因式分解的应用

1、PAGE6因式分解的应用我们知道，因式分解是整式乘法的逆向变形，是代数恒等变形的一种最基本的、行之有效的方法之一，在许多的有理数计算、代数式的化简、求值、解方程、不等式及恒等式的证明、几何等诸多方面起着重要作用下面举例说明一、数字计算例1计算：分析由于数字较大，但考虑分母中的222可写成2121，这样可直接运用平方差公式分解因式，再提取公因式后进行适当的数字变形即可求解解说明这道题要不是想到因式分解，若要硬性计算，就连计算器都有一点点的麻烦由此我们学习了因式分解以后一定要注意它的灵活运用，使问题的求解难度降到最低限度二、求值例2一个正整数，若加上100是一个完全平方数；若加上168，则是另一个

2、完全平方数，求这个正整数分析假如将这个正整数设出来为a，加上100后的完全平方数是n2，加上168后的另一个完全平方数是m2，这样就可以利用三个未知数列出两个方程，考虑这三个未知数都是正整数，可利用因式分解求解解设这个正整数为a，两个完全平方数分别为m、n，则根据题意，得即m2n268因为m2n2（mn）（mn）12217，而m、n均为正整数，所以（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）从而所以可求得a156即这个正整数是156说明三个未知数，两个方程，若硬性求其解，确有一定的困难，但若考虑这三个未知数的特殊性，利用因式分解进行适当的变形，求解也就不太难了例3若多项式2y2y2y6可分解为两个

3、一次因式的积的形式，求的值分析由于已知多项式可以分解成两个一次因式的积的形式，考虑2y2y2（2y）（y），于是可以设两个一次式分别为（2ym）、（yn），这样可利用恒等式求解解根据题意可设2y2y2y6（2ym）（yn）即2y2y2y62y2y2（mn）（m2n）ymn，则有即7说明本题是待定系数法在因式分解中的具体运用三、整除性问题例4已知S12223242526299210021012，求S被103整除的余数分析要求出S被103整除的余数，就必须求出S的具体数值，再看S的形式可以通过因式分解从中找到数字间的规律即可解因为S122232425262992100210121012100299

4、2982972962726252423222120229719313951101515151，而5151103501，所以S被103整除的余数为1说明要不是通过因式分解求得S的值，就难以估算S被103整除的余数，所以对于处理含有“”的数字计算时，我们不妨通过因式分解化简，并从中找到其数字规律四、判断三角形的形状例5已知a、b、c为ABC的三边，且a2bcacb20试判断ABC的形状分析要判断三角形的形状，给定的是边a、b、c，于是我们从边入手寻找三边a、b、c之间的关系即能判断其形状解因为a2bcacb2（a2b2）（bcac）（ab）（ab）c（ba）（ab）（abc）0，而a、b、c为AB

5、C的三边，所以abc0，即只有ab0，所以ab，所以ABC的形状是等腰三角形说明判断三角形的形状，若从角出发，可考虑是否是直角三角形和斜三角形斜三角形又可分为锐角三角形和钝角三角形；若从边出发，则考虑是否是不等边三角形和等腰三角形等腰三角形又可分为底和腰不等的等腰三角形和等边三角形五、解方程例6求方程424y3y25的整数解分析观察方程中有三项二次项和一个5这个常数项，且424y3y22y23y，由于、y是整数，所以515（1）（5），这样就可以构造二元一次方程组求出、y解将原方程的左边分解因式，得2y23y5因为、y是整数，所以因式2y与23y也均为整数所以5也只能分解为15或（1）（5）所以有或或或解得即共有四组解说明多项式的因式分解是一个极为有用的数学解题工具，有着广泛的应用，在