《用向量法求二面角平面角》教案

1、第三讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，过去学生学习立体几何时，主要采用“形到形”的综合推理方法，即依照题设条件，将空间图形转变为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大部分学生都感觉一筹莫展。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题供应了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，表现了数形结合的思想。并且引入向量，关于某些立体几何问题供应通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减少了学生学习的负担，表现了新课程理念。为

2、适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各样问题。本文举例说明怎样用向量法解决立体几何的空间角问题。以此加强向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，进而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁琐的推理，只要要将几何问题转变为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。授课目标1使学生会求平面的法向量；2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；使学生可以应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；使学生的分析与推理能力和空间想象能力获取提高.授课重点求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法.授课难点1求解二面角的平面

3、角的向量法.授课过程、复习回首一、回首有关公式：1、二面角的平面角：（范围：0,）n1,n2n1,n2n1,n2n2n1,n2n1n1n2llcoscosn1,n2coscosn1,n2结论：或coscosn1,n2一致为：n1n2n1n22、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）成立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中波及的点、直线、平面，把立体几2何问题转变为向量问题；（化为向量问题）（2）经过向量运算，研究点、直线、平面之间的地址关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3

4、）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）、典例分析与练习例1、如图，ABCD是素来角梯形，ABC90，SA面ABCD，SAABBC，AD1，12求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值.z分析分别以BA,AD,AS所在直线为x,y,z轴，SrBC成立空间直角坐标系，求出平面SCD的法向量n1，rrrADy夹角平面SBA法向量n2，利用n1,n2x求平面SCD与平面的夹角余弦值。SBA解：如图成立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0),C(11,1,0),D(0,0),S(0,0,1)2易知面SBAn1AD(0,0)，CD(1,0),SD(0,1)的法向量为111222xy02

5、1设面SCD的法向量为n2(x,y,z)，则有，取z1，得x1,y2，n2y(1,1)z022cosn1,n2n1n26|n1|n2|3又n1方向朝面内，n2方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角36即所求二面角的余弦值为.3点拨求二面角的方法有两种：（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，进而确定二面角的大小；（2）依照几何体的特点成立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，进而确定二面角的大小。练习1：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点.求二面角AED的余弦值。解：由题意知，F(0

6、,1,1),E(1,1,0)，则AF(0,1,1),AE(1,1,0)2222设平面AEF的法向量为n(x,y,z)，则nAF0y1z02，取y1，得xz2znAE01y0A1D1x2n(2,1,2)B1C1F又平面AED的法向量为AA1(0,0,1)AyBEDCnAA122xcosn,AA1313|n|AA1|FAED为锐角，因此所求二面角F2察看图形知，二面角AED的余弦值为3练习2：如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形AABB是矩形，平面AABB平面ABCD。试问：当AA的长度为多少时，二面角DACA的大小为60？Axyz，则uuur(1,0,a)uuur解：如图成立空

7、间坐标系DADC(0,1,0)ur(x,y,1)设面DAC的法向量为n1uuurururDAn10(a,0,1)则uuurur0得n1DCn1uur(1,1,0)易得面AAC的法向量n24uruur向量n1,n2的夹角为60ouruururuurn1n2a1由cosn1,n2uruura2得a1|n1|n2|122当AA时，二面角DACA的大小为60o设计说明：复习面面角转变为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况练习3：正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为，是侧棱AA1上随意一点当BC1B1P时，求二面角CB1PC1的平面角的余弦值解：如图成

8、立空间坐标系Oxyz，设APa则A,C,B1,P的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,a),uuuurBC1(3,1,2)uuuuruuur由BC1B1P，得BC1gB1P0即22(a2)0a1又BC1B1CBC1面CB1PuuuurBC1(3,1,2)是面CB1P的法向量ruuurrrB1Pn0(1,3,23),设面C1B1P的法向量为n(1,y,z)，由uuuurr得nB1C1n0uuuurr设二面角CB1PC1的大小为，则cosBC1gn6uuuuuruur4|BC1|n|、小结与收获coscosn1,n2n1n2n1n21、二面角的平面角的正弦值弦值：2、求平面法向量的方法.5、课后练习1、如图,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90o,ABBCPBPC2CD,侧面PBC底面ABCD.求二面角PBDC的大小.2、如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均相等,点D是BC上一点,ADC1D.求二面角CAC1D的大小.6内容总结（1）第三讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求二面角的平