2020年湖南省永州市中考数学试卷（解析版）

第24页（共24页）2020年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）的相反数为A． B．2020 C． D．【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】解：的相反数为：2020．故选：．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是A．注意安全 B．水深危险 C．必须戴安全帽 D．注意通风【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项、、中的图形是轴对称图形，选项不是轴对称图形．故选：．【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是A．人 B．人 C．人 D．人【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，为整数位数减1．【解答】解：635.3万．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为人．故选：．【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法中的要求和10的指数的表示规律为关键，4．（4分）下列计算正确的是A． B． C． D．【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答】解：选项的两个加数不是同类项，不能加减；，故选项错误；，故选项正确；．故选项错误．故选：．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是9【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为，方差为，故选：．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．（4分）如图，已知，，能直接判断的方法是A． B． C． D．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：，，，，故选：．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（4分）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④是外接圆的圆心．其中正确说法的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当时，，此时，则可对④进行判断．【解答】解：，是的两条切线，，为切点，，所以①正确；，，垂直平分，所以②正确；，是的两条切线，，为切点，，，，点、在以为直径的圆上，四边形有外接圆，所以③正确；只有当时，，此时，是不一定为外接圆的圆心，所以④错误．故选：．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．（4分）如图，在中，，，四边形的面积为21，则的面积是A． B．25 C．35 D．63【分析】由可得出，利用相似三角形的性质可得出，结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：，，，．，即，．故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出是解题的关键．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是A．4 B．2 C． D．【分析】过点作于点，此正三棱柱底面的边在右侧面的投影为，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答】解：如图，过点作于点，此正三棱柱底面的边在右侧面的投影为，，，，，左视图矩形的宽为2，左视图的面积为．故选：．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．（4分）已知点，和直线，求点到直线的距离可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是A． B． C． D．2【分析】求出点到直线的距离即可求得的最小值．【解答】解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点到直线的距离，．的半径为1，，故选：．【点评】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数中，自变量的取值范围是．【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，，解得．故答案为：．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（4分）方程组的解是．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①②得：，即，把代入①得：，则方程组的解为，故答案为：【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．（4分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，，代入数据可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答】解：（人，即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．【点评】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长．【解答】解：圆锥的侧面积平方分米．故答案为．【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．（4分）已知直线，用一块含角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则．【分析】过点作．利用平行线的性质，把、集中在上，利用角的和差求值即可．【解答】解：过点作．，．，．是含角的直角三角形，．，．故答案为：．【点评】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．（4分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为6．【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象交点坐标，，，，轴，轴，，，故答案为：6．【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．（4分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，，分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是．【分析】分别作关于射线、射线的对称点与点，连接，与、分别交于、两点，此时周长最小，最小值为的长，连接，，，利用垂直平分线定理得到，由坐标确定出的长，在三角形中求出的长，即为三角形周长的最小值．【解答】解：分别作关于射线、射线的对称点与点，连接，与、分别交于、两点，此时周长最小，最小值为的长，连接，，，、分别为，的垂直平分线，，，且，，，，过作，可得，，，，，则周长的最小值是．故答案为：．【点评】此题考查了轴对称最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：，其中．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，，，，．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中15，，等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）先由等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出、人数，利用百分比概念求解可得、的值，用乘以等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）被调查的总人数为（人，等级人数为（人，补全图形如下：（2），即，，即；等级所占扇形的圆心角度数为，故答案为：15，5，；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．22．（10分）一艘渔船从位于海岛北偏东方向，距海岛60海里的处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：，，（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达处，求，之间的距离．【分析】（1）作于，由题意得，，则，，即可得出结论；（2）由（1）得，，求出，由勾股定理求出即可．【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作于，如图：则，由题意得：，，，，这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：，，，，在中，（海里）；答：，之间的距离约为79.50海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是元，则口罩的单价是元，依题意有，解得，经检验，是原方程的解，．故一次性医用外科口罩的单价是2元，口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩只，依题意有，解得．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接．（1）求证：是的切线．（2）已知，，求，两点之间的距离．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的性质可得，可得，由切线的性质可得，可证，可得结论；（2）通过证明，可得，可求的长，由三角形中位线定理可求解．【解答】证明：（1）如图，连接，，，，是直径，，为的中点，，，与相切于点，，，，，又为半径，是的切线；（2），，，，，，，为的中点，，，，两点之间的距离为．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过，，三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线交抛物线于，两点，如图2所示．①求面积的最小值．②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得、、，进而得、、三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线的解析式为，，，，，联立方程组求得，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，由列出方程求得的值，再根据题意舍去不合题意的值，再求得的中点坐标，便可求得直线的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，在等腰中，垂直平分，且，，，，，，解得，，抛物线的解析式为；（2）①设直线的解析式为，，，，，由，可得，，，，，，当时取最小值为4．面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，，即，解得，，，，，，不合题意，舍去，当时，点，线段的中点为，，，直线的表达式为：，当时，点，，线段的中点为，，，，直线的解析式为．综上，直线的解析式为或．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）