(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第7讲《函数的奇偶性与周期性》（解析版）

1、第7讲 函数的奇偶性与周期性思维导图知识梳理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期核心素养分析能用代数

2、运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。重点提升数学抽象、逻辑推理素养.题型归纳题型1 函数奇偶性的判定【例1-1】（2019全国）下列函数中，为偶函数的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可【解答】解： SKIPIF 1 0 函数关于 SKIPIF 1 0 对称，函数为非奇非偶函数， SKIPIF 1 0 函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则

3、函数 SKIPIF 1 0 是偶函数，满足条件 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，函数的定义为 SKIPIF 1 0 ，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故选： SKIPIF 1 0 【例1-2】（2019肥西质检）判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)eq f(r(36x2),|x3|3)；(2)f(x)eq r(1x2)eq r(x21)；(3)f(x)eq f(log2（1x2）,|x2|2)；(4)f(x)eq blc(avs4alco1(x2x，x0.)【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.【解答】(1)由f(x)

4、eq f(r(36x2),|x3|3)，可知eq blc(avs4alco1(36x20，,|x3|30)eq blc(avs4alco1(6x6，,x0且x6，)故函数f(x)的定义域为(6，0)(0，6，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由eq blc(avs4alco1(1x20，,x210)x21x1，故函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(3)由eq blc(avs4alco1(1x20，,|x2|20)1x0或0 x1，定义域关于原点对称此时f(x)eq f(log2（1x2）

5、,|x2|2)eq f(log2（1x2）,2x2)eq f(log2（1x2）,x)，故有f(x)eq f(log21（x）2,x)eq f(log2（1x2）,x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数(4)法一：图象法画出函数f(x)eq blc(avs4alco1(x2x，x0)的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数法二：定义法易知函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，当x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数法三：f(x)还可以写成f(x)x2|x|(x0)，故f(x)为偶函数【跟

6、踪训练1-1】（2020春龙华区校级月考）已知函数 SKIPIF 1 0 ，则下列结论正确的是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 为奇函数B SKIPIF 1 0 为偶函数C SKIPIF 1 0 为奇函数D SKIPIF 1 0 为非奇非偶函数【分析】判断可知函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均为奇函数，利用奇函数的性质即可得解【解答】解： SKIPIF 1 0 ，故函数 SKIPIF 1 0 为奇函数，显然函数 SKIPIF 1 0 也为奇函数， SKIPIF 1 0 为偶函数， SKIPIF 1 0 为奇函数，故选： SKIPIF

7、1 0 【跟踪训练1-2】（2019秋桥西区校级月考）判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域（1） SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 【分析】（1）可以得出 SKIPIF 1 0 ，从而可看出 SKIPIF 1 0 是奇函数，值域为 SKIPIF 1 0 ；（2）可看出 SKIPIF 1 0 是偶函数，并容易求出 SKIPIF 1 0 的值域为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是奇函数，且 SKIPIF 1 0 的值域为 SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 为偶函数， SKIP

8、IF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的值域为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【名师指导】判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(x)f(x)或其等价形式f(x)f(x)0是否成立(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇题型2 函数奇偶性的应用【例2-1】(1)(2019高考全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x1，则当x0时，x0时，f(x)f(x)

9、eax，所以f(ln 2)ealn 2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(a)8，所以a3.(2)因为f(x)为奇函数，当x0时，f(x)x1，所以当x0，f(x)f(x)(x1)，即x0时，f(x)(x1)x1.(3)设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.【跟踪训练2-1】（2019新课标）设 SKIPIF 1 0 为奇函数，且当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPI

10、F 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得 SKIPIF 1 0 时的 SKIPIF 1 0 【解答】解：设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 为奇函数， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-2】（2020上海）若函数 SKIPIF 1 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 0 【分析】根据题意，由

11、函数奇偶性的定义可得 SKIPIF 1 0 ，变形分析可得答案【解答】解：根据题意，函数 SKIPIF 1 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，变形可得： SKIPIF 1 0 ，必有 SKIPIF 1 0 ；故答案为：1【跟踪训练2-3】（2020迎泽区校级模拟）已知 SKIPIF 1 0 为奇函数，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的值为 【分析】结合已知函数解析式及奇函数的定义代入即可求解【解答】解：因为 SKIPIF 1 0 为奇函数，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPI

12、F 1 0 （1） SKIPIF 1 0 故答案为：3【跟踪训练2-4】（2019秋丰台区期末）函数 SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上的偶函数，且图象过 SKIPIF 1 0 点已知 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （）求 SKIPIF 1 0 （1）的值和 SKIPIF 1 0 的值；（）若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的取值范围【分析】（）根据题意，由偶函数的性质可得 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，进而结合函数的解析式可得 SKIPIF 1 0 （1）

13、 SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 的值，即可得答案；（）根据题意，由函数的解析式分析可得 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 的解集，结合函数的奇偶性分析可得答案【解答】解：（）根据题意， SKIPIF 1 0 图象过 SKIPIF 1 0 点，即 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上的偶函数，则 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，解可得 SKIPIF 1 0 ；（）根据题意

14、，由（）的结论， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时若 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，解可得： SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【名师指导】与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式

15、(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数f(x)f(x)，f(x)为偶函数f(x)f(x)，列式求解，也可利用特殊值法求解对于在x0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)0求解题型3 函数的周期性【例3-1】（2019上海）已知函数 SKIPIF 1 0 周期为1，且当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 【分析】由题意知函数 SKIPIF 1 0 周期为1，所以化简 SKIPIF 1 0 再代入即可【解答】解：因为函数 SKIPIF 1 0 周期为1，所以 SKIPIF 1 0 ，因为当 SKIPIF 1

16、0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故答案为： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2020安阳二模）已知 SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上的函数，且 SKIPIF 1 0 ，如果当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 【分析】推导出 SKIPIF 1 0 ，再由当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，由此能求出结果【解答】解： SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF

17、1 0 上的函数，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-1】（2020春红旗区校级月考）已知 SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上周期为2的函数，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，那么当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1

18、0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 再利用周期性即可得出【解答】解：当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-2】(2019山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x2)eq f(1,f（x）)，当2x3时，f(x)x，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)_【分析】先

19、求出函数的周期，再根据周期函数的性质计算即可.【解答】f(x2)eq f(1,f（x）)，f(x4)f(x)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，又2x3时，f(x)x，feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)eq f(5,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(11,2)eq f(5,2).【名师指导】函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称

20、中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性题型4 函数性质的综合应用【例4-1】（2020山东）若定义在 SKIPIF 1 0 的奇函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调递减，且 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，则满足 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

21、 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可【解答】解： SKIPIF 1 0 定义在 SKIPIF 1 0 的奇函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调递减，且 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的大致图象如图： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 0 ；故 SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时，不等式 SKIPIF 1 0

22、成立，当 SKIPIF 1 0 时，不等式 SKIPIF 1 0 成立，当 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 时，即 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 时，不等式 SKIPIF 1 0 成立，当 SKIPIF 1 0 时，不等式 SKIPIF 1 0 等价为 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，不等式 SKIPIF 1 0 等价为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，综上 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，即实数 SKIPIF 1

23、 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF 1 0 【例4-2】（2020安庆模拟）已知奇函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 为偶函数，且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C0D1【分析】根据题意，由 SKIPIF 1 0 为偶函数，分析可得 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，结合函数周期即可得答案【解

24、答】解：根据题意，函数 SKIPIF 1 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 为偶函数，则函数 SKIPIF 1 0 的图象关于 SKIPIF 1 0 对称，则有 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 即函数的周期为4，且 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例4-3】（多选）（2020烟台模拟）已知 SKIPIF 1 0 是定义域为 SKIPIF 1 0 的奇函数， SKIPIF 1 0

25、 是偶函数，且当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 是周期为2的函数B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 的值域为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 的图象与曲线 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上有4个交点【分析】 SKIPIF 1 0 ，根据题意得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是周期为4的周期函数， SKIPIF 1 0 错误； SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 是周

26、期为4的周期函数，则 SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，进而得出 SKIPIF 1 0 正确 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时有 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上的奇函数，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，进而得出 SKIPIF 1 0

27、正确 SKIPIF 1 0 ，由函数图象可知， SKIPIF 1 0 正确【解答】解：根据题意，对于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上的奇函数， SKIPIF 1 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 0 ；则 SKIPIF 1 0 是周期为4的周期函数， SKIPIF 1 0 错误；对于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为定义域为 SKIPIF 1 0 的奇函数，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是周期为4的周期函数，则 SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF

28、1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ；故 SKIPIF 1 0 正确对于 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时有 SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上的奇函数，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以函数 SKIPIF 1 0 的值域 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 正确对于

29、SKIPIF 1 0 ，由函数图象可知， SKIPIF 1 0 正确故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练4-1】（2020新课标）设函数 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A是奇函数，且在 SKIPIF 1 0 单调递增B是奇函数，且在 SKIPIF 1 0 单调递减C是偶函数，且在 SKIPIF 1 0 单调递增D是偶函数，且在 SKIPIF 1 0 单调递减【分析】先检验 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调性【解答】解：因为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即 S

30、KIPIF 1 0 为奇函数，根据幂函数的性质可知， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 为增函数，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 为减函数， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 为增函数，所以当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 单调递增，故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练4-2】（2020和平区二模）已知 SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF 1 0 上的偶函数，且在区间 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上单调递增，若实数 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的取值范围是 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论【解答】解：因为 SKIPIF 1 0 是定义在 SKIPIF