统计量及其抽样分布的相关概念

本资料来源第6章统统计量量及其抽抽样分布布6.1统计量6.2关于分布布的几个个概念6.3由正态分分布导出出的几个个重要分分布6.4样本均值值的分布布与中心心极限定定理6.5样本比例例的抽样样分布

学习目标标了解统计计量及其其分布的的几个概概念了解由正正态分布布导出的的几个重重要分布布理解样本本均值的的分布与与中心极极限定理理掌握样本本比例的的抽样分分布6.1统计量6.1..1统计量的的概念6.1..2常用统计计量6.1..3次序统计计量6.1..4充分统计计量统计量(statistic)设X1,X2,…,Xn是从总体体X中抽取的的容量为为n的一个样样本，如如果由此此样本构构造一个个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖赖于任何何未知参参数，则则称函数数T(X1,X2,…,Xn)是一个统统计量，，其作用是是把样本本中有关关总体的的信息汇汇集起来来。样本均值值、样本本比例、、样本方方差等都都是统计计量统计量是是样本的的一个函函数统计量是是统计推推断的基基础常用统计计量样本均值值、样本本方差、、样本变变异系数数等矩：在统计计学中，，矩是指指以期望望值为基基础而定定义的数数字特征征。矩可可以分为为原点矩矩和中心心距两种种。样本均值值为一阶阶原点矩矩；样本方差差为二阶阶中心距距。次序统计计量（顺顺序统计计量）一组样本观观测值X1,X2,…,Xn由小到大大的排序序X（1）≤X（2）≤…≤X（i）≤…≤X（n）后，称X（1），X（2），…，X（n）为次序统统计量中位数、、分位数数、四分分位数等等都是次次序统计计量充分统计计量定义：统统计量加加工过程程中一点点信息都都不损失失的统计计量通常常称为充充分统计计量例：P1596.2关于分布布的几个个概念6.2..1总体分布布6.2..2样本分布布6.2..3抽样分布布6.2..4渐进分布布6.2..5随机模拟拟获得的的近似分分布总体：是是我们所所关心的的若干个个元素（（个体））的集合合。总体体中每个个元素的的取值是是不同的的，这些些观察值值所形成成的分布布就是总总体分布布。总体分布布：总体中中各元素素的观察察值所形形成的相相对频数数分布，，称为总总体分布布。总体分布布(populationdistribution)总体：是是我们所所关心的的若干个个元素（（个体））的集合合。总体体中每个个元素的的取值是是不同的的，这些些观察值值所形成成的分布布就是总总体分布布。总体分布布：总体中中各元素素的观察察值所形形成的相相对频数数分布，，称为总总体分布布。总体分布布(populationdistribution)样本:是从总体体中所抽抽取的部部分元素素的集合合样本分布布：从总体体中抽取取一个容容量为n的样本，，由这n个观察值值形成的的相对频频数分布布，称为为样本分分布。注意：样本来来自总体体，其中中包含着着总体的的一些信信息和特特征，因因此样本本分布也也称为经经验分布布。注意意与抽样样分布是是不同的的概念。。样本分布布(sampledistribution)抽样分布布：某个个样本统统计量的的抽样分分布，从从理论上上说就是是在重复复选取容容量为n的样本时时，由该该统计量量的所有有可能取取值形成成的相对对频数分分布。从一般意意义上，，抽样分分布就是是指样本本统计量量的概率率分布。。例如，，样本均均值的分分布、样样本比例例的分布布、样本本方差的的分布等等都称为为抽样分分布。下下面重点点介绍样样本均值值的抽样样分布。。抽样分布布(samplingdistribution)渐近分布布P160近似分布布P160(了解)6.3由正态分分布导出出的几个个重要分分布6.3..12分布6.3..2t分布6.3..3F分布2分布由阿贝(Abbe)于1863年首先给给出，后后来由海海尔墨特特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出出来设，，则令，，则则Y服从自由由度为1的2分布，即即当总体，，从中中抽取容容量为n的样本，，则2分布(2distribution)分布的变变量值始始终为正正分布的形形状取决决于其自自由度n的大小，，通常为为不对称称的正偏偏分布，，但随着着自由度度的增大大逐渐趋趋于对称称期望为：：E(2)=n，方差为为：D(2)=2n(n为自由度度)可加性：：若U和V为两个独独立的2分布随机机变量，，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机机变量服服从自由由度为n1+n2的2分布2分布(性质和特特点)c2分布(图示)不同容量样本的抽样分布c2n=1n=4n=10n=20t分布t分布高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇篇以“Student”(学生)为笔名的的论文中中首次提提出t分布是类类似正态态分布的的一种对对称分布布，它通通常要比比正态分分布平坦坦和分散散一个特定定的分布布依赖于于称之为为自由度度的参数数。随着着自由度度的增大大，分布布也逐渐渐趋于正正态分布布t分布图示示xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)zF分布由统计学学家费希希尔(R.A..Fisher)提出的，，以其姓姓氏的第第一个字字母来命命名设若U为服从自自由度为为n1的2分布，即即U~2(n1)，V为服从自自由度为为n2的2分布，即即V~2(n2),且U和V相互独立立，则称称F为服从自自由度n1和n2的F分布，记记为F分布(Fdistribution)F分布(图示)不同自由由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)6.4样本均值值的分布布与中心心极限定定理在重复选选取容量量为n的样本时时，由样样本均值值的所有有可能取取值形成成的相对对频数分分布一种理论论概率分分布推断总体体均值的理论基基础样本均值值的抽样样分布样本均值值的抽样样分布(例题分析析)【例】设一个总总体，含有4个元素(个体)，即总体体单位数数N=4。4个个体分分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的的均值、、方差及及分布如如下总体分布14230.1.2.3均值和方方差样本均值值的抽样样分布(例题分析析)现从总体体中抽取取n＝2的简单随随机样本本，在重重复抽样样条件下下，共有有42=16个样本。。所有样样本的结结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）样本均值值的抽样样分布(例题分析析)计算出各各样本的的均值，，如下表表。并给给出样本本均值的的抽样分分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5样本均值值的分布布与总体体分布的的比较(例题分析析)=2..5σ2=1.25总体分布布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x样本均值值的抽样样分布与与中心心极限定定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服服从正态态分布N(μ,σ2)时，来自自该总体体的所有有容量为为n的样本的的均值x也服从正正态分布布，x的数学期期望为μ，方差为为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)中心极限限定理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限限定理：：设从均均值为，方差为为2的一个任任意总体体中抽取取容量为为n的样本，，当n充分大时时，样本本均值的的抽样分分布近似似服从均均值为μ、方差为为σ2/n的正态分分布一个任意分布的总体x中心极限限定理(centrallimittheorem)x的分布趋趋于正态态分布的的过程抽样分布布与总体体分布的的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布样本样本均值值的抽样样分布(数学期望望与方差差)样本均值值的数学学期望样本均值值的方差差重复抽样样不重复抽抽样样本均值值的抽样样分布(数学期望望与方差差)比较及结结论：1.样本均值值的均值值(数学期望望)等于总体体均值2.样本均值值的方差差等于总总体方差差的1/n均值的抽抽样标准准误差所有可能能的样本本均值的的标准差差，测度度所有样样本均值值的离散散程度也称标准准误差小于总体体标准差差计算公式式为样本比例例的抽样样分布定义：总总体(或样本)中具有某某种属性性的单位位与全部部单位总总数之比比不同性别别的人与与全部人人数之比比合格品(或不合格格品)与全部产产品总数数之比总体比例例可表示示为样本比例例可表示示为

比例(proportion)样本比例（即成数）的抽样样分布（（简称比比例分布布）抽样总体样本

比例X,(N)比例=Ni/Nx,(n)所有可能能的样本本的比例例（））所形成成的分布布，称为为样本比比例的抽抽样分布布。在重复选选取容量量为的样样本时，，由样本本比例的的所有可可能取值值形成的的相对频频数分布布一种理论论概率分分布当样本容容量很大大时，样样本比例例的抽样样分布可可用正态态分布近近似推断总体体比例的理论基基础样本比例例的抽样样分布样本比例例的数学学期望样本比例例的方差差重复抽样样根据中心心极限定定理，只只要样本本足够大大，的的分布就就近似正正态分布布。（即即np和nq大于5时）样本比例例的抽样样分布