专题01 向量“绕三角形”归类2021-2022学年高一数学下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)(解析版)

1、专题01 向量1：“绕三角形”归类 目录TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc29376 一、热点题型归纳1 HYPERLINK l _Toc17993 【题型一】“象限”与坐标轴基础 2 HYPERLINK l _Toc26924 【题型二】基底基础型 4 HYPERLINK l _Toc12217 【题型三】基底基础型求数量积 5 HYPERLINK l _Toc30563 【题型四】“中线”复杂型 7 HYPERLINK l _Toc30563 【题型五】系数未知型 9 HYPERLINK l _Toc30563 【题型六】复杂数量积求参型 11 HYPERLINK

2、 l _Toc30563 【题型七】最知性：构造三点共线 13 HYPERLINK l _Toc30563 【题型八】 四心 15 HYPERLINK l _Toc21895 二、最新模考题组练17综述向量基底，可以看做非正交坐标轴，或者处理成物理学受力分析如果是没有确定的角度关系，可以把基底“扶正”为正交坐标系，代入点坐标处理一些难题，即“建系法”3.借助于向量拆分的俩基础公式，选定基底，然后通过。三角形。拉长压缩。三角形。拉长压缩。来转为基底形式（1）.（2）4.在平面向量的线性运算中，如图OP=xOA+yOB，x,y的范围可仿照直角坐标系得出，OA，OB类比于x,y轴，直角坐标系中有四个

3、象限，类比在（O,OA,OB）中也有四个象限，如第象限有x0【题型一】“象限”与坐标轴基础 【例1】如图，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（）ABCD【答案】A【分析】本题可利用平面向量基本定理和平行四边形法则将四个答案一一代入，然后判断点的位置，排除错误答案，即可得出结果.【详解】根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：若取，则，点在阴影区域内，A正确；若取，则，点在直线的上方，B错误；若取，则，点在直线的下方，C错误；若取，则，点在射线上，D错误，故选：A.【例2】如图，分别是射线上的两点，给出下列向量：；若这些向量均以为起点，则终点落在阴影区域内

4、（包括边界）的有ABCD【答案】B【详解】试题分析：在上取使，以为邻边作平行四边形，其终点不在阴影区域内，排除选项；取的中点，作，由于,所以的终点在阴影区域内；排除选项，故选【例3】如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的取值范围.【详解】如图，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且.，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线

5、为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，的取值范围为.故选：B【例4】如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是_（填写所有正确说法的序号）存在点P，使得；存在点P，使得；存在点P，使得；存在点P，使得【答案】【分析】利用基底表示向量，结合图形作出判断.【详解】设，由图可知：且，正确，故答案为：【题型二】 基底基础型【例1】如图，若，是线段靠近的一个三等分点，则下列等式成立的是( )ABCD【答案】C【分析】代换，计算得到答案.【详解】.故选：C.【例2】在中，点在边上，且，设， ，则 （ ）A B C D*【答案】B【解析

6、】， ， ，故选B.【例3】ABC中，点D在AB上，满足AD=2DB若CB=A13a+23b【答案】B【分析】利用向量的线性运算，化简即可。【详解】根据向量的线性加法与减法运算，化简得CD=所以选B【例4】如图所示，向量OA=a，OB=b，OC=Ac=1Cc=a【答案】AAC=3CB OC【题型三】 基底基础型求数量积【例1】在边长为1的等边三角形ABC中，点P是边AB上一点，且BP2PA，则CPA13B12C23【答案】C【分析】利用向量的加减法及数乘运算用CA,CB表示【详解】依据已知作出图形如下：CP=所以CP=故选：C【例2】设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC=2

7、，则ADA49 B89 C26【答案】C【解析】分析：由题意画出图形，把AD、AE详解：如图，|AB|=|ACD，E是边BC的两个三等分点，ADAE=29|AB故选：C【例3】在ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，则ABA-7 B7 C-28 D28【答案】A【解析】分析：设BC的中点为D，由向量的加法运算可得：AB详解：在ABC中，设BC的中点为D，则DB=由题意知：DC=4，则AB故选A.【例4】在边长为2的等边三角形ABC中，若AE=1A2 B83 C103【答案】B【解析】分析：用基底表示目标向量，从而得到数量积.详解：边长为2的等边三角形ABC中，AE=BE=221故选：B【题

8、型四】“中线”复杂型【例1】如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ）ABCD【答案】B【分析】求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.【详解】为的中点，则，.故选：B.【例2】如图所示，在中，设，的中点为，的中点为，的中点恰为，则（）ABCD【答案】C【分析】由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出【详解】如图，连接，则，.，得.又，将代入，得，解得.故选C.【例3】如图，在直角梯形中，为边上一点，为的中点，则（ ）ABCD【答案】C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】解：故选：C.【例4】如图，在中，和相交于点，则向量等

9、于（ ）ABCD【答案】B【分析】过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得和表示.【详解】解：过点分别作交于点，作交于点，已知，则和，则：且，即：且，所以，则：，所以，解得：，同理，和，则：且，即：且，所以，则：，即，所以，即，得：，解得：，四边形是平行四边形，由向量加法法则，得，所以.故选：B.【题型五】系数未知型 【例1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量，其中（3，1），（1，3）若，且01，那么C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）ABCD【答案】D【分析】可以使用特殊点代入排除法，即取

10、值，然后计算满足条件点的位置，然后排除到一定错误的答案【详解】当1时，（4，4），故可以排除C答案当0时，（0，0），故可以排除B答案当，时，（，），故可以排除答案A故选D【例2】如图，正方形中，分别是的中点，若则（）ABCD【答案】D试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.【例3】如图，在中，设，的中点为，的中点为，的中点为，若，则（ ）ABCD1【答案】C【分析】根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得及，解方程可求得，即可得到m，n的值，所以得到结果.【详解】解：由题意可得，由解方程求得.再由可得.【例4】（2015秋嘉兴期末）在ABC中，已知D是BC延长线上一点，若

11、，点E为线段AD的中点，则=（ ）A B C D【答案】B试题分析：由=，=，代入化简即可得出解：=，=，代入可得：=+=+，与，比较，可得：=故选：B【题型六】复杂数量积求参型 【例1】已知菱形ABCD边长为2，B，点P满足，R，若3，则的值为()A BC D【答案】A【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论【详解】法一：由题意可得22cos2，()()()()()(1)(1) 2(1)2(1)422(1)463，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(1，)令P(x,0)，由(3，)(x1，)3x333x3得x1.，.故选A

12、.【例2】（2015-2016学年安徽省马鞍山二十二中）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E、F分别在边BC、DC上，=，=，若=1，=，则+= A B C D【答案】C【解析】解：由题意可得若=+=22cos120+=2+4+4+22cos120=4+422=1，4+42=3 =（）=（1）（1）22cos120=（1+）（2）=，即+= 由求得+=，故答案为：【例3】如图所示，等边的边长为2，位边上的一点，且，也是等边三角形，若，则的值是（ ）ABCD【答案】A【详解】因为，所以，选A.【例4】如图，已知中，点在线段上运动，且满足，当取到最小值时，的值为()ABCD【答案】D【

13、详解】以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系不妨设 则， 当时取最小值故答案选D【题型七】最值型：构造三点共线 【例1】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】由题意得出，再由，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】如下图所示：，即，、三点共线，则.，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.【例2】中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）A B C6 D8【答案】D【解析】，因为三点共线，所以且，则，当且仅当，即时，上式取等号，故有最小值8，故选D【例3】在

14、中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是（ ）A B C D【答案】C【解析】【分析】如图，存在实数使得 ，所以，所以 ，原式 ，当时，函数取得最小值，故选C.【题型八】 四心【例1】过ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E若,，则的最小值为（ ）A4B3C2D1【答案】B【分析】利用重心以及向量的三点共线的结论得到的关系式，再利用基本不等式求最小值.【分析】设重心为，因为重心分中线的比为，则有，则，又因为三点共线，所以，则，取等号时.故选B.【例2】在中，为的外心，若，、，则（ ）ABCD【答案】C【分析】作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两

15、个未知数的值，即可求出的值.【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，则且，同理可得，由，可得，即，解得，因此，.故选：C.【例3】是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定经过的（ ）A外心B内心C重心D垂心【答案】B【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由可得到，可得答案解：、分别表示向量、方向上的单位向量，的方向与的角平分线一致，又，向量的方向与的角平分线一致点的轨迹一定经过的内心.故选：B【例4】已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的( )A外心B内心C重心D垂心【答案】D【分析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可

16、求得从而得到结论【详解】 两边同乘以向量,得即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过ABC的垂心，故选D.1.如图所示，两射线与交于，下列向量若以为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是_.黑龙江省哈尔滨三中高一月考数学卷【答案】【分析】由题意首先确定满足题意时系数所满足的条件，然后考查所给的关系式是否满足题意即可.【详解】设向量的终点为M，若M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，设交点为N，假设，又由N在线段AB上，则存在实数t(0，1使得成立，则，又由于0t1，则r(1t)0.据此分析所给的向量：中，rt=2，r(1t)=10，rt+r(1t)=r=1，满足r1但不满足r(1t)0，

17、故不满足条件.中，故满足条件.中，不满足r1，故不满足条件.中，不满足r1，故不满足条件.中，不满足r1，故不满足条件.综上，只有满足条件，故答案为：2.在边长为2的等边三角形ABC中，若3BC+DCA2 B2 C4 D4山东K12联盟2018届高一考试数学试题【答案】C【解析】由3BC+DC=0有DC=3BC3.在为所在平面内一点，且，则（ ）A B C D上海市嘉定区第二中学2019-2020学年高二上学期第一次质量检测数学试题【答案】A【解析】由题可知故本题选4.，为所在平面内三点，且，则（ ）ABCD湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高一下学期5月联考数学试题【答案】D【分析

18、】画出图形，根据向量线性运算求解即可.【详解】解：由题知，为中点，为三等分点且靠近点，为中点，如图，所以故选：D.5.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，若，则实数的值为（ ）ABCD河南省平顶山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题【答案】B【分析】设，由，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.【详解】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，因为，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，所以，又因为，且，所以，所以，解得，所以。故选：B.6.如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为( )ABC1D辽宁省庄河市高级中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学（文）试题【答案】A因为，设，而，所以且，故，应选答案A7.已知平面上一条直线上有三个不同的点，是直线外一点，满足，则的最小值为（ ）