三角形四心的向量表格示

1、从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示平面几何中中三角形的四“心”,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”有崭新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵便性有更清楚的认识。一从静止的角度看向量的四“心”已知点是三角形uuuruuuruuurr）OABC所在平面上一点，若OAOBOC0，则O是三角形ABC的（1（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心uuuruuuruuurruuuruuuruuuruuuruuur解析：若OAOBOC0，则OAOBOC，设以OA、OB为邻边

2、的平行四边形为OACB,OC与ABuuuruuuruuuuruuuruuuur交于点D,则D为AB的中点,由OAOBOC得,OCOC,即、四点共线,故CD为ABCCODC的中线,所以O在边AB的中线上,同理可证,O在边AC的中线上,O在边BC的中线上所以O是三角形ABC的重心.OuuruuuruuuruuuruuuruurABC2.已知点是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOAO是三角形的（）,则（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur0,所以OBCA,同理可解析:由OAOBOBOC得,OB(OAOC)0,即OB

3、CA证:OCAB,OABC,所以O是ABC的垂心.uuruuuruuur3.已知点O是三角形所在平面上一点，若aOAbOBcOC0,则O是三角形ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心uuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur0.所解析:若aOAbOBcOC0,又由于OBOAAB,OCOAAC,则(abc)OAbABcACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurbcABACABAC以AO,由于AB和AC方向上的单位向量,设abcuuuruuuruuur与uuur分别表示|AB|AC|AB|AC|uuurAPuuur

4、uuurABACuuur+uuur|AB|AC|uuuruuuruuuruuuruuurBAC，,则AP均分BAC.又AO、AP共线，知AO均分BAC。同理可证，BO均分uuurCO均分BAC。从而O是ABC的内心。uuur2uuur2uuur24已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOC，则O是三角形ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2uuur2uuuruuuruuur解析：由于OAOBOC，所以OAOBOC，即OAOBOC，所以O是ABC的外心。二从运动的角度看三角形的四“心”1已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面

5、内不共线三点，动点P满足uuuruuuruuuruuurOPOA(ABAC),R，则动点P必然经过ABC的（）（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解:OPOA(ABAC)可得AP(ABAC)由于ABAC表示以AB,AC为邻边的平行,四边形的对角线,所以点P在边BC的中线所在直线上,故动点P的轨迹必然经过ABC的重心.2已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足uuuruuuruuuruuurABAC,R，则动点P必然经过ABC的（）OPOAuuur+uuur|AB|AC|（A）内

6、心（B）外心（C）重心（D）垂心uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurABACABACABAC解析：由OPOAuuur+uuur得，APuuur+uuur。由于uuur+uuur表|AB|AC|AB|AC|AB|AC|示BAC的均分线所在的方向向量。故当R时，动点则动点P必然经过ABC的内心。已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足uuuruuuruuuruuuruuurAB+uuurACR，则动点P必然经过ABC的（OPOA,）|AB|cosB|AC|cosC（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心uuuruuuruuuruuuru

7、uuruuuruuuruuurAB+uuurACuuurAB+uuurAC解析:由OPOA得，AP。|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur由于ABACABBCACBC以uuur+uuurBCuuuruuurBCBC0,所|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosCuuuruuur0。即点P的轨迹是过点A且垂直于BC的直线，故动点P的轨迹必然经过ABC的垂心。APBC已知O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足uuuruuuruuuruuuruuurOBOCuuurAB+uuurAC,R，则动点P必然经过ABC的（OP）2|AB|cosB|AC|cosC（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解析:设BC的中点为为D,则OBOCOBOCuuurAB+uuurACOD,所以由OP22|AB|cosB|AC|cosCuuuruuuruuuruuuruuuruuurAB+uuurACR时,uuurAB+uuurAC可得DP,当表示垂直于|AB|cosB|AC|cosC|AB|