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1、2015 年新课标卷一 20 题辽宁盘锦 刘扬) 与直线 交于l:y kx a a 0 x2在直角坐标系 xOyC:y4， .MN（）当k0时，分别求 在点 和 处的切线方程；CMN（） 轴上是否存在点 说y kP明理由.试题解析：（）由题设可得M(2 a,a) ，N(2 2,a)，或M( 2 a)，1x2yx y 在 =N a,a).处的到数值为 C在(2 2a,a)x 2 2aa24处的切线方程为 ya a(x2 a)，即ax ya 0.x2故y 在 =-处的切线方程为处的到数值为- C 在(2 2a,a)4x 2 2aaya a(x2 a)，即 ax ya 0.故所求切线方程为 ax y

2、a0ax ya 0或.方法，主要研究第二问的解法（）解法1 存在符合题意的点，y4证明如下：321N设 （0，）为复合题意得点，MxO4 3 2 11234M(x ,y )，N(x ,y )，直线PM，PN 的11122P234斜率分别为k ,k .12将y a代入 C 得方程整理得 . x2 4 4a 0 x x 4k,x x 4a.121 2y b y b y x y x b(x x )由题意得k.k kk 0 121 22 112xxx x1211121 22 x (abx x ) 2k(4a)（ab)4k=1 0,所以.b a 121x xx x1 21 2所以P 符合题意.a)xx解

3、法二 设点M2N（2（，），由题意可知：x， ）（x ， ）142412x214x22bb 40，所以，即x 4b)x（ x 4b)x 0（ 22xx122112，所以（x x -b)0，由解法一 xx ，所以x x x x -b) 0121 21 21 2P 符合题意a)b a可以减少计算量，避免联立方程组，提高解题效率，可以尝试.解法三 如图：由对称性可知点M 关y4于 y 轴的对称点Q 直线NP 和抛物线3的21NMQx交点 .O1234P设（xyN(x ，y Q(-x，y）112211（0，），P Q N 三点共线，y b y b,以下同解法一.21xx21解法四：（xyN(x ，y Q(-x，y）112211过点NQ 的直线方程可以设为 yy2 xx，令，解得x 02y yx x1212y x y x （ a)x ( a)x 2 x=- .即直线和y 轴交于ay a1 21 21 11221x xx xx x121212点 P(0,b).解法三，四从对称性出发，利用整体代换的思想，简化运算，解法四利用直线过定点问题求出点P.本题可以推广一般结论：抛物线C:，点 A(-m,0)，设

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