项式定理：，其其中各系

43、数就就是组合数，它它叫做第r+1项的二二项式系数；展开式共有有n+1项，其其中第r+l项.某项项“加数”的指数该项的的“项数减去11的差”，也可看成成组合数的上上标.(2)二项式展展开式中二项项式系数(组组合数)的性性质：对称性性、等距性、单单调最值性和和.（3）应用“赋赋值法”同样可得相相关性质或寻寻求二项式展展开式中“奇次(数)项”“偶次(数数)项”的系数和.如，奇(偶偶)次项系数数和().注意：二项式展展开式中区分分“二项式系数数、项的系数数”，寻求其中中项的系数的的最大值是将将相邻两项的的系数构建不不等式进行.二项式的应用主主要是进行应应用其前几项项近似计算、整整除性计算或或证明、应用

44、用其首尾几项项进行放缩.5.概率的计算算公式：(1)等可能事事件的概率计计算公式：；(2)互斥事件件的概率计算算公式：P(A+B)P(A)+P(B)；(3)对立事件件的概率计算算公式是：PP()=1P(A)；(4)独立事件件同时发生的的概率计算公公式是：P(AB)P(A)P(B)；(5)独立事件件重复试验的的概率计算公公式是：(是二项展开式式(1P)+Pn的第(k+1)项).注意：探求一个个事件发生的的概率，常应应用等价转化化思想和分解解(分类或分分步)转化思思想处理：把把所求的事件件转化为等可可能事件的概概率(常常采采用排列组合合的知识)；转化为若干干个互斥事件件中有一个发发生的概率；利用对

45、立事事件的概率，转转化为相互独独立事件同时时发生的概率率；看作某一一事件在n次实验中恰恰有k次发生的概概率，但要注注意公式的使使用条件. 事件互斥是是事件独立的的必要非充分分条件，反之之，事件对立立是事件互斥斥的充分非必必要条件.十一.统 计计 1.抽抽样方法：(1)简单随随机抽样(抽抽签法、随机机样数表法)常常用于总总体个数较少少时，它的主主要特征是从从总体中逐个个抽取.(22)分层抽样样，主要特征征分层按比例例抽样，主要要使用于总体体中有明显差差异.共同点点：每个个体体被抽到的概概率都相等（）2.总体分布的的估计就是用用总体中样本本的频率作为为总体的概率率.3.用样本的算算术平均数作作为对

46、总体期期望值的估计计；用样本方方差的大小估估计总体数据据波动性的好好差(方差大大波动差).公式如下：(标准方差)样本数据做如下下变换，则，.总体估计还要掌掌握：(1)一“表”(频率分布表表)一“图”(频率分布直直方图).注意：直方图的的纵轴(小矩矩形的高)一一般是频率除除以组距的商商L (而不是是频率)，横横轴一般是数数据的大小，小小矩形的面积积表示频率LL.十、概率与统计计1.理解随机变变量，离散型型随机变量的的定义，能够够写出离散型型随机变量的的分布列,由由概率的性质质可知，任意意离散型随机机变量的分布布列都具有下下述两个性质质：（1）ppi0,i=11,2,; (22) p11+p2+=

47、1;2.二项分布：记作B（nn,p）,其其中n,p为为参数，并记记；3.记住以下重重要公式和结结论：x1X2xnPP1P2Pn（1）期望值EE x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; （2）方差D另外当期望望求出时是分分数或小数时时还有另一公公式（3）标准差（44）若B（nn,p）,则则Enp, Dnppq,这里qq=1- pp;4.掌握抽样的的三种方法：（1）简单单随机抽样（包包括抽签法和和随机数表法法）；（2）系系统抽样，也也叫等距离抽抽样；（3）分分层抽样，常常用于某个总总体由差异明明显的几部分分组成的情形形；5.总体分布的的估计：用样样本估计总体体，是研究统统计问题的一一个基

48、本思想想方法，一般般地，样本容容量越大，这这种估计就越越精确，要求求能画出频率率分布表和频频率分布直方方图；6.正态总体的的概率密度函函数：式中是参数，分分别表示总体体的平均数与与标准差；7.正态曲线的的性质：（11）曲线在xx 时处于于最高点，由由这一点向左左、向右两边边延伸时，曲曲线逐渐降低低；（2）曲曲线的对称轴轴位置由确定定；曲线的形形状由确定，越越大，曲线越越矮胖；反过过来曲线越高高瘦；（3）曲曲线在x轴上上方，并且关关于直线x= 对称；8.利用标准正正态分布的分分布函数数值值表计算一般般正态分布的的概率 P（xx1x2）,可由变变换而得，于是有有P（x1x2）；9.假设检验的的基本

49、思想：（1）提出出统计假设，确确定随机变量量服从正态分分布；（2）确确定一次试验验中的取值aa是否落入范范围；（3）作作出推断：如如果a，接受统计计假设；如果果a,由于这这是小概率事事件，就拒绝绝假设；十一、极限1.与自然数有有关的命题常常用数学归纳纳法证明，其其步骤是：（11）验证命题题对于第一个个自然数nn0 (kn0)时成立；(2)假设设n=k时成成立，从而证证明当n=kk+1时命题题也成立，（33）得出结论论。数学归纳纳法是一种完完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论；2. 数列极限限（1）掌握握数列

50、极限的的直观描述性性定义；（22）掌握数列列极限的四则则运算法则，注注意其适用条条件：一是数数列anbn的极限都都存在；二是是仅适用于有有限个数列的的和、差、积积、商，对于于无限个数列列的和（或积积），应先求求和（或积），再再求极限；（33）常用的几几个数列极限限：（C为常常数）；，（1,q为为常数）; (4)无穷穷递缩等比数数列各项和公公式（0）;3.函数的极限限：（1）当x趋向向于无穷大时时，函数的极极限为a （2）当时函数数的极限为aa:（3）掌握函数数极限的四则则运算法则；4.函数的连续续性：（1）如如果对函数ff(x)在点点x=x0处及其附近近有定义，而而且还有，就就说函数f(x)在

51、点xx0处连续；（22）若f(xx)与g(xx)都在点xx0处连续，则则f(x)g(x),f(x)gg(x),(g(x)0)也在点点x0处连续；（33）若u(xx)在点x00处连续，且且f(u)在在u0=u(x0)处连续，则则复合函数ffu(x)在点x00处也连续；5.初等函数的的连续性：指数函数、对对数函数、三三角函数等都都属于基初等等函数,基本本初等函数在在定义域内每每一点处都连连续;基本初等函函数及常数函函数经有限次次四则运算和和复合后所得得到的函数,都是初等函函数.初等函函数在定义域域内每一点处处都连续;连续函数的的极限运算:如果函数在在点x0处有极限，那那么；十二、导数1.导数的定义

52、义：f(x)在点x0处的导数记记作；2.根据导数的的定义，求函函数的导数步步骤为： （11）求函数的的增量（2）(2)求求平均变化率率; （3）取极限,得导数;3.可导与连续续的关系：如如果函数y=f(x)在在点x0处可导，那那么函数y=f(x)在在点x0处连续；但但是y=f(x)在点xx0处连续却不不一定可导；4.导数的几何何意义：曲线线yf（xx）在点P（xx0,f(x0)）处的切切线的斜率是是相应地，切切线方程是5.导数的四则则运算法则：6.常见函数的的导数公式 7.复合函数的的导数：8.导数的应用用： （1）利用用导数判断函函数的单调性性：设函数yyf（x）在在某个区间内内可导，如果果

53、那么f(xx)为增函数数；如果那么么f(x)为为减函数；如如果在某个区区间内恒有那那么f(x)为常数；（2）求可导函函数极值（最最值）的步骤骤：求导数；求方程的根；检验在方程根的左左右的符号，如如果左正右负负，那么函数数y=f(xx)在这个根根处取得最大大值；如果左左负右正，那那么函数y=f(x) 在这个根处处取得最小值值；求可导函函数最大值与与最小值的步步骤：求y=f(x)在(aa,b)内的的极值；将y=f(x)在各极极值点的极值值与f（a）、ff（b）比较较，其中最大大的一个为最最大值，最小小的一个是最最小值（3）方程根的的分布问题（4）构造函数数证明不等式式十四、复数1.理解复数、实实数

54、、虚数、纯纯虚数、模、辐辐角、辐角主主值、共轭复复数的概念和和复数的几何何表示；2.熟练掌握、灵灵活运用以下下结论：(11)a+bii=c+diia=c且cc=d(a,b,c,ddR);(22)复数是实实数的条件：z=a+bbiRb=0 (a,bR);zRz=;zRz20;3.复数是纯虚虚数的条件: z=a+bbi是纯虚数数a=0且bb0(a,bbR); z是纯虚数数z0（zz0）;z是纯虚数数z20;4.解答复数问问题，要学会会从整体的角角度出发去分分析和求解（整整体思想贯穿穿整个复数内内容）。如果果遇到复数就就设z=a+bi(a,bR),则有有时会给问题题的解答带来来不必要的运运算上困难，

55、若若能把握住复复数的整体性性质，充分运运用整体思想想，则能事半半功倍；5.复数的代数数形式及其运运算：（1）复复数的加、减减、乘、除运运算按以下法法则进行，设设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR) ; z 1 z2 = (aa + b) (c + d)i. z1.z2 = (aa+bi) (c+di)（ac-bd）+ (ad+bbc)I ; z1z2 = (z20) ;6.几个重要的的结论：6.运算律仍然然成立：（11）7.进行复数的的运算时，常常要注意或适适当变形创造造条件，从而而转化为关于于计算问题.注意以下结结论的灵活应应用： 8.；文科选修内容基基本知

56、识十、抽样方法、总总体分布的估估计与总体的的期望和方差差1.掌握抽样的的二种方法：（1）简单单随机抽样（包包括抽签符和和随机数表法法）；（2）分分层抽样，常常用于某个总总体由差异明明显的几部分分组成的情形形；2.总体分布的的估计：用样样本估计总体体，是研究统统计问题的一一个基本思想想方法，一般般地，样本容容量越大，这这种估计就越越精确，要求求能画出频率率分布表和频频率分布直方方图；3.总体特征数数的估计：（11）学会用样样本平均数去去估计总体平平均数；（22）学会用样样本方差去估计总体方差差及总体标准准差；（2）学学会用修正的的样本方差去去估计总体方方差，会用去估计计；十一、导数及应应用1.导

57、数的定义义：f(x)在点x0处的导数记记作；2.根据导数的的定义，求函函数的导数步步骤为：（1）求函数的的增量(2)求平均变变化率;(3)取极限,得导数;3.导数的几何何意义：曲线线yf（xx） 在点PP（x0,f(x0)）处的切切线的斜率是是相应地，切切线方程是4.常见函数的的导数公式：5.导数的应用用：（1）利利用导数判断断函数的单调调性：设函数数yf（xx）在某个区区间内可导，如如果那么f(x)为增函函数；如果那那么f(x)为减函数；如果在某个个区间内恒有有那么f(xx)为常数；（2）求可导函函数极值的步步骤：求导数；求方程的根；检验在方程根的左左右的符号，如如果左正右负负，那么函数数y

58、=f(xx)在这个根根处取得最大大值；如果左左负右正，那那么函数y=f(x)在在这个根处取取得最小值；（3）求可导函函数最大值与与最小值的步步骤：求y=f(x)在(aa,b)内的的极值；将y=f(x)在各极极值点的极值值与f（a）、ff（b）比较较，其中最大大的一个为最最大值，最小小的一个是最最小值。中学数学重要数数学思想函数方程思想函数方程思想就就是用函数、方方程的观点和和方法处理变变量或未知数数之间的关系系，从而解决决问题的一种种思维方式，是是很重要的数数学思想。1.函数思想：把某变化过过程中的一些些相互制约的的变量用函数数关系表达出出来，并研究究这些量间的的相互制约关关系，最后解解决问题

59、，这这就是函数思思想；2.应用函数思思想解题，确确立变量之间间的函数关系系是一关键步步骤，大体可可分为下面两两个步骤：（11）根据题意意建立变量之之间的函数关关系式，把问问题转化为相相应的函数问问题；（2）根根据需要构造造函数，利用用函数的相关关知识解决问问题；（3）方方程思想：在在某变化过程程中，往往需需要根据一些些要求，确定定某些变量的的值，这时常常常列出这些些变量的方程程或（方程组组），通过解解方程（或方方程组）求出出它们，这就就是方程思想想；3.函数与方程程是两个有着着密切联系的的数学概念，它它们之间相互互渗透，很多多方程的问题题需要用函数数的知识和方方法解决，很很多函数的问问题也需要

60、用用方程的方法法的支援，函函数与方程之之间的辩证关关系，形成了了函数方程思思想。数形结合思想数形结合是中学学数学中四种种重要思想方方法之一，对对于所研究的的代数问题，有有时可研究其其对应几何的的性质使问题题得以解决（以以形助数）；或者对于所所研究的几何何问题，可借借助于对应图图形的数量关关系使问题得得以解决（以以数助形），这这种解决问题题的方法称之之为数形结合合。1.数形结合与与数形转化的的目的是为了了发挥形的生生动性和直观观性，发挥数数的思路的规规范性与严密密性，两者相相辅相成，扬扬长避短。2.恩格斯是这这样来定义数数学的：“数学是研究究现实世界的的量的关系与与空间形式的的科学”。这就是说说