随机过程讲义-(第二章)汇总课件

1、随机过程讲义（第二章）华南理工大学数学科学学院何春雄machxhe2022/10/161随机过程讲义（第二章）华南理工大学数学科学学院2022/1第2章：平稳过程内容提要1，平稳过程的概念2，平稳过程的相关函数的性质3，平稳过程的各态历经性4，平稳过程的(功率)谱密度5，线性系统中的平稳过程2022/10/162第2章：平稳过程内容提要2022/10/1121.1,平稳过程的概念平稳过程的直观含义严(强)平稳的定义(P.43)宽(弱)平稳的定义(P.45)注:1)严(强)平稳与宽(弱)平稳的关系; 2)正态过程,严平稳宽平稳; 3)以后,除特别申明,平稳过程指宽平稳.2022/10/1631.

2、1,平稳过程的概念平稳过程的直观含义2022/10/111.2,平稳过程的例子平稳过程的例子. 例1,离散白噪声; 例2,离散白噪声的滑动和(有限、无限); 例3,随机相位正弦波; 例4,独立随机变量的线性组合; 例5,方波信号; 例6,复平稳过程(定义,相关函数,协方差函数).2022/10/1641.2,平稳过程的例子平稳过程的例子.2022/10/1142.1, 相关函数的性质(1)自相关函数的性质(书本上只对实过程)注:平稳过程均方连续自相关函数在0处连续.2022/10/1652.1, 相关函数的性质(1)自相关函数的性质(书本上只对实2.1, 相关函数的性质(2)平稳相关(互平稳)

3、的定义(书本上只对实过程) 互相关函数: 互协方差函数: 互相关函数的性质 注:互协方差函数也有此二性质.2022/10/1662.1, 相关函数的性质(2)平稳相关(互平稳)的定义(书本3.1,各态历经性(1)各态历经性的概念问题的提出: 数理统计总体期望的矩法估计,即用子样均值估计总体均值.在那里,子样是所谓“简单随机子样”. 若随机过程是平稳的,即EX(t)MX,如何估计MX? 能否用过程在不同时间点上的n个观测值的算术均值来估计?或过程满足何种条件才行?2022/10/1673.1,各态历经性(1)各态历经性的概念2022/10/113.1,各态历经性(2)记号:平稳过程X在区间(-,

4、)上的时间平均:平稳过程X在区间(-,)上的时间相关函数:2022/10/1683.1,各态历经性(2)记号:2022/10/1183.1,各态历经性(3)各态历经性的定义: (时间平均=空间平均)1)称过程X具有数学期望的各态历经性,如果: P = MX=1.2)称过程X具有相关函数的各态历经性,如果: P = RX()=1.3)例子: 例1, 1例3续,具有各态历经性. 例2,不是单点或两点分布的随机变量不具各态历经性.2022/10/1693.1,各态历经性(3)各态历经性的定义: (时间平均=空间3.1,各态历经性(4)各态历经性的判别定理 1. (实过程的情形)(P.59-61) (

5、具有数学期望的各态历经性的判别)注:平稳过程X具有数学期望的各态历经性 证(参照教材).推论.(一个充分条件); 1例4续.2022/10/16103.1,各态历经性(4)各态历经性的判别2022/10/113.1,各态历经性(5)定理 2. (实过程的情形)(P.62-63) (具有相关函数的各态历经性的判别)注:平稳过程X具有数学期望的各态历经性 定理 3,定理 4:平行于定理1和定理2,(0,).定理 5,定理 6:平行于定理1和定理2,离散时间.2022/10/16113.1,各态历经性(5)定理 2. (实过程的情形)(P.64.1,平稳过程的(功率)谱密度相关函数的谱分解维纳-辛钦

6、(Wienner-) 定理(P.67) (连续平稳过程相关函数的谱分解)注:离散时间的情形谱分解定理(P.68) 谱函数;谱密度; 反演.例子.例1,离散白噪声的谱密度. 例2,例3,离散白噪声的有限、无限滑动和.2022/10/16124.1,平稳过程的(功率)谱密度相关函数的谱分解2022/14.2,谱密度的物理意义(1)确定性信号的功率谱密度(P.71)1)能量有限的情形 谱分解公式;Parseval等式;谱密度.2)能量无穷的情形 谱分解公式;Parseval等式;功率谱密度.2022/10/16134.2,谱密度的物理意义(1)确定性信号的功率谱密度(P.74.2,谱密度的物理意义(

7、2)平稳随机信号的功率谱密度(P.73)1)截断的Fourier变换: 2) Parseval等式: 3)功率谱密度:2022/10/16144.2,谱密度的物理意义(2)平稳随机信号的功率谱密度(P.4.3,谱密度的性质与计算(1)功率谱密度与相关函数的关系(证明见P.75)谱密度的性质 (注:过程平稳时,平均功率:RX(0) 如果过程是实值的,则谱密度函数是实的、非负的、偶函数.(课本证明有误,应按定义直接证,见下页).2022/10/16154.3,谱密度的性质与计算(1)功率谱密度与相关函数的关系(4.3,谱密度的性质与计算(2)谱密度性质的证明 实的和非负的显然. 另外 2022/1

8、0/16164.3,谱密度的性质与计算(2)谱密度性质的证明2022/14.3,谱密度的性质与计算(3)于是单边功率谱密度2022/10/16174.3,谱密度的性质与计算(3)于是2022/10/11174.3,谱密度的性质与计算(4)关于-函数(泛函)(比较教材P.77)2022/10/16184.3,谱密度的性质与计算(4)关于-函数(泛函)(比较教4.3,谱密度的性质与计算(5)关于-函数(泛函)(续)即约定了-函数的Fourier变换和逆变换.(表2-1)2022/10/16194.3,谱密度的性质与计算(5)关于-函数(泛函)(续)24.3,谱密度的性质与计算(6)例子.例4,例5

9、(白噪声的谱密度与相关函数) 例6,余弦函数的Fourier变换.注:上述例中的F-变换和逆变换只是形式上的.例7,方波信号的谱密度函数.2022/10/16204.3,谱密度的性质与计算(6)例子.例4,例5(白噪声的谱4.3,谱密度的性质与计算(7)留数的计算2022/10/16214.3,谱密度的性质与计算(7)留数的计算2022/10/14.3,谱密度的性质与计算(8)例8,有理谱密度的相关函数和平均功率(RX(0).Fourier变换的性质(P.82)(线性性和卷积性质)利用Fourier变换的性质的计算的例子. 例9,例10(例8的另一种算法)注:有理谱密度(P.83).2022/

10、10/16224.3,谱密度的性质与计算(8)例8,有理谱密度的相关函数和4.4,互谱密度及其性质(1)平稳相关过程互谱密度的定义(形式上的)互谱密度的性质: (1) Hermite性; (2) 实部是实的偶函数,虚部是实的奇函数; (3) Cauchy-Schwartz不等式.(证明:Parseval等式)注: (1),(2)只对实过程成立.例11,平稳相关过程和的自谱密度函数.2022/10/16234.4,互谱密度及其性质(1)平稳相关过程互谱密度的定义(形5,线性系统中的平稳过程问题的提出 设有一个线性时不变系统L: y(t)=Lx(t).现以一个平稳过程X作为系统输入,输出过程记为Y

11、. 试问:1) Y是否为平稳过程? 2) RY(t)=?,RXY(t)=? (时域上的分析) 3) SY()=?,SXY()=?(频域上的分析)2022/10/16245,线性系统中的平稳过程问题的提出2022/10/11245.1,线性时不变系统(1)线性时不变系统 1) 线性性: 2) 时不变性:2022/10/16255.1,线性时不变系统(1)线性时不变系统2022/10/15.1,线性时不变系统(2)常系数线性常微分方程所确定的系统 两边取Laplace变换得系统的传递函数H(p);对H(p)作逆Laplace变换得系统的脉冲响应函数h(t).2022/10/16265.1,线性时不变系统(2)常系数线性常微分方程所确定的系统5.1,线性时不变系统(3)于是:注:物理上可实现,稳定系统;频率响应函数H(i). 例 1,电阻、电容系统(P.95).2022/10/16275.1,线性时不变系统(3)于是:2022/10/11275.2,线性时不变系统的输出定理 1,系统输出的自相关函数.定理 2,