高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明(第2课时)

1、高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课时).高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课时).4/4高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课时).高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明（第2课时）讲堂研究新人教A版选修2-2研究一用反证法证明否认性命题“”“”“”“”当要证结论中含有不不是不能够能不存在等词语的命题时，因为此类命题的反面比较详细，适于应用反证法比方证明异面直线，能够假定共面，再把假定作为已知条件推导出矛盾【典型例题1】已知f(xax(a1，证明方程f(x0没有负数根思路分析：此题察看反证法问题，因波及方程的根可从范围方面找

2、寻矛盾证明：假定x0是f(x0的负数根，则x00，x01且ax0，由01可知01，解得x02，这与x00矛盾，故假定不建立，即方程f(x0没有负数根反省反证法的详细步骤是：(1提出假定：作出与求证的结论相反的假定，否认结论；(2推出矛盾：由假定出发，推出与公义、定义、已知定理或题设相矛盾的结果；(3必然结论：出现矛盾是因为“”否认结论所致，由此得出原命题建立研究二用反证法证明独一性命题1“证明独一性”问题的方法：“独一性”“”“包括有一个和除了这个没有其他一个”两层意思证明后一层意思时，采纳直接证法经常会相当困难，所以一般状况下都采纳间接证法，即用反证(“法假定有其他一个”，推出矛盾或同一法(

3、“假定有其他一个”，推出它就是“已知那一个”证明，而用反证法有时比用同一法更方便2“”证明有且只有的问题，需要证明两个命题，即存在性和独一性【典型例题2(上的图象连续不中断，且(】已知函数yfx在区间a，bfx在a，b上单一，fa0，f(b0.求证：函数yf(x在a，b上有且只有一个零点思路分析：由函数零点存在性判判断理易证存在性，对于独一性可用反证法证明证明：因为yf(x的图象在a，b上连续不中断，又f(a0，f(b0，即f(af(b0，故yf(x在区间a，b上必然存在零点x0.0下边用反证法证明只有一个零点x.110假定yf(x在a，b上还存在一个零点x(xx，则f(x10.由函数f(x在

4、a，b上单一且f(a0，f(b0知f(x在a，b上单一递减若x1x0，则f(x1f(x0，即00，矛盾，若x1x0，则f(x1f(x0，即00，矛盾，所以假定不建立，即f(x的零点是独一的研究三用反证法证明“至多”“最少”问题当命题中出现“至多”“最少”等词语时，直接证明不易下手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明经常有的“结论词”与“反设词”以下：结论词反设词结论词反设词对全部x存在某个最罕有一个一个也没有0不建立建立x对随意x存在某个至多有一个最罕有两个0建立不建立x最罕有n个至多有n1个p或qp且q至多有n个最罕有n1个p且qp或q【典型例题3】已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由

5、yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确立的三条抛物线最罕有一条与x轴有两个不一样样的交点思路分析：证明：假定题设中的函数确立的三条抛物线都不与x轴有两个不一样样的交点由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b24ac0，且2(2c24ab0，且3(2a24bc0.同向不等式乞降得4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ac0，(a2(b220，bc(acabc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，所以假定不建立，进而命题得证研究四易错辨析易错点：漏用假定的结论而致使犯错【典型例题4】已知实数p知足不等式(2p1(p20，用反证法证明：对于x的方程x22x5p20无实根错解：假定方程22p知足不等式(2p1(p20，x2x5p0有实根，由已知实数解得2p，而对于x的方程x22x5p20的根的鉴别式4(p242p，p24，0，即对于x的方程x22x5p20无实根错因分析：错解在解题的过程中并没合用到假定的结论，故不是反证法正解：假定方程x22x5p20有实根，则该方程根的鉴别式44(5p20，解得p2或p2.而由已知条件实数p知足不等式(2p1(p20，解得2p，两者无公共部分，所以假定不建立，故对于x的