二次函数与三角形最大面积的种求法

1、精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理二次函数与三角形最大面积的3种求法一解答题(共7小题)(2012?广西)已知抛物线y二ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0，3)求抛物线的解析式；在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2013?茂名)如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，3已知点B的坐标为(3，0).求a的值和抛物线的顶点坐标；分别连接AC、BC.在x轴

2、下方的抛物线上求一点皿，使厶AMC与厶ABC的面积相等；设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CN|.探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由.(2011?茂名)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线对称轴I与x轴相交于点M.求抛物线的解析式和对称轴；点P在抛物线上，且以A、0、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC.探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点2使厶NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在

3、，请你说明理由.（2012?黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0）,C（5,0）,抛物线的对称轴I与x轴相交于点M.（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x5）上的一点，若以A、0、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC,探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点”，使厶NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线I与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），

4、C点坐标是（4，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点。，使厶BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求ACE的最大面积及E点的坐标.（2009?江津区）如图，抛物线y=-X2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两占八、（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点卩，使厶PBC的面积最大？若

5、存在，求出点P的坐标及厶PBC的面积最大值；若没有，请说明理由.7.如图，已知二次函数y二ax2+bx+c经过点A(1,0),C(0,3),且对称轴为直线x=-1.1)求二次函数的表达式；(2)在抛物线上是否存在点卩，使厶PAB得面积为10,请写出所有点P的坐标.二次函数与三角形最大面积的3种求法参考答案与试题解析一解答题(共7小题)1.(2012?广解：(1)T抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A(3,0)和点B(0,3),西)解答：，解得a=-1,c=3,U=3抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.(2)对称轴为x=1,2a令y=-x2+2x+3=0,解得X=3,x2=-1,C(-1

6、,0).如图1所示，连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小.(3k+b=0tb=3解得k=-1,b=3,设直线AB的解析式为y=kx+b，由A(3,(3k+b=0tb=3解得k=-1,b=3,直线AB解析式为y=-x+3.当x=1时，y=2,D点坐标为(1,2).(3)结论：存在.如图2所示，设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点，过点P作PN丄x轴于点N,则ON=x,PN=y,AN=OA-ON=3-x.SaABP=S梯形NOB+SAPNA-SAAOB4(OB+PN)?ON+丄PN?AN-“A?OB222P(P(x,y

7、)在抛物线上，y=-x2+2x+3,代入上式得:仏ABP=|(x+y)-弓=-弓(x2-3x)=-乡(X-号)2号,当X誇时,QABP取得最大值.当x=/时，y=-x2+2x+3=,P(豊，).TOC o 1-5 h z2424一31所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P,使得ABP的面积最大；P点的坐标为(吕丄24精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理2（2013?茂名）解答：解：（1）T抛物线y=ax2-gx+2经过点B（3,0）,9a-Ax3+2=0，解得a=-吉，y=-吉x2_寺+2，-y=-丄x2-x+2=-（x2+3x）+2=-（x+*）2+,939-一.顶点坐标为（-总3；24

8、（2）v抛物线y=-gx2-gx+2的对称轴为直线x=-弓,与x轴交于点A和点B,点B的坐标为（3,0），点A的坐标为（-6,0）.又:当x=0时，y=2,C点坐标为（0,2）.设直线AC的解析式为y=kx+b,，解得直线AC的解析式为yx+2.3SAMC=S，解得直线AC的解析式为yx+2.3SAMC=S4ABC，点B与点M到AC的距离相等,又:点B与点M都在AC的下方,BMIIAC，设直线BM的解析式为y=gx+n,将点B（3,0）代入，得gx3+n=0,J解得n=-1,直线BM的解析式为y二Lx-1.31d-，解得，M点的坐标是（-9,-4）；（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=

9、IAN-CNI最大.理由如下：抛物线y=-gx2-春+2与x轴交于点A和点B，JJ七二3严二O的值精心整理点A和点B关于抛物线的对称轴对称.连接BC并延长，交直线x=-鲁于点N,连接AN,贝9AN=BN，此时d=IAN-CNI=IBN-CNI=BC最大.r3irH-t=0H=2设直线BC的解析式为y=mx+t,将B(3,0),C(0,r3irH-t=0H=2直线BC的解析式为y=-Zx+2,3当x=-纟时，y=-gx(-g)+2=3,232点N的坐标为(-号，3),d的最大值为BC=/+护=伍.3.(2011?茂名)解答：解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5),4

10、把点A(0,4)代入上式得：a=5y=：(x-1)(x-5)=x2x+4=(x-3)2-.55555抛物线的对称轴是：x=3；P点坐标为：(6,4),由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又点P的坐标中x5,MP2,AP2；以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况在RtAAOM中,AM=_；0梓+况=S+3匚5，抛物线对称轴过点M,在抛物线x5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6；故以A、0、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成

11、立,即P(64)；在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使厶NAC面积最大.精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理精心整理设N点的横坐标为t,此时点N(t,t2-t+4)(0VtV5),55过点N作NGIIy轴交AC于G；作AM丄NG于M,由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为：y=x+4；5AA把x=t代入得：y=1+4,则G(t,1+4),此时：NG=-此时：NG=-t2-t+4)=春牝555AM+CF=COAM+CF=CO,由t=，得：yji2-小n4c由t=，得：yji2-小n4cf寺G?OCWX5=2t2+10t=2(t)25,MP2,AP2；以1、

12、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,在RtAAOM中，AM=h梓+2=；4?+/=5,精心整理精心整理-1-1精心整理精心整理精心整理精心整理抛物线对称轴过点M,在抛物线x5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,即PM=5，此时点P横坐标为6,即AP=6；故以A、0、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,即P(6，4)；(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点”，使厶NAC面积最大.TOC o 1-5 h z94设N点的横坐标为t,此时点N(t,t2-t+4)(0VtV5), HYPERLINK l

13、bookmark6 o Current Document 5过点N作NGIIy轴交AC于G,作AM丄NG于M,由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为：y=-4把x=t代入y=-=x+4，则可得G（t,-匸t+4）,5此时：NG=-x+4-（耳2t+4）=-t2+4t, HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 5555AM+CE=CO,1ACN=SAang+Sacgn=|aMxNG冷NGxCE冷NG?0C=-|（-岸t2+4t）x5=-2t2+l0t=-2（t-舟）2+今,当上=时，CAN面积的最大值为圏，22由t=，得：yt2-t+4

14、=-3,255N（舟，-3）.（2013?新疆）解答：解：(1)T抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0),点C(4,3),.3=0乜,:16a+4b+3=3解得a=l解得2-4所以，抛物线的解析式为y=x2-4x+3；(2)T点A、B关于对称轴对称，点D为AC与对称轴的交点时BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b(kH0),k+b=04k+b=3解得k=l解得b=-r所以，直线AC的解析式为y=x-1,-y=x2-4x+3=(x-2)2-1,抛物线的对称轴为直线x=2,当x=2时，y=2-1=1,抛物线对称轴上存在点D(2,1),使厶BCD的周长最小;(3)如图，设过点E与直

15、线AC平行线的直线为y=x+m,设过点E的直线与汀由交点为F,设过点E的直线与汀由交点为F,则F今,0),又：消掉y得,x2-5x+3-m=0,=（-5）2-4x1x（3-m）=0,即m=-时，点E到AC的距离最大，ACE的面积最大,4此时x峙,y峙-普=-,点E的坐标为（5,-鱼）,TOC o 1-5 h z24AF=：-1,44T直线AC的解析式为y=x-1,ZCAB=45,点F到AC的距离为AF?sin45428ACE的最大面积寺亟乎育，此时E点坐标为（，6.(2009?江津区)解答：解：(1)将A(1,0),B(-3,0)代y=-x2+bx+c中得-l+b+c=n-l+b+c=n-9-3b（2分）（3分）I、V抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；（4分）（2）存在（5分）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时AQC周长最小Ty=-x2-2x+3C的坐标为：（0,3）直线BC解析式为：y=x+3（6分）Q点坐标即为解得z=-解得z=-1y=2Q(-1,2)；(7分)精心整理（3）存在（8分）理由如下：设P点（x,-x2-2x+3）（-3x0）vS=s-s=s-BPC=S四边形BPCOSBOC=S四边形BPCO?右S四边形BPCO有最大值，则SaBPC就取大，S四边形bpco=Sabpe+S