(新高考)高考数学一轮复习课件第7章§7.5《空间直线、平面的垂直》(含解析)

1、第七章考试要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.落实主干知识探究核心题型课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面内的 直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.任意一条(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直l性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行ab两条相交直线_mnP_mnlmln_ab2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的

2、角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0.(2)范围：_.射影903.二面角(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角；两个半平面(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0，.垂直于棱4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的 ，那么这

3、两个平面垂直性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直l_aa垂线交线_alal1.三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若直线a平面，直线b平面，则直线a

4、直线b.()1.(多选)若平面平面，且l，则下列命题中正确的是A.平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线B.平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线C.平面内的任一条直线必垂直于平面D.过平面内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面A项，如图，a，b，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错；B项，如图，a，作bl，则b，则内所有与b平行的直线都与a垂直，故B正确；C项，如图，a，但a与l不垂直，则a与不垂直，故C错；D项，如图，由两平面垂直的性质定理可知D正确.2.“直线a与平面内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面垂直”的_条件.必要不充分3.在三棱锥PABC中，点P在平

5、面ABC上的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，OAOBOC，即O为ABC的外心.外图1(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.垂如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为AB

6、C的垂心.图2TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1(2021全国甲卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，BFA1B1.(1)求三棱锥FEBC的体积；题型一直线与平面垂直的判定与性质如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EMAB，ABBC2，ABA1B1，由BFA1B1得EMBF，又EMCF，BFCFF，所以EM平面BCF，(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BFDE.连接A1E，B1M，由(1)知EMA1B1，所以ED在平面EMB1A1内.在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，所以

7、由平面几何知识可得BFB1M，又BFA1B1，B1MA1B1B1，所以BF平面EMB1A1，又DE平面EMB1A1，所以BFDE.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，AB平面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MNAB，MNPC.证明：AEMN.教师备选AB平面PAD，AE平面PAD，AEAB，又ABCD，AECD.ADAP，E是PD的中点，AEPD.又CDPDD，CD，PD平面PCD，AE平面PCD.MNAB，ABCD，MNCD.又MNPC，PCCDC，PC，CD平面PCD，MN平面PCD，AEMN.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和

8、平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.跟踪训练1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点，证明：(1)CDAE；在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)PD平面ABE.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCC

9、DC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，PA，AD平面PAD，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.例2(2021全国乙卷)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM.(1)证明：平面PAM平面PBD；题型二平面与平面垂直的判定与性质PD平面ABCD，AM平面ABCD，PDAM.PBAM，且PBPDP，PB平面PBD，PD平面PBD，AM平面PBD.又AM平面PAM，平面PAM平面PBD.(2)若PDDC1，求四棱锥

10、PABCD的体积.由题意知ABDC1.AM平面PBD，BD平面PBD，AMBD，由BAMMAD90，MADADB90，得BAMADB，则四棱锥PABCD的体积(2020全国)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC90.(1)证明：平面PAB平面PAC；教师备选D为圆锥顶点，O为底面圆心，OD平面ABC，P在DO上，OAOBOC，PAPBPC，ABC是圆内接正三角形，ACBC，PACPBC，APCBPC90，即PBPC，PAPC，PAPBP，PC平面PAB，PC平面PAC，平面PAB平面PAC.设圆锥的母线为l，底面半径为r，OD2l2r22

11、，解得r1，在等腰直角三角形APC中，在RtPAO中，思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义.面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性质的应用面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.跟踪训练2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E为AD的中点.(1)求证：PEBC；因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.(2)求证：平面PAB平面PCD.因为底面ABCD为矩形，所以AB

12、AD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.例3如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体，AD1A160，AD14，点P是AD1上的动点.题型三垂直关系的综合应用(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA平面AA1D1D，并证明你的结论；BA平面AA1D1D，BA平面BPA，平面BPA平面AA1D1D，与P点位置无关.(2)当P为AD1的中点时，求异面直线A

13、A1与B1P所成的角的余弦值；过点P作PEA1D1，垂足为E，连接B1E(如图)，则PEAA1，B1PE或其补角是异面直线AA1与B1P所成的角.在RtAA1D1中，AD1A160，A1AD130，在RtB1PE中，(3)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值.由(1)知，B1A1平面AA1D1，B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角，当A1P最小时，tanB1PA1最大，这时A1PAD1，如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60，SAD为正三角形.侧面SAD底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.(1)求证：AF平面SEC；教师备选如图，取SC

14、的中点G，连接FG，EG，F，G分别是SB，SC的中点，四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，FGAE，FGAE，四边形AFGE是平行四边形，AFEG，又AF平面SEC，EG平面SEC，AF平面SEC.(2)求证：平面ASB平面CSB；SAD是等边三角形，E是AD的中点，SEAD，四边形ABCD是菱形，ABC60，ACD是等边三角形，又E是AD的中点，ADCE，又SECEE，SE，CE平面SEC，AD平面SEC，又EG平面SEC，ADEG，又四边形AFGE是平行四边形，四边形AFGE是矩形，AFFG，又SAAB，F是SB的中点，AFSB，又FGSBF，FG平面SBC，SB平面SBC，AF平面S

15、BC，又AF平面ASB，平面ASB平面CSB.存在点M满足题意.假设在棱SB上存在点M，使得BD平面MAC，连接MO，BE，则BDOM，四边形ABCD是边长为2的菱形，ABC60，SAD为正三角形，侧面SAD底面ABCD，侧面SAD底面ABCDAD，SE平面SAD，SE平面ABCD，SEBE，思维升华(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.跟踪训练3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为四边形，ABD是边长为2的正三角形，BCCD，BCCD，PD

16、AB，平面PBD平面ABCD.(1)求证：PD平面ABCD；如图所示，E为BD的中点，连接AE，ABD是正三角形，则AEBD.平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，AE平面ABCD，故AE平面PBD，PD平面PBD，故AEPD.PDAB，AEABA，AE，AB平面ABCD，故PD平面ABCD.过点E作EFPB于点F，连接CF，CE，因为BCCD，BCCD，E为BD的中点，所以ECBD，所以EC平面PBD.又PB平面PBD，所以ECPB，又ECEFE，EC，EF平面EFC，所以PB平面EFC，又因为CF平面EFC，所以CFPB，故EFC为二面角CPBD的平面角.KESHIJINGL

17、IAN 课时精练1.(2020新高考全国)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为基础保分练12345678910111213141516A.20 B.40 C.50 D.90如图所示，O为赤道平面，O1为A点处的日晷面所在的平面，12345678910111213141516由点A处的纬度为北纬40可知OAO140，又点A处

18、的水平面与OA垂直，晷针AC与O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40.2.已知m，l是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.ml，m，l B.ml，l，mC.ml，m，l D.l，ml，m对于A，有可能出现，平行这种情况，故A错误；对于B，会出现平面 ，相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，ml，m，l，故C错误；对于D，l，mlm，又由m，故D正确.123456789101112131415163.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部由ACAB，ACB

19、C1，ABBC1B，AB，BC1平面ABC1，得AC平面ABC1.因为AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.123456789101112131415164.如图，PA圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AC3，PA4，BC5，则PB与平面PAC所成角的正弦值为12345678910111213141516根据题意，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则BCAC，又由PA圆O所在平面，则PABC，因为PAACA，PA，AC平面PAC，则BC平面PAC，故BPC是PB与平面PAC所成的角，在ACB中，AC3，BC5，ACB

20、C，12345678910111213141516123456789101112131415165.(多选)(2022武汉调研)如图，AC2R为圆O的直径，PCA45，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，ASPC于S，ANPB于N，则下列结论正确的是A.平面ANS平面PBCB.平面ANS平面PABC.平面PAB平面PBCD.平面ABC平面PAC12345678910111213141516PA平面ABC，PA平面PAC，平面ABC平面PAC，D正确；BC平面ABC，PABC，又AC为圆O的直径，B为圆周上不与点A，C重合的点，ABBC，又PAABA，PA，AB平面PAB，

21、BC平面PAB，又BC平面PBC，12345678910111213141516平面PAB平面PBC，C正确；12345678910111213141516又AN平面PAB，BCAN，又ANPB，BCPBB，BC，PB平面PBC，AN平面PBC，又PC平面PBC，ANPC，又PCAS，ASANA，12345678910111213141516AS，AN平面ANS，PC平面ANS，又PC平面PBC，平面ANS平面PBC，A正确.6.(多选)(2021新高考全国)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MNOP的是1234567891011121314151

22、6设正方体的棱长为2，对于A，如图(1)所示，连接AC，则MNAC，12345678910111213141516图(1)故POC(或其补角)为异面直线OP，MN所成的角，故MNOP不成立，故A错误.对于B，如图(2)所示，取AN的中点B，连接PB，OB，12345678910111213141516图(2)所以OP2PB2OB2，所以OPPB，又PBMN，所以OPMN.对于C，如图(3)所示，取AD的中点C，连接OC，PC，BD，因为P，C分别是DE，AD的中点，所以CPBD，又OC平面ADEB，BD平面ADEB，图(3)所以OCBD，又OCCPC，OC，CP平面OCP，所以BD平面OCP，

23、所以BDOP，又BDMN，所以OPMN.12345678910111213141516对于D，如图(4)所示，取AN的中点B，ME的中点F，连接PB，BF，OF，若OPMN，又OF平面MENA，所以OFMN，所以MN平面OFBP，图(4)所以MNBF，显然，MN与BF不可能垂直，所以OPMN不成立.7.已知ABC在平面内，A90，DA平面，则直线CA与DB的位置关系是_.12345678910111213141516垂直DA平面，CA平面，DACA，在ABC中，A90，ABCA，且DABAA，DA，BA平面DAB，CA平面DAB，又DB平面DAB，CADB.8.如图，在三棱柱ABCA1B1C1

24、中，已知AA1平面ABC，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)12345678910111213141516A1C1B1C1当底面A1B1C1满足条件A1C1B1C1时，有AB1BC1.理由如下：AA1平面ABC，BCCC1，四边形BCC1B1是正方形，BC1B1C，CC1AA1，A1C1CC1.又A1C1B1C1，CC1B1C1C1，CC1，B1C1平面BCC1B1，A1C1平面BCC1B1，12345678910111213141516ACA1C1，AC平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，BC1AC，

25、ACB1CC，AC，B1C平面ACB1，BC1平面ACB1，又AB1平面ACB1，AB1BC1.123456789101112131415169.如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD平面BCD.求证：(1)CD平面PBD；1234567891011121314151612345678910111213141516在四边形ABCD中，ADAB，BAD90，则ABDADB45，又ADBC，即有DBC45，而DCB45，于是得BDC90，在折后的几何体PBCD中，BDDC，因为平面PBD平面BCD，

26、平面PBD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面PBD.(2)平面PBC平面PDC.12345678910111213141516由(1)知CD平面PBD，PB平面PBD，于是得CDBP，又BPPD，PDCDD，PD平面PDC，CD平面PDC，则BP平面PDC，又BP平面PBC，所以平面PBC平面PDC.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，侧面PAD为等边三角形.12345678910111213141516(1)求证：ADPB；12345678910111213141516因为PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以OPAD，因为底面ABCD是菱

27、形，BAD60，所以ABD是等边三角形，OBAD，因为OPOBO，OP，OB平面POB，所以AD平面POB，因为PB平面POB，所以ADPB.如图，取AD的中点O，连接OB，OP，BD，(2)若平面PAD平面ABCD，点E为PB的中点，求三棱锥PADE的体积.1234567891011121314151612345678910111213141516因为底面ABCD是边长为2的菱形，PAD为等边三角形，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，POAD，所以PO平面ABCD，因为E为PB的中点，11.(多选)(2022广州调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB

28、4，BC2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则12345678910111213141516技能提升练A.A，M，N，B四点共面B.平面ADM平面CDD1C1C.直线BN与B1M所成的角为60D.BN平面ADM12345678910111213141516如图所示，对于A，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；对于B，在长方体ABCDA1B1C1D1中，可得AD平面CDD1C1，AD平面ADM，所以平面ADM平面CDD1C1，故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BO，ON，则B1MBO，所以直线BN与B1M所成的角为NBO或其补角.易知BON为等边三角形，所以

29、NBO60，故C正确；12345678910111213141516对于D，因为BN平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误.12.(多选)(2022玉溪模拟)如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，PD底面ABCD，AD1，PDAB2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面与平面PBC的交线为l，则12345678910111213141516A.l平面PADB.AE平面PCDC.直线PA与l所成角的余弦值为D.平面截四棱锥PABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为12345678910111213141516如图，取PC的中点F，连接EF，DF，则ADEF，即A，D，E，F

30、四点共面，即l为EF，对于A，EFAD，所以EF平面PAD，即l平面PAD，故A正确；对于B，由EFAD，若AE平面PCD，则必有AEDF，即四边形ADFE为平行四边形，则ADEF，矛盾，故B错误；对于C，PA与l所成的角，即PA与EF所成的角，即PA与AD所成的角，由PD底面ABCD，所以PDAD，对于D，连接BD，VABCDEFVABDEVDBCFE1234567891011121314151613.(2022威海模拟)如图，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上.若AS4，AD2，ARPQ，则AR_.12345

31、67891011121314151612345678910111213141516如图，取SA的中点E，连接PE，QE.SA平面ABCD，AB平面ABCD，SAAB，而ABAD，ADSAA，AD，SA平面SAD，AB平面SAD，故PE平面SAD，又AR平面SAD，PEAR.又ARPQ，PEPQP，PE，PQ平面PEQ，AR平面PEQ，12345678910111213141516EQ平面PEQ，AREQ，E，Q分别为SA，AD的中点，EQSD，则ARSD，在RtASD中，AS4，AD2，14.(2022绍兴模拟)如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，DEAB，垂足为E.现将ABC沿AD折起，使得BCBD，若三棱锥ABCD外接球的球心为O，半径为1，则DOE面积的最大值为_.12345678910111213141516如图所示，取AC的中点F，DC的中点G，连接EF，DF，FG.12345678910111213141516FGAD，BCBD，G到B，C，D的距离相等，同理F到A，C，D的距离相等，ADDC，ADBD，BDDCD，BD，DC平面BCD，AD平面BCD，FG平面BCD，且FDFBFCFA，F即为三棱锥ABCD外接球的球心O，AD平面BCD，ADBC，12345678910111213141516又BCBD，ADBDD，AD，BD平面A