3-机器人运动学熊有伦机器人技术基础

1、3. 机器人运动学ENTER3.1机器人正正运动学学方程3.2机器人逆逆运动学学方程本章主要要内容运动学研研究的问问题：手在空间间的运动动与各个关节节的运动动之间的关关系。3.1机器人正正运动学学方程定义：描述机器器人手部在空间相相对于绝绝对坐标标系或机机座坐标标系的位置及姿姿态的数学表表达式运动学方方程的模模型：M机器人手手在空间间的位姿姿qi机器人各各个关节节变量已知杆件件几何参参数和关关节角矢矢量求机机器人末末端相对对于参考考坐标系系的位置置和姿态态3.1机器人正正运动学学方程3.1机器人正正运动学学方程连杆描述连杆连接接的描述述对连杆附附加坐标标系的规规定操作臂运运动学PUMA560运

2、动学方方程机器人的的各连杆杆通过关关节连接接在一起起，关节节有移动副与转动副两种。关节和连杆的的编号：机座称 杆件件0，机座与杆杆件1的关节编编号关节1,类推之.关节编号号3.1.1连杆描述描述一个个连杆的的两个参参数:1.Linklength连杆长度度ai-1关节轴i-1和关节轴轴i之间的公公垂线的的长度ai-1假设条件件把连杆看看作是一一个刚体体2.Linktwist连杆转角角i-1假设作一一个平面面,并使该平平面与两两关节轴轴之间的的公垂线线垂直,然后把关关节轴i-1和关节轴轴i投影到该该平面上上,在平面内内轴i-1按照右手手法则转转向轴i,测量两轴轴角之间间的夹角角为i-1.3.1.1

3、连杆描述下图中的的连杆长长度和连连杆转角角？3.1.2连杆连接的描描述描述连杆杆连接的的两个参参数:1)link offset连杆偏距距di.相邻两个个连杆之之间有一一个公共共的关节,沿着两个相邻邻连杆公共法线线线的距离可以以用一个个参数描描述为连连杆偏距距di.当i为移动关关节时,连杆偏距距为一变变量.（1） 连杆杆中的中中间连杆杆2)jointangle关节角i.描述两个个相邻连连杆绕公公共轴线线旋转的的夹角i.当i为转动关关节时,关节角为为一变量量.3.1.2连杆连接接的描述述（2） 连杆杆中的首首尾连杆杆对于运动链中中的末端端连杆,其参数习习惯设为为0,即从关节2到关节n的连杆偏偏距d

4、i和关节角角i.是根据前前面的规规定进行行定义.关节1(或n)如果为转动关节,则1的零位可可以任意意选取,规定d1=0.0，关节1 (或n)如果为移动关节,则d1的零位可可以任意意选取,规定1=0.0;3.1.2连杆连接接的描述述（3） 连杆杆参数对于转动动关节,i为关节变变量,其他三个个参数固固定不变变;对于移动动关节,di为关节变变量,其他三个个参数固定不变变;这种用连连杆参数数描述机机构运动动关系的的方法称为Denavit-Hartenberg法,对于一个个6关节机器器人,需要用18个参数就就可以完完全描述述这些固固定的运运动学参参数,可用6组(ai-1,i-1,di)表示，用6个关节变

5、变量i描述运动动学中的的变化部部分。3.1.3连杆附加加坐标系系的规定定为了描述述每个连连杆和相相邻连杆杆之间的的相对位位置关系系,需要在每每个连杆杆上定义义一个固固连坐标标系.（1）连杆中中的中间间连杆规定:坐标系i-1的Z轴称为Zi-1,与关节轴轴i-1重合;坐标系i-1的原点位于公垂垂线ai-1与关节轴轴i-1的交点处处.Xi-1轴沿ai-1方向由关关节i-1指向关节节i(若:ai-1=0,则Xi-1垂直于Zi-1和Zi所在的平平面;Yi-1轴由右手定定则确定定Yi-1=Zi-1Xi-13.1.3连杆附加加坐标系系的规定定坐标系0通常规定定:Z0轴沿着关节轴1的方向,当坐标系系1的关节变

6、变量为0时,设定参考考坐标系系0与1重合.且a0=0,0=0,当关节1为转动关关节,d1=0;当关节1为移动关关节,1=0.坐标系n通常规定定:对于转动动关节n,设定n=0.0,此时Xn和Xn-1轴的方向向相同,选取坐标标系n的原点位位置,使之满足足dn=0;对于移动动关节n,设定Xn轴的方向向使之满足足n=0.0,当dn=0时,选取坐标标系n的原点位位于Xn-1轴与关节节轴n的交点位位置.（2）连杆中中的首尾尾连杆3.1.3连杆附加加坐标系系的规定定（3）在连杆杆坐标系系中对连连杆参数数的归纳纳i-1通常规定定,其余可正正可负.按照上述述规定的的坐标系系不是唯唯一的；Zi的指向有有两种选选择

7、;如果关节节轴相交交, Xi轴的指向向也有两两种选择择.当相邻两两轴平行行时,坐标系原原点可以以任意选选择.当关节为为移动关关节时,坐标系的的选取具具有一定定任意性性.3.1.3连杆附加加坐标系系的规定定确定关节节轴，并并画出轴轴的延长长线。找出关节节轴i-1和i的公垂线或或交点，作为坐坐标系i-1的原点。规定Zi-1的指向是沿沿着第i-1个关节轴。规定Xi-1轴得指向是是沿着轴轴i-1和i的公垂线的的方向，如果关关节轴i-1和i相交，则Xi-1轴垂直于关关节轴i-1和i所在的平面。Yi-1轴的方向由由右手定定则确定Yi-1=Zi-1Xi-1。当第一个个关节变变量为0时，规定定坐标系系0和1重

8、合，对对于坐标标系N，尽量选选择坐标标系使得得连杆参参数为0.（4）建立连连杆坐标标系的步步骤i-13.1.3连杆附加加坐标系系的规定定【例题1】iai-1i-1dii100012L10023L20033.1.3连杆附加加坐标系系的规定定【例题2】iai-1i-1dii100012090d20300L233.1.3连杆附加加坐标系系的规定定【例题3】3.1.4操作臂运运动学方方程目的：求出相邻邻连杆间间的坐标标变换的的形式，进一步步求出连杆n相对于连连杆0的位置和和姿态。（1）推导过程：1.坐标系i-1相对于坐标系i的变换是由连杆四个参数构成的函数，其中只有一个变量。2.为求解 ，对每个连杆建

9、立坐标系，分解成4个变换子问题，每个子变换只包含一个连杆参数。3.定义三个中间坐标系R Q P：坐标系R 是由坐标系i-1绕X i-1轴偏转i-1得到；坐标系Q是由坐标系R 沿着X i-1轴平移a i-1得到；坐标系P是由坐标系Q绕Z i轴旋转i得到；坐标系i是由坐标系P沿着Z i轴平移di得到。RQP3.1.4操作臂运运动学方方程最后，得得到相邻邻连杆的的一般变变换为：（相对于于运动坐坐标系，算子右右乘）3.定义三个个中间坐坐标系RQP：坐标系R是由坐标标系i-1绕Xi-1轴偏转i-1得到；坐标系Q是由坐标标系R沿着Xi-1轴平移ai-1得到；坐标系P是由坐标标系Q绕Zi轴旋转i得到；坐标系

10、i是由坐标标系P沿着Zi轴平移di得到。3.1.4操作臂运运动学方方程化简：这里：根据变换换过程：即：变换矩阵阵：RQP3.1.4操作臂运运动学方方程（2）连续连连杆变换换定义了连连杆坐标标系和相相应得连连杆参数数，就能能建立运运动学方方程，坐坐标系N相对于坐坐标系0的变换矩矩阵为：变换矩阵阵是是关于于n个关节变变量的函函数，这些变量量可以通通过放置置在关节节上的传传感器测测得，则则机器人人末端连杆在基基坐标系（笛卡尔尔坐标系系）中的的位置和和姿态就就能描述述出来。3.1.5PUMA 560型机器人人运动学学方程3.1.5PUMA 560型机器人人运动学学方程3.1.5PUMA 560型机器人

11、人运动学学方程1.确定D-H坐标系2.确定各连连杆D-H参数和关关节变量量i-1=沿Xi-1轴,从Zi-1到Zi的距离；ai-1=绕Xi-1轴,从Zi-1到Zi的角度；di=沿Zi轴,从Xi-1到Xi的距离;i=绕Zi轴,从Xi-1旋转到Xi的角度;ii-1ai-1dii10001(90)20-90d22(0)32003(-90)43-90d44(0)509005(0)60-9006(0)3.求出两杆杆间的位位姿矩阵阵3.1.5PUMA 560型机器人人运动学学方程不同的坐坐标系下下D-H矩阵是不不同的，关键是是约定!3.1.5PUMA 560型机器人人运动学学方程4.求末杆的的位姿矩矩阵3.

12、1.5PUMA 560型机器人人运动学学方程3.1.5PUMA 560型机器人人运动学学方程3.1.5PUMA 560型机器人人运动学学方程5.验证与图示情情况一致致。3.2机器人逆运动学学方程实质：已知T6（即已知知矢量n、o、a和p）求解解，从而确确定与末末端位置置有关的的所有关关节的位置-实际工程程问题已知操作作机杆件件的几何何参数，给定操操作机末末端执行行器相对对于参考考坐标系系的期望望位置和和姿态（位姿），操作机能能否使其其末端执执行器达达到这个个预期的的位姿？如能达到到，那么么操作机机有几种不不同形态态可以满满足同样样的条件件？3.2机器人逆逆运动学学可解性多解性求解方法法PUMA

13、560逆解过程程3.2.1可解性解的存在问问题取决决于操作作臂的工作空间间（Workspace）工作空间间：操作作臂末端端执行器器所能到到达的范围（反解存存在的区区域）所有具有有转动和和移动关关节的机机器人系系统，在在一个单单一串联联链中共共有个6自由度或或小于6个自由度度时是可可解的。其通解解是数值值解，不不是解析析表达式式，是利利用数值值迭代原原理求解解得到的的，其计计算量比比求解析析解大得得多。要要使机器器人有解析解，设计时时就要使使机器人人的结构构尽量简简单，而且尽尽量满足足连续三个个旋转关关节的旋旋转轴交交会于一点，或连续三个个关节轴轴互相平平行的充分条条件。（Pieper准则）3.

14、2.2多解性对于给定的位位置与姿姿态，它它具有多多组解。造成机机器人运运动学逆逆解具有有多解是由于解反反三角函函数方程程产生的。对于一一个真实实的机器器人，只只有一组组解与实实际情况况对应， 为此此必须做做出判断断，以选选择合适适的解。通常采采用剔除除多余解解的方法法：为为此必须须做出判判断，以以选择合合适的解解。通常(1)根据关节节运动空空间来选选择合适适的解。(2)选择一个个最接近近的解。(3)根据避障障要求选选择合适适的解。(4)逐级剔除除多余解解。3.2.3求解方法法操作臂全全部求解解方法分分为：封闭解和和数值解解法。数值解解法是利利用迭代代性质求求解，速速度慢。封闭解是我们主主要的求

15、求解方法法。封闭解分分为代数数解和几几何解（1）代数解解3.2.3求解方法法通过比较较，我们们得出四四个方程程：求得：3.2.3求解方法法几何方法法中，首首先将操操作臂的的空间几几何参数数分解成成为平面面几何参参数，然然后应用用平面几几何方法法求出关关节角度度（2）几何解解3.2.4PUMA560机器人逆逆运动学学方程问题：已已知求：各转转角再利用三角代换: 和 ，其中3.2.4PUMA560机器人逆逆运动学学方程首先求1 ，将 等式两端左乘 ，得上式两端的元素（2，4）对应相等，得：把它们代代入代换换前的式式子得：再求3。再令矩矩阵方程程两端的的元素（1,4）和（3,4）分别对对应相等等得：3.2.4PUMA560机器人逆逆运动学学方程两边平方方相加得得：合并同类类项并整整理得：令，再利用用三角代代换可得得：式中正，负号对对应着3的两种可可能解。3.2机器人逆逆运动学学然后求2