2023学年度 高一数学寒假作业四

高一数学寒假作业四一.选择题（每小题3分,共计30分）1.设全集U=R,集合M=,P=,则下列关系中正确的是A．M=PB．C．D．2.函数的定义域为A.B.C.D.3.下列四个函数中,在上为增函数的是A.B.C.D.4.下列函数中,定义域与值域相同的是A.B.C.D.5.设,在下列各图中,能表示从集合到集合的映射的是y1y1212xo1212yxyy1xyy1o1212yoxyy1xyy1y122o1xyy1xyy1 ABCD6．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球面的表面积为（）A． B．56π C．14π D．64π7．棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱.侧面积.体积时,相应的截面面积分别为则（）A．S1<S2<S3 B．S3<S2<S1 C．S2<S1<S3 D．S1<S3<S8．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面AB1C1D1而截得的,且B1B=D1D.已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30°的二面角,AB=1,A． B． C． D．9．设地球半径为R,在北纬30°圈上有甲.乙两地,它们的经度差为120°,那么这两地间的纬线之长为（）A．πR B．πR C．πR D．2πR10．如图8-24,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触上,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是（）二.填空题（每小题4分,共计24分）11.12.若函数是偶函数,则的递减区间是13.若幂函数的图象过点,则的值为14.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为______.15.集合A=｛(x,y)｜x2+y2=4｝,B=｛(x,y)｜(x-3)2+(y-4)2=r2｝,其中r＞0,若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是______________.16.α.β是两个不同的平面,是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:_______________三.解答题：（共46分,其中17题10分,其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.设,,求：（1）；（2）.18.已知函数（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域.19.如图8－12,球面上有四个点如果PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.20.如图7-15,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都等于a,分别是的中点,（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求其长度；（2）求二面角E—AC1—C的大小；（3）求点C1到平面AEC的距离.高一数学寒假作业四参考答案选择题（每小题3分,共计30分）1-5CBCDD6-10CADAB二.填空题（每小题4分,共计24分）11.12.13.或716.或三.解答题：（共46分,其中17题10分,其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.解：（1）又,∴；（2）又,得.∴18.（2）略+7分（3）19.解如图8－12,设过三点的球的截面圆半径为r,圆心为O′,球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P—ABC中,∵PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.由正弦定理,得=2r,∴r=a.又根据球的截面的性质,有OO′⊥平面ABC,而PO′⊥平面ABC,∴共线,球的半径R=.又PO′===a,∴OO′=R－a=d=,(R－a)2=R2–(a)2,解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2.注本题也可用补形法求解.将P—ABC补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径R=a,下略20.如图7-15,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都等于a,分别是的中点（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求其长度；（2）求二面角E—AC1—C的大小；（3）求点C1到平面AEC的距离.解（1）过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交于,则面EFG∥面ABC∥面A1B1C∴△EFG为正三角形,D为FG的中点,ED⊥FG.连AE,∵分别为的中点,∴.又∵面EFG⊥BB1,∴ED⊥BB1,故DE为AC1和BB1的公垂线,计算得DE=a.（2）∵AC=CC1,D为AC1的中点,∴CD⊥AC