力学量随时间的演化与对称性讲义(-59张)课件

1.力学量的平均值随时间的变化2.守恒量若则A称为守恒量3.守恒量的性质如果力学量A不含时间，若[A,H]=0(即为守恒量)，则无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。第4章力学量随时间的演化与对称性1.力学量的平均值随时间的变化2.守恒量若则A称为守恒量34.经典与量子力学中的守恒量间的关系5.守恒量与定态(1)定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。（2）在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变；而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变(1)与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取确定的数值.守恒量对应的量子数称为好量子数(2)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。4.经典与量子力学中的守恒量间的关系5.守恒量与定态(16.能级简并与守恒量的关系定理

设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0,则体系能级一般是简并的。推论：

如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态ΨE，则ΨE必为F的本征态。6.能级简并与守恒量的关系定理设体系有两个彼此不对易的7.位力定理：

设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为r·p的平均值随时间的变化为对定态有则（定态下力学量的平均值不随时间变化）7.位力定理：设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为r·p的思考题：r·p并不是厄米算符，应进行厄米化这是否会影响位力定理得证明。答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响到定理的证明。例题1

设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即证明思考题：r·p并不是厄米算符，应进行厄米化这是否会影响位力8.Feynman-Hellmann定理设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为若H中含有参数λ，则有8.Feynman-Hellmann定理设体系的束缚态能级9.全同粒子体系与波函数的交换对称性(1)两个全同粒子组成的体系9.全同粒子体系与波函数的交换对称性(1)两个全同粒子组(2)N个全同Femi子组成的体系三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个不同的单粒子态φk1,φk2,φk3上，则反对称波函数为Slater行列式(2)N个全同Femi子组成的体系三个全同Femi子：设三

N个全同Bose子组成的体系其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，这样的置换数为N个全同Bose子组成的体系其中P是指那些只对处于不同单§4.3Schrödinger图像和Heisenberg图像1.Schrödinger图像力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。力学量的平均值波函数随时间演化方程---Schrödinger方程力学量平均值随时间的变化波函数随时间演化可写成§4.3Schrödinger图像和Heisenberg图称为时间演化算符。(4)代入(2)得到则积分得可以证明：是幺正算符。称为时间演化算符。(4)代入(2)得到则积分得可以证明：是2.Heishenberg图像波函数不变，算符随时间变化算符的演化方程----Heisenberg方程2.Heishenberg图像波函数不变，算符随时间变化利用U的幺正性，及U+HU=H则上式称为Heisenberg方程。利用U的幺正性，及U+HU=H则上式称为Heisenberg利用U的幺正性，及U+HU=H则上式称为Heisenberg方程。利用U的幺正性，及U+HU=H则上式称为Heisenberg例题1自由粒子p为守恒量，则

p(t)=p(0)=p则例题1自由粒子p为守恒量，则p(t)=p(0)=p则例题2

一维谐振子而则其解为则例题2一维谐振子而则其解为则根据初始条件则根据初始条件则例题3求一维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值解：一维谐振子的能量本征值为由位力定理知:则所以例题3求一维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值解：一维例题4判断下列说法的正误在非定态下，力学量的平均值随时间变化(错)(2)设体系处在定态，则不含时力学量测值的概率不随时间变化(对)(3)设哈密顿量为守恒量，则体系处在定态（错）(4)中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定的数值（错）(5)自由粒子处于定态，则动量取确定值（错）（能级是二重简并的）(6)一维粒子的能量本征态无简并（错）（一维束缚态粒子的能量本征态无简并）证明：对于属于能量E的任何两个束缚态波函数有则两边同时积分得例题4判断下列说法的正误在非定态下，力学量的平均值随时间例题5

N=3Bose子体系，设三个单粒子态分别是解：

(a)n1=n2=n3=1（只有1个）(b)n1=2,n2=1,n3=0（共有6个）例题5N=3Bose子体系，设三个单粒子态分别是解：(c)n1=3,n2=0,n3=0（共3个）(c)n1=3,n2=0,n3=0（共3个）例题6(4.2)解：(a)两全同波色子单粒子态200020002011101110分布例题6(4.2)解：(a)两全同波色子单粒子态2(b)两个全同费米子单粒子态011101110分布(b)两个全同费米子单粒子态01（c)两个不同粒子单粒子态200020002011101110分布（c)两个不同粒子单粒子态20例题7（4.3）解：设粒子的总数为n，量子态的总数为k.首先对n个粒子进行编号(1)粒子可以分辨每个粒子占据量子态的方式有k种，则n个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有若k=3,n=2,则有若k=3,n=3,则有例题7（4.3）解：设粒子的总数为n，量子态的总数为k.(2)粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制，波函数对称1234量子态总数若k=3,n=2,则有若k=3,n=3,则有(2)粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制，波函数对(3)粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（k>n）若k=3,n=2,则有若k=3,n=3,则有量子态总数(3)粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（k>n）若例题8.三个不计自旋及相互作用的波色体系，其中单粒子可能的态是ψ1,ψ2,试求出体系的归一化波函数。解：例题8.三个不计自旋及相互作用的波色体系，其中单粒子可能的例题9

现有3个全同的波色子，可以分布在4个不同的量子态上，则该体系可能的状态数目有几种？答：由统计物理学的知识知：3个粒子4个量子态例题9现有3个全同的波色子，可以分布在4个不同的量子态上例题10两个无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中，对下列两种情况写出两粒子体系可具有的两个最低总能量值:两个自旋为1/2的可区分粒子(2)两个自旋为1/2的全同粒子解：(1)

对两个自旋为1/2的可区分粒子，波函数不必对称化。其基态总能量为2E1,波函数为四重简并第一激发态总能量是E1+E2,波函数是八重简并例题10两个无相互作用的粒子置于一维无限深势阱中，对下(2)对两个自旋为1/2的全同粒子，波函数必须是反对称的其基态总能量为2E1，波函数为非简并第一激发态总能量是E1+E2，波函数是四重简并其中(2)对两个自旋为1/2的全同粒子，波函数必须是反对称的其基例题

11对于无限深势阱中运动的粒子（见图）证明

并证明当n→∞时上述结果与经典结论一致。证明：归一化的波函数是则例题11对于无限深势阱中运动的粒子（见图）证明并

在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度在经典力学的一维无限深势阱故当时二者相一致。故当时二者相一致。例题12计算解：则而例题12计算解：则而上式中第一项分部积分两次后为零，第二项可写为所以上式中第一项分部积分两次后为零，第二项可写为所以例题13设归一化的波函数|ψ>满足薛定谔方程定义密度算符（矩阵）为(1)证明任意力学量F在态|ψ>下的平均值是(2)求出ρ的本征值(3)导出ρ随时间演化方程证明：

(1)

例题13设归一化的波函数|ψ>满足薛定谔方程定义密度算符（(2)

则其本征值是0,1(3)由薛定谔方程得利用上述两式得即(2)则其本征值是0,1(3)由薛定谔方程得利用上述两式得例题14粒子在势场V(x)中运动并处于束缚定态ψn(x)中，证明粒子所受势场作用力的平均值为零。证明：粒子所受势场的作用力为则例题14粒子在势场V(x)中运动并处于束缚定态ψn(x)中例题15设某一体系的哈密顿算符为其中x是位置算符，p为其共轭动量算符，m是粒子的质量，写出p随时间的演化方程解：例题15设某一体系的哈密顿算符为其中x是位置算符，p为其共例题16.t=0时刻体系处于力学量A的某一本征态上，如在其后任何时刻都处在该态上，A需要满足什么条件？答：A是守恒量，即[A,H]=0,两者有共同的本征态。演化后的波函数是例题16.t=0时刻体系处于力学量A的某一本征态上，如在其17对于一个不含时间的厄米算符F而言，在含时间的状态|ψ(t)>,(t≠0)上，它的取值概率是W(t)、平均值是F(t),在哪两种情况下W(t)与F(t)皆与时间无关。解:(1)F是守恒量，即(2)|ψ(t)>是定态18.对于α是常数，下列哪些量是守恒量答：守恒量是17对于一个不含时间的厄米算符F而言，在含时间的状态解:18.电荷为q，质量为m的无自旋粒子在磁场B中运动，其哈密顿算符可近似写成(1)指出(不必证明)下列各物理量中的守恒量(2)任选一个非守恒量，写出其海森堡运动方程(3)写出ω的构造式(用m,q…表示)及B的方向。解：（1）守恒量是(2)18.电荷为q，质量为m的无自旋粒子在磁场B中运动，其哈密19.单粒子在一维δ势阱中运动，(1)在坐标表象中求体系束缚定态的能量与相应的归一化波函数。(2)在动量表象中求体系束缚定态的能量与相应的归一化波函数。解：(2)薛定谔方程在动量表象中有即其中19.单粒子在一维δ势阱中运动，(1)在坐标表象中求体系束代入薛定谔方程得(1)代入薛定谔方程得(1)两边对p求导数得解得(2)其中A是归一化常数。将(2)代入(1)得由此可得束缚态的能量是(3)将(3)代入(2)可得两边对p求导数得解得(2)其中A是归一化常数。将(2)代入(归一化波函数归一化波函数20在p表象中计算一维谐振子的定态能量和定态波函数解：薛定谔方程为在动量表象中有即其中20在p表象中计算一维谐振子的定态能量和定态波函数解：薛定力学量随时间的演化与对称性讲义(-59张)课件代入薛定谔方程得以后的求解见陈<量子力学习题与解答>p97代入薛定谔方程得以后的求解见陈<量子力学习题与解答>p9721.t=0时刻自由粒子的波函数是求此时粒子动量的可能取值、概率和平均值解：21.t=0时刻自由粒子的波函数是求此时粒子动量的可能取值22设|n,l,m>是氢原子H,L2,Lz的共同本征函数，r是半径，求解：库仑势是即势是r的-1次齐次函数，由位力定理得则所以22设|n,l,m>是氢原子H,L2,Lz的共同本征函数，径向波函数满足的等效一维问题中由Feynman-Hellmann定理得径向波函数满足的等效一维问题中由Feynman-Hellma23一个质量为m的粒子在中心力场V(r)中运动，试证明其中E代表能级，ψ是相应的束缚定态波函数，λ是H中的参量(2)对于确定节点（即nr相同）的状态，若轨道角动量越大（即l越大），则其能量越高。证明:(1)由于则23一个质量为m的粒子在中心力场V(r)中运动，试证明其中(2)在中心力场中势能项是则由F-H定理得显然即E随l的增大而升高。(2)在中心力场中势能项是则由F-H定理得显然即E随l的增大2012年山东大学研究生入学考试《量子力学》试题一、填空题(25分)量子力学中的力学量必须是(),这是为了使力学量的本征值是(_),测量力学量所得的值一定是该力学量的(),只有当粒子处于力学量的()时，才能具有确定的测量值。测量力学量的不确定来源于()，两个力学量同时具有确定值的条件是()2.力学量H有两个本征态|n1>，|n2>,对应的本征值是E1和E2，则在该力学量表象中H可以表示为(),体系可能处的状态是(),可能的测值是(),相应的