第04章-连续时间信号与系统的频域分析-课件

1、第4章 连续时间信号与系统的频域分析 4.1 周期信号的傅里叶分析4.2 非周期信号的傅里叶变换4.3 傅里叶变换的性质4.4 周期信号的傅里叶变换4.5 系 统 的 频 域 分 析4.6 连续时间信号的时域抽样4.7 用MATLAB进行连续时间信号与系统的频域分析第4章 连续时间信号与系统的频域分析 4.1 周期信号的 前面求解连续与离散时间系统的响应时，最常用的信号表示方式是把任意信号分解为有限个或无限个基本信号的线性叠加。已学过的卷积积分就是把输入信号当作无限个加权冲激信号的叠加来处理。还有没有其他基本信号的分解形式呢？有。这就是本章要学习的傅里叶级数和傅里叶变换把任意信号x(t)分解成

2、正弦（虚指数）函数的线性组合。 前面求解连续与离散时间系统的响应时，最常用的 无论采取何种方式对信号进行分解、逼近或变换，最终的目的是要寻求一种方法既能方便地求解系统的响应，又能使获得的结果具有明显的物理意义，并用于解释或设计实际系统。 无论采取何种方式对信号进行分解、逼近或变换 当由线性电阻、电感和电容组成的线性电路输入信号为正弦（虚指数）函数时，输出信号为相同频率的正弦（虚指数）信号，输出与输入信号之间的差异只不过是系数不同。这就提示我们，如果把输入信号x(t)当作正弦（虚指数）函数的线性组合，那么根据线性时不变系统对各个正弦（虚指数）信号分量的响应的叠加，就可以得到系统对输入信号x(t)

3、作用下的响应特性。这种分析方法就是频域分析方法。 当由线性电阻、电感和电容组成的线性电路输入信4.1 周期信号的傅里叶分析4.1.1 周期信号表示为正弦信号的线性组合 如果一个信号是周期的，那么对一切t，存在某个正值的T1，有x(t)=x(t+T1)4.1 周期信号的傅里叶分析4.1.1 周期信号表示为正 正弦信号就是一个典型的周期信号x(t)=sin(1t) 其中1=2/T1称为基波角频率。以此为基础的一个正弦信号集可表示为n(t)=sin(n1t)n=0，1，2， 正弦信号就是一个典型的周期信号工程中实际的周期函数都可以展开成这样的正弦信号的线性组合的无穷级数。图4.1所示是用正弦信号的组

4、合近似表示周期三角波的过程，可以看到，只需要有限的几个正弦分量的叠加就可以准确表示三角波。工程中实际的周期函数都可以展开成这样的正弦信号的线性组合的无图4.1用傅里叶级数近似表示周期三角波信号图4.1用傅里叶级数近似表示周期三角波信号 图4.2所示是用正弦信号的组合近似表示周期方波的过程，可以看到，有限的正弦分量的叠加无法准确表示方波，一个方波需要无穷多个正弦分量的叠加才行。 图4.2所示是用正弦信号的组合近似表示周期方图4.2用傅里叶级数近似表示周期方波信号 图4.2用傅里叶级数近似表示周期方波信号 有许多实际的需求要求我们将一个连续时间信号展开为三角函数和式的形式。例如为了从实测的信号中消

5、除高频干扰，需要先把信号表示为三角函数的和式，然后把代表高频干扰的正弦分量（n值大的正弦分量）滤除掉，即把它们的系数bn处理为零，从而可以把有用信号提取出来。 有许多实际的需求要求我们将一个连续时间信号展 又如，为了以传输最少数据的方式发送信号而进行数据压缩，也需要先将信号用三角函数展开式表示，然后只发送那些振幅较大的正弦分量，较小振幅的正弦分量对信号没有实质性贡献就不用发送，从而可以加快信号传输的速度。 又如，为了以传输最少数据的方式发送信号而进行4.1.2周期信号的傅里叶级数1.傅里叶级数的三角形式2.频谱3.傅里叶级数的复指数形式4.两种形式间的关系4.1.2周期信号的傅里叶级数4.1.

6、3 典型周期信号的频谱1.周期矩形脉冲信号图4.4周期矩形脉冲信号 4.1.3 典型周期信号的频谱图4.4周期矩形脉冲信号 图4.5周期矩形脉冲信号的频谱 图4.5周期矩形脉冲信号的频谱 当脉冲宽度相同，脉冲重复周期T1变大时，相邻谱线间隔减小，谱线变密。可以推断，当脉冲重复周期变得无限大，即成为非周期信号，相邻谱线间隔将趋于0，从而周期信号的离散谱就演变为非周期信号的连续谱。 当脉冲宽度相同，脉冲重复周期T1变大时，相邻谱线间隔减小，谱 当脉冲重复周期不变，脉冲宽度变窄时，其频谱包络线零值点的频率越高，即信号的带宽越大，频带内所包含的分量越多。可见，信号的带宽与其脉宽成反比。因此，传输急剧变

7、化的信号往往需要较宽的信道带宽。 当脉冲重复周期不变，脉冲宽度变窄时，其频谱2.周期三角脉冲 周期三角波信号如图4.6所示，显然它是一个偶信号。图4.6周期三角波信号波形 2.周期三角脉冲图4.6周期三角波信号波形 三角脉冲信号的频谱如图4.7所示。图4.7周期三角脉冲信号的频谱 三角脉冲信号的频谱如图4.7所示。4.2 非周期信号的傅里叶变换 前面我们已经讨论了周期信号的傅里叶级数， 并得到了它的离散频谱。 本节我们把上述傅里叶分析方法推广到非周期信号中去， 导出非周期信号的傅里叶变换。4.2 非周期信号的傅里叶变换 前面我们已经4.2.1从傅里叶级数到傅里叶变换 把非周期信号看作是周期T1

8、趋于无穷大时的周期信号，然后利用已经得到的周期信号傅里叶级数表示式来进行频谱分析。 4.2.1从傅里叶级数到傅里叶变换 自从引入广义函数后，在傅里叶变换中允许冲激函数及其各阶导数存在，这样使许多并不绝对可积的函数（如阶跃函数、符号函数和周期函数等），其频谱函数有了确定的表示式，这种引入广义函数后的频谱函数有时也称为广义傅里叶变换。 自从引入广义函数后，在傅里叶变换中允许冲激函4.2.2 典型非周期信号的傅里叶变换 本节利用傅里叶变换的定义求解几种典型非周期信号的频谱，然后讨论冲激信号与阶跃信号的频谱。1. 单位冲激信号 单位冲激信号的频谱等于常数，即其频谱在整个频率范围内是均匀分布的。这种频谱

9、通常称作“均匀谱”或“白色谱”，如图4.8所示。 4.2.2 典型非周期信号的傅里叶变换图4.8 冲激信号及其频谱 图4.8 冲激信号及其频谱 2.直流信号 直流信号的频谱是位于=0的冲激函数，这与直流信号的物理概念是一致的。其频谱如图4.9所示。2.直流信号图4.9 直流信号及其频谱 图4.9 直流信号及其频谱 3.单边指数信号图4.10 单边指数信号及其频谱 3.单边指数信号图4.10 单边指数信号及其频谱 4. 矩形脉冲图4.11 矩形脉冲信号及频谱 4. 矩形脉冲图4.11 矩形脉冲信号及频谱 5. 符号函数图4.12 符号函数及其频谱 5. 符号函数图4.12 符号函数及其频谱 6.

10、 单位阶跃信号图4-13 阶跃信号及其频谱6. 单位阶跃信号图4-13 阶跃信号及其频谱4.3 傅里叶变换的性质 通过前面的学习我们知道，任一信号可以有两种表示方法：时域表示x(t)和频域表示X()。对信号的时域与频域之间的对应关系以及转换规律有一个深入的理解，将会对实际的信号分析带来方便。为此，我们有必要讨论一下傅里叶变换的基本性质及其应用。4.3 傅里叶变换的性质 通过前面的学习我们4.3.1 线 性 线性性质有两个含义：比例性，若信号x(t)乘以常数a，则其频谱函数也乘以相同的常数a；可加性，即几个信号之和的频谱等于各个信号的频谱之和。4.3.1 线 性4.3.2 对 称 性 当x(t)

11、为偶函数时，时域和频域的对称性完全成立，即x(t)的频谱为X()，那么形状为X(t)的波形，其频谱必为x()。若x(t)不是偶函数，由式（4-36）可以看出，时域和频域仍有一定的对称性。显然，矩形脉冲信号的频谱为Sa函数，而Sa形脉冲的频谱必然为矩形函数；同样，直流信号的频谱为冲激函数，而冲激函数的频谱必然为常数。4.3.2 对 称 性4.3.3 尺度变换特性 由尺度变换特性可知，信号在时域中压缩(a1)等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展等效于在频域中压缩。如信号的波形压缩a倍，说明信号随时间变化加快a倍，所以它所包含的频谱展宽a倍，根据能量守恒原理，各频率分量的大小必然减小a倍。4.

12、3.3 尺度变换特性 尺度变换特性同时也说明了若要压缩信号持续时间，提高通信速率，则不得不以展宽频带作代价。所以在无线电通信中，通信速率与占用带宽是一对矛盾。图4.14给出了矩形脉冲尺度变换的几种情况。 尺度变换特性同时也说明了若要压缩信号持续时间图4.14 矩形脉冲的尺度变换 图4.14 矩形脉冲的尺度变换 4.3.4 时移特性 信号x(t)在时域中沿时间轴右移（延时）t0等效于在频域中频谱乘以e-jt0因子，其幅度谱不变，各频率分量的相位落后t0弧度；同理，若信号沿时间轴左移（提前）t0，则频谱乘以因子ejt0，各频率分量的相位提前t0弧度。 4.3.4 时移特性4.3.5 频移特性 频谱

13、沿频率轴右移或左移称为频谱搬移技术。在通信系统中用于实现调幅、变频及同步解调过程。 4.3.5 频移特性4.3.6 时域卷积定理4.3.7频域卷积定理4.3.6 时域卷积定理4.4 周期信号的傅里叶变换 在前几节中，我们已经讨论了周期信号的频谱傅里叶级数。然后令周期信号的周期趋于无穷大，使周期信号变为非周期信号，其频谱由离散谱变为连续谱，从而导出了傅里叶变换的表示式。4.4 周期信号的傅里叶变换 在前几节中， 现在我们将推得的傅里叶变换推广至周期信号，其目的是把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来。虽然周期信号不满足绝对可积条件，但周期信号的傅里叶变换可以通过冲激函数表示出来，这也反映了周期

14、信号频谱的离散性。我们先考虑正弦和余弦信号的频谱，再研究一般周期信号的傅里叶变换。 现在我们将推得的傅里叶变换推广至周期信号，4.4.1 正弦和余弦信号的傅里叶变换 其频谱如图4.17所示。 图4.17 正余弦信号频谱 4.4.1 正弦和余弦信号的傅里叶变换图4.17 正余弦4.4.2 一般周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶变换是由无穷多个位于信号的各次谐波频率n1上的冲激函数组成，每个冲激的强度为相应系数Xn的2倍。由此可见周期信号的频谱是离散的。 4.4.2 一般周期信号的傅里叶变换4.4.3 周期单位冲激串的傅里叶变换 若把位于t=0处的单位冲激函数以T为周期延拓，可构成周期单位冲激

15、串，如图4.18(a)所示。 p(t)的傅里叶级数及傅里叶变换如图4.18(b)和(c)所示。周期单位冲激串的傅里叶变换为强度等于0的冲激串。4.4.3 周期单位冲激串的傅里叶变换图4.18 周期单位冲激串的傅里叶级数与傅里叶变换 图4.18 周期单位冲激串的傅里叶级数与傅里叶变换 4.5 系 统 的 频 域 分 析4.5.1 系统的频率响应 线性系统的频率响应可表示为响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比。 利用式（4-55）也可以求得线性非时变系统的零状态响应，由于这种方法是在频域进行的，故称为系统的频域分析法。4.5 系 统 的 频 域 分 析4.5.1 系统的频率频域分析法的基本步骤如

16、下。1. 把已知激励变换为相应的频谱函数；2. 根据KCL、KVL和支路关系列出频域电路的代数方程；3. 解代数方程求取响应的频谱函数；4. 进行傅里叶反变换得出零状态下响应的时域解。 频域分析法的基本步骤如下。4.5.2信号的不失真传输条件1.失真的概念 如果信号通过系统传输时，其输出波形发生畸变，失去了原信号波形的样子，就称失真。反之，若信号通过系统只引起时间延迟及幅度增减，而形状不变，则称不失真。4.5.2信号的不失真传输条件 线性系统产生的传输信号失真和两种因素有关。因素之一是信号通过线性系统时，信号中的各频率分量产生不成比例的衰减或增幅，使输出信号中的各频率分量的幅度比例与输入信号有

17、很大不同，这称为幅度失真；因素之二是系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，使输出信号的各频率分量在时间轴上的相对位置发生改变，这称为相位失真。 通常我们希望传输过程中信号失真最小，下面来研究信号传输无失真的条件。 线性系统产生的传输信号失真和两种因素有关。2.无失真传输的时域条件 设激励信号为x(t)，响应信号为y(t)，经过无失真传输后y(t)=Kx(t-t0) 式中K为常数，t0为延时时间。上式称为系统的无失真传输条件。 显然，在满足无失真传输的条件下，响应是激励的精确再现。因为响应波形与激励波形一样，只不过响应信号的幅度是原信号的K倍，并延迟了t0时间，如图4.20所示。2.无失真传

18、输的时域条件图4.20 系统的无失真传输图4.20 系统的无失真传输 无失真传输系统的幅频特性为一常数，而相频特性为一通过原点的直线，如图4.21所示。图4.21 无失真传输条件 无失真传输系统的幅频特性为一常数，而相频特 当频率响应的幅度|H(j)|等于常数K时，输出信号中各频率分量幅度的相对大小将与输入信号的情况一样，因而不产生幅度失真；而要不产生相位失真，必须使输出信号各频率分量与输入信号各频率分量滞后相同时间，我们通过图4.22进行说明。 当频率响应的幅度|H(j)|等于常数K时，输图4.22 相位失真示意图 图4.22 相位失真示意图 4.5.3 理想低通滤波器 在实际应用中，常常希

19、望滤除或衰减一个信号中所包含的不希望的频率分量，这样的一个处理过程称为信号的滤波。对于线性时不变系统，由于输出信号的频谱等于输入信号的频谱乘以系统的频率响应，因此只要适当的选择系统的频率响应，就可以实现所希望的滤波功能。4.5.3 理想低通滤波器 通常称希望滤除的频率范围为滤波器的阻带，而希望保留的输入信号中的频率范围为滤波器的通带。根据滤波器通带与阻带在频率轴上占据的相对位置，将滤波器分为低通、高通、带通、全通等不同类型。例如滤除低频信号而允许高频信号通过的滤波器，称为高通滤波器；滤除高频信号而允许低频信号通过的滤波器，称为低通滤波器。 通常称希望滤除的频率范围为滤波器的阻带，而希 在前面的

20、章节中，曾将信号特性理想化，提出了诸如冲激信号、阶跃信号这样的理想模型，这给信号的表示和分析带来了很大的方便。在线性系统分析时同样需要建立一些理想化的系统模型。 理想滤波器就是将滤波网络的频率特性进行理想化，使不允许通过的频率分量一点也不让它通过，百分之百地被抑制掉，而允许通过的频率分量让其百分之百地顺利通过。 在前面的章节中，曾将信号特性理想化，提出了诸 最经常用到的是具有矩形幅度特性和线性相位特性的理想低通滤波器。这种滤波器将使某一频率范围内的信号完全地通过，而在此频率外的信号则完全抑制，即在-cc范围内通过信号，而在|c，信号完全抑制。频率c称为截止频率。 最经常用到的是具有矩形幅度特性

21、和线性相位特性 如图4.23（a）所示，由于这种滤波器允许信号通过的频带以=0为中心，因此称为理想低通滤波器。为了满足无失真传输的要求，理想低通滤波器的相位特性为一通过原点的直线，如图4.23（b）所示。即 ()=- t0 如图4.23（a）所示，由于这种滤波器允许信图4.23 理想低通滤波器的幅频特性与相位特性图4.23 理想低通滤波器的幅频特性与相位特性 理想低通滤波器的冲激响应为一个峰值位于t0的Sa函数，如图4.24所示。整个冲激响应波形持续时间从-到+，即在没有冲激信号激励之前，就已有了响应，响应先于激励出现。因此，理想低通滤波器属于非因果系统，它在物理上是无法实现的。而实际工程中使

22、用的滤波器是因果系统，它只是对理想低通滤波器的频率特性和冲激响应的逼近。 理想低通滤波器的冲激响应为一个峰值位于t0图4.24 理想低通滤波器的冲激响应 图4.24 理想低通滤波器的冲激响应 4.6 连续时间信号的时域抽样 随着计算机技术的飞速发展，专用数字信号处理器件与算法的不断出现，不仅传统上以连续时间信号处理技术为原理的设备或系统逐渐被以离散时间信号处理技术为原理的设备或系统取代，而且还可以利用离散时间信号处理技术实现原来连续时间系统不可能实现的功能。4.6 连续时间信号的时域抽样 随着计算机 是不是所有时间间隔的理想取样都能反映原连续信号的基本特征呢？答案是否定的，例如，有一个连续信号

23、x(t)=sin(t)信号如图4.25（a）所示。当取样间隔T=秒时所得的取样序列为x(nT)=sin(n)=0，其信号如图4.25(b)所示，显然它无法反映原来的连续信号。当取样间隔T=/2秒时，一个周期取样4个点，得到的序列如图4.25(c)所示。当取样间隔逐渐变小，即每个周期的取样点数逐渐增加时，得到的取样序列就能反映原连续信号的基本特征。 是不是所有时间间隔的理想取样都能反映原连续信图4.25 对连续信号用不同的取样间隔取样 图4.25 对连续信号用不同的取样间隔取样 大多数实际信号是连续时间信号，即具有无限多个时间点的数据，而数字处理设备（计算机）的存储空间有限，只能接受并处理有限个

24、时间点的数据。为充分利用数字信号处理技术的优势，就必须首先解决如何用有限的时间点数据（离散信号）代替无限多个时间点数据（原连续时间信号）的问题。解决这个问题的方法就是在时域对连续时间信号抽样，即每隔一段时间取一个数据，而不是对所有的时间都取数据。 大多数实际信号是连续时间信号，即具有无限多个 对于时域抽样所面临的问题是，抽样的时间间隔取多大合适。过大会加重计算机的存储负担，还会降低计算速度；过小显然会丢失原来的连续信号的全部或部分信息。我们的目标是：在保留原连续时间信号的全部信息的条件下抽取尽可能少的数据。时域抽样定理为我们解决了这个棘手的问题。 对于时域抽样所面临的问题是，抽样的时间间隔取4

25、.6.1 时域抽样定理1.理想抽样信号的频谱 理想抽样如图4.26所示，p(t)为周期单位冲激串，x(t)为连续时间信号，它们的乘积xS(t)=x(t)p(t)称为x(t)的抽样信号（sampled signal），xS(t)中各冲激强度构成的序列则为x(t)的样本xn。4.6.1 时域抽样定理图4.26 理想抽样 图4.26 理想抽样 2.抽样定理 对最高频率为M的带限信号x(t)，频谱函数X()在M时X()=0，当抽样频率S2M时，抽样信号的频谱示意图如图4.27（b）所示。可看出，这种情况下抽样信号的频谱完整地保留了x(t)的频谱。因此，用一个增益为TS、通带频率大于M并小于(S-M)的

26、理想低通滤波器，就可以从抽样信号xS(t)中不失真地恢复出连续时间信号x(t)。2.抽样定理图4.27 抽样信号的频谱 图4.27 抽样信号的频谱 如果x(t)是最高频率为M的带限信号，但抽样频率S2M。 如果x(t)不是带限信号，无论抽样周期或抽 由此可得到时域抽样定理，即若连续信号x(t)的频谱占据(-M)至(+M)的范围，此信号称为频谱受限信号，则对x(t)进行等间隔抽样后形成的抽样信号可惟一表示x(t)的条件为：抽样角频率S必须大于或等于2M 。 由此可得到时域抽样定理，即若连续信号x(t)4.6.2 信号的内插恢复 如果按照抽样定理把连续时间信号转换成了离散时间信号，利用计算机进行各

27、种运算处理后，得到的输出仍然是离散信号，而由这个离散信号是不是可以得到对应的连续时间输出信号呢？要回答这个问题，我们只需看一下原连续时间信号x(t)被抽样后的离散信号xnxS(nTS)是否可以再恢复为x(t)即可。上面已从频域的角度分析了信号的恢复问题，这里再从时域内插的角度进一步分析信号的恢复问题。 4.6.2 信号的内插恢复 使用理想低通滤波器从抽样信号恢复原连续时间信号的过程，等效于用无限多个不同移位的Sa函数合成原信号，其系数等于x(nTS)。式（4-70）就是用于信号恢复的时域内插公式。图4.29所示的时域波形给出了这一内插过程。 使用理想低通滤波器从抽样信号恢复原连续时间图4.29 由抽样信