难点攻关抛物线与平行四边形【含答案】

1、难点攻关抛物线与平行四边形近来几年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，在平面直角坐标系xoy中，点C，B的坐标分别为(-4,0)，(0,2)四边形ABCO是平行四边形，抛物线过A，B，C三点，与x轴交于另一点D一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止求抛物线的剖析式；若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？(3)当t为何值时，以P，B，O为极点的三角形与以点Q，B，O为极点的三角形相似？解：(1)四边形AB

2、CO是平行四边形，OC=AB=4A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)抛物线y=ax2+bx+c过点B(0,2)，c=2116a-4b+20解得:a=16由题意，有116a+4b+22b=4所求抛物线的剖析式为y-161x2+41x+2；(2)将抛物线的剖析式配方，得y121-16(x-2)+24抛物线的对称轴为x=2当y=0时，x1=-4，x2=8D(8，0)，E(2，2)，F(2，0)欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE，BO=EFPOBQEFBP=FQt=6-3t，即t=32(3)欲使以P、B、O为极点的三角形与以点PBO=BOQ=90，PBOQOB或PBOBOQ，BP:OB

3、=OQ:BC或BP:OB=BC:OQQ、B、O为极点的三角形相似，即PB=OQ或OB2=PB?QO若P、Q在y轴的同侧当PB=OQ时，t=8-3t，t=2当OB2=PB?QO时，t(8-3t)=4，即3t2-8t+4=0解得t12，t223若P、Q在y轴的异侧当PB=OQ时，3t-8=t，t=42=PB?QO时，t(3t-8)=4，即3t2解得t427当OB-8t-4=030t4，舍去t=427，t=4+2733当t=2或t=2或t=4或t=4+27秒时，以P、B、O为极点的三角形与以点Q、B、O为顶33点的三角形相似【谈论】此题是一道二次函数的综合试题，观察了待定系数法求二次函数的剖析式，平

4、行四边形的性质和等腰梯形的性质的运用，相似三角形的判断与性质和全等三角形的判断与性质的运用及数学分类思想的运用已知极点为P的抛物线C1的剖析式是y=a(x-3)2(a，0)且经过点(0，1)求a的值；(2)如图将抛物线C1向下平移h(h0)个单位获取抛物线C2，过点K(0，m2)(m0)作直线l平行于x轴，与两抛物线从左到右分别订交于A、B、C、D四点，且A、C两点关于y轴对称点G在抛物线C1上，当m为何值时，四边形APCG是平行四边形？若抛物线C1的对称轴与直线l交于点E，与抛物线C2交于点F，试试究：在KKC点运动过程中，PF的值可否会改变？若会，请说明原由；若不会，央求出这个值解：(1)

5、抛物线C1的剖析式是y=a(x-3)2(a，0)经过点(0，1)，1=a(0-3)2，解得：a=19(2)A、C两点关于y轴对称，点K为AC的中点，若四边形APCG是平行四边形，则必有点K是PG的中点，过点G作GQy轴于点Q，GQKPOK在GQK和POK中QKOKQKGOKPGQKPOK(ASA)，22GQ=PO=3，KQ=OK=m，OQ=2m，极点G在抛物线C1上，2m2=1(-3-3)2，9解得：m=2又m0，m=2当m=2时，四边形APCG是平行四边形；KCPF的值不会改变；22原由：在抛物线y=19(x-3)中，令y=m，又m0，且点C在点B的右侧，C(3+3m，m2)，KC=3+3m

6、，A、C两点关于y轴对称，A(-3-3m，m2)，将抛物线C1向下平移h(h0)个单位获取抛物线C2，抛物线C2的剖析式为：y=19(x-3)2-h，m2=19(-3-3m-3)2-h，解得：h=4m+4，PF=4+4m，KCPF=3+3m4+4m=34【谈论】此题主要观察了二次函数综合以及二次函数的平移以及全等三角形的判断与性质以及平行四边形的判断与性质等知识，利用二次函数对称性得出A点坐标是解题要点53.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(5，0)，C(0,-2)三点()求抛物线的剖析式；()在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标()点M为x轴上一动点，在抛物线上可

7、否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明原由解：()设抛物线的剖析式为y=ax2+bx+c(a，0)5A(-1，0)，B(5，0)，C(0，-2)三点在抛物线上，a-b+c01a=225a+5b+c0解得:b=2c-552c=2抛物线的剖析式为：y=1x2-2x-522125()抛物线的剖析式为：y=2x-2x-2其对称轴为直线x=-2连接BC，如图1所示，5B(5，0)，C(0，-2)设直线BC的剖析式为y=kx+b(k0)，5k+b0k=1解得2，55b=2b=2直线BC的剖析式为y=1x-522当x=2时，y=125=-233P

8、(2，-2)()存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形如图2所示，当点N在x轴下方时，5N1(4，-52)当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2Dx轴于点D，N2ADCM2O在AN2D与M2CO中，AN2CM2AN2DM2COAN2DM2CO(ASA)，N2D=OC=52，即N2点的纵坐标为5212552x-2x2=2解得x=2+14或x=2-14N2（2+514,2），N3（2-514,2）综上所述，吻合条件的点N的坐标为（554，-2），（2+14,2），或（2-14,52）【谈论】此题观察的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的剖析式、平行四边的判

9、断与性质、全等三角形等知识，在解答(3)时要注意进行分类谈论4.如图，抛物线y=-1.25x2+4.25x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0)(1)求直线AB的函数关系式；(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C搬动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N设点P搬动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；设在(2)的条件下(不考虑点P与点O，点C重合的情况)，连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问关于所求的t值，平行四边形BCMN可否菱形？请说明原由

10、解：(1)当x=0时，y=1，A(0,1)当x=3时，y=-532+173+1=2.5，B(3，2.5)，44设直线AB的剖析式为y=kx+b，则：b=1b=1，解得：13k+b=2.5k=2直线AB的剖析式为y=1x+1；2(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C搬动，点P搬动的时间为t秒，OP=1?t=t，P(t，0)(0t，3)过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，M（t，1t+1），N（t，-5t2+17t+1），244521715215s=MN=NP-MP=-4t+4t+1-（2t+1）=-4t+4t(0t；3)由题意，可知当MN=BC时，四边形BCM

11、N为平行四边形，52155此时，有-t+4t=24解得t1=1，t2=2，所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形当t=1时，MP=23，NP=4，故MN=NP-MP=25又在RtMPC中，MC=MP2+PC2=5，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形；2当t=2时，MP=2，NP=29，故MN=NP-MP=25，又在RtMPC中，MC=MP2+PC2=5故MNMC，此时四边形BCMN不是菱形【谈论】此题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求直线的剖析式，一次函数、二次函数图象上点的坐标特色，行程、速度与时间的关系，平行四边形、菱形的判断，勾股定理等知识，综合性较强，难度适中如图

12、，在直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C(1)求抛物线的剖析式；(2)点D、E分别是AB、BC上的动点，且点D从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B搬动，同时点E从点B开始，以1cm/s的速度沿BC向点C搬动运动t秒(t2)后，可否在抛物线上找到一点P，使得四边形BEDP为平行四边形？若是能，央求出t值和点P的坐标；若是不能够，请说明原由【解答】解：(1)依题意得：B(2，2)，C(0，2)把它们代入y=-x2+bx+c，得2-22+2b+c,解得b=2c=2所以，该抛物线的剖析式为：y=-x2+2x+2

13、；四边形BEDP为平行四边形，BE=PD，且BEDP，设E(2-t，2)，则D(2，t)，P(2+t，t)2t=-(2+t)2+2(2+t)+2，解得：t1=3+17，t2=31722(负值，舍去)则2+t=1+1721+173+17故点P的坐标为(2,2)【谈论】此题观察了二次函数综合题解题时，需要熟练掌握待定系数法求二次函数剖析式，正方形的性质，平行四边形的性质以及二次函数图象上点的坐标特色，还要注意“数形结合”的数学思想的应用6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交

14、于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点(点P与F、G不重合)，作PQy轴与抛物线交于点Q2则b=，c=(直接填空)以P、D、E为极点的三角形是直角三角形，则点P的坐标为(直接填空)若抛物线极点为N，又PE+PN的值最小时，求相应点P的坐标连接QN，研究四边形PMNQ的形状：可否成为平行四边形？可否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能够，请说明原由解：(1)如图1，OA=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，B(-1，0)，C(4，0)，E(0，4)抛物线对称轴为x=32又过B、E、C三点的抛物线的剖析式为y=-x2+(2b-1)x+c-5，-2b132(-1)=

15、2，且c-5=4，解得b=2，c=9故填：2；9；设直线AD的剖析式为：y=kx+2(k0)A(-2，0)，0=-2k+2，解得k=1，直线AD的剖析式为：y=x+2如图1，过点E作EPx轴交直线AD与点P，则PED=90把y=4代入y=x+2，得x=2，则P(2，4)ED=EP过点E作EP直线AD于点P，则EPD=90点P是线段DP的中点P(1，3)综上所述，吻合条件的点P的坐标为：(2，4)或(1，3)故填：(2，4)或(1，3)；如图2，作点N关于直线AD的对称点N，连接EN，EN与直线AD的3472交点即为所求的点P所以P(19,19)；点M坐标是(32,72），点N坐标是（32,25

16、4)11MN=42，则2设点P为(x，x+2)，Q(x，-x+3x+4)PQ=-x+2x+2如图3，若PQNM是平行四边形形，则PQ=MN，可得x1=0.5，x2=1.5当x2=1.5时，点P与点M重合；当x1=0.5时，可求得PM=2，所以平行四边形不存在；如图3，能成为等腰梯形，作QHMN于点H，作PJMN于点J，则NH=MJ，则252）=x+2-74-（-x+3x+42解得：x=52，59此时点P的坐标是(2,2)【谈论】此题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的剖析式，平行四边形、等腰梯形的判断7.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=c，AC=b，BC=a，抛物线y=ax2+bx-c与x轴的一个交点为(m，0)(1)若四边形ABCD是正方形，求抛物线y=ax2+bx-c的对称轴；(2)若m=41c，ac-4b0，且a，b，c为整数，求四边形ABCD的面积解：(1)四边形ABCD是正方形，AB=BC，AC=2AB，即b=2a=2c，抛物线y=ax2+bx-c的对称轴为直线x=b=2；2a21(2)m=4c，抛物线y=ax2+bx-c与x轴的一个交点为1(c，0)4把（12121c，0）代入y=ax+bx-c得a?c+bc-c=0，4164ac+4b-16=0，ac=16-4b