04第四节极限的运算

1、第四节极限的运算本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则.在下面的讨论中，记号lim”下面没有表明自变量的变化过程，是指对XT X0和XT oO以及单则极限均成立.但在论证时，只证明了 XT x0的情形.分布图示 TOC o 1-5 h z 极限的运算法则例1例4例6例例4例6例9例12例14例17定理2例5极限存在准则例7sinx lim-=1例 8Xo x,例10例11(1今 lim 1 =e例13)二例15例 16内容小结课堂练习 习题1- 4内容要点一、极限的运算法则1、极限的四则运算：定理1推论1推论22、复合函数的极限运算法则：定理2二、极限存在准则夹逼准则单调有界准则

2、三、两个重要极限：sin x1. lim=1；x)0X一 例题选讲极限的四则运算例 1(E01)求 lim(x23x+5) x )2解 lim (x2-3x 5) = lim x2- lim 3x lim 5 = (lim x)2 - 3 lim x lim 5 = 22-32， 5 = 3x 2x 2x )2x 2x 2xi2 x 2注：设 f (x) =a0 xn+a1xn* + .+an，则有lim f(x) =a0(lim x)nxXox 沔a1(lim x)njL . an =aox；a1xlim f(x) =a0(lim x)nxXox 沔x /o,2x -9 -例 2 (E02)

3、 i例 2()求 lim 25x 7x 2x 3l i m_2x2 9xX_7x_2,l i m5x2 7x5-92f_ 2 32 _92T 5 32 一 7 3-2 =五J3注：设 f(x)=EG),且 Q(x)#0,则有Q(x)lim P(x) (lim P(x) (X)lim Q(x)x X-也=f (x。).Q(xo)顷当Q （x。）=0时，贝U商的法则不能应用，一，、x2-1例 3 （E03）求 lim、（0型）.先约去不为零的无穷小因子x -1（0型）.先约去不为零的无穷小因子x -1后再求 0解XT1时，分子和分母的极限都是零lim =1响 x 1)(x=响口(消去零因子法)=L

4、x 1x 2x -3 x 1 (x 3)(x T) x=x4例 4（E04）计算 lim.x 5 -4x 4解当XT 4时，（VA5-3）TO,不能直接使用商的极限运算法则但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子x lim :. -x lim :. -4- x . x 5 -44=lim IE 5 _3)，x 5一-3)(、x 5 3)=li-mx-4-)-(-x 翌x4=lim( x 5 3)x 4=lim x 5 3=6.x :4例5 （E05）计算lim sin 2x.xT解令u =2x,则函数y=sin2x可视为由y = sinu , u = 2x构成的复合函数.因为 XT 0,u

5、=2XT 0,且 UT 0 时 sinT 0,所以lim sin 2x = lim sin u = 0.x 0 x0无穷小因子分出法：以分母中自变量的最高次藉除分子和分母,以分出无穷小，然后再求极限的方法.1例 6 (E06)计算 lim 2x.x_)：:U li果，=0年 lim=1, xu所以l i m2x=l i m2u=1.x : u )0例 7 (E07)求 lim cosx.n 0解因为 0 1cosx = 2sin x222 2 ：2解故由准则I,得lim(1 _cosx) = 0,lim cosx = 1.n.0例8 (E08)求tanx 用牛limX J0 xtanxlim 0 x=lim 1 sin x =lim lim