多目标及离散变量优化方法

第六章多目标优化方法一、多目标优化问题二、多目标优化方法多目标及离散变量优化方法第1页一、多目标优化问题1、概念同时要求实现：成本、重量、体积利润、产量、承载能力兼顾多方面要求，则称为多目标优化问题。多目标及离散变量优化方法第2页普通地说，若有个目标函数，则多目标优化问题表示式可写成：称为向量目标函数。表示向量极小化，即向量目标函数中各个目标函数被同等极小化意思。多目标及离散变量优化方法第3页

在多目标优化模型中，还有一类模型是在约束条件下，各个目标函数不是同等被最优化，而是按不一样优先层次先后地进行优化----分层多目标优化问题。2．多目标优化问题特点

任意两个设计方案优劣普通是难以判别，在多目标优化问题中得到是非劣解。

例：求

，

对于两个单目标函数显然很轻易分别求其最优解，不过却无法求得二者共同最优解。多目标及离散变量优化方法第4页3．多目标优化问题解得可能情况（1）最优解（2）劣解

（3）非劣解（4）弱非劣解或称弱有效解。0f2f1●

1●3●2●4●6●5

对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6；对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。多目标及离散变量优化方法第5页二、多目标优化方法主要有两大类：※一类直接求出非劣解，然后从中选择很好解；※另一类是将多目标优化问题求解时作适当处理。★重新结构一个函数（即评价函数），将多目标（向量）优化问题转变为评价函数单目标（标量）优化问题——主要目标法、统一目标法。★将多目标（向量）优化问题转化为一系列单目标（标量）优化问题来求解——分层序列法★协调曲线法多目标及离散变量优化方法第6页

1．主要目标法

抓住主要目标，兼顾其它要求。（选择一个目标作为主要目标，将其它目标转化成约束条件）2．统一目标法

又称为综合目标法，它是将原多目标优化问题，经过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题评价函数，然后用前述单目标函数优化方法求解。（1）线性加权和法（线性组正当）（2）极大极小法（3）理想点法与平方和加权法（4）分目标乘除法（5）功效系数法——几何平均法多目标及离散变量优化方法第7页（1）线性加权和法（线性组正当）

依据多目标优化问题各个目标函数主要程度，对应选择一组权系数，并有用与线性组合组成一个评价函数将多目标优化问题转化为单目标优化问题，即求评价函数最优解，它就是原多目标优化问题解。多目标及离散变量优化方法第8页难点：怎样找到合理权系数处理方法：将各单目标最优化值倒数取作权系数1）可反应各个单目标对整个多目标问题主要程度；2）对各个分目标函数作统一量纲处理。多目标及离散变量优化方法第9页多目标优化问题MATLAB函数有fgoalattain需确定各分目标加权系数需知各分目标单个最优值目标函数最大值逐次减小fminimax多目标及离散变量优化方法第10页6.1函数fgoalattain

minvs.t.fi(X)-wiv≤goali

i=1,2,…,tAX≤b（线性不等式约束）

AeqX=beq（线性等式约束）

C(X)≤0（非线性不等式约束条件）

Ceq(X)=0（非线性等式约束）

Lb≤X≤Ub（边界约束条件）一、多目标优化问题数学模型标量变量各分目标函数分目标函数权重各分目标函数目标值多目标及离散变量优化方法第11页

二、优化函数使用格式

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=

fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)设置优化选项参数各分目标权重各分目标期望值目标函数在最优解海色矩阵返回目标函数在最优解梯度优化算法信息一个数据结构返回算法终止标志返回目标函数最优值返回目标函数最优解附加参数非线性约束条件函数名设计变量下界和上界线性等式约束常数向量线性等式约束系数矩阵线性不等式约束常数向量线性不等式约束系数矩阵无定义时以空矩阵符号“[]”代替初始点目标函数文件名多目标及离散变量优化方法第12页三、例题

设计带式输送机传动装置上普通V带传动。已知电机额定功率P=4kW，转速n1=1440r/min，传动比i=3，采取A型V带，天天工作不超出10小时。要求传动结构紧凑（带根数尽可能少，带轮直径和中心距尽可能小）。

解:(1)建立优化设计数学模型①设计变量：

V带传动独立设计变量是小带轮直径dd1和带基准长度LdX=[dd1,Ld]T=[x1,x2]T②目标函数：小带轮直径：中心距:带根数:1.1拟合直线P0=(0.02424dd1-1.112879)(kW)0.17kWKL=0.20639Ld0.211806拟合幂函数方程拟合双曲线方程minf1(X)=dd1=x1多目标及离散变量优化方法第13页

③约束条件:含性能约束和边界约束小带轮直径>=推荐A型带轮最小直径最大带速<25m/s小带轮包角>120°带传动中心距要求小带轮基准直径下限和上限带基准长度下限和上限性能约束边界约束三、例题多目标及离散变量优化方法第14页解:(1)建立优化设计数学模型①设计变量：

X=[dd1,Ld]T=[x1,x2]T②目标函数：小带轮直径：中心距:带根数:minf1(X)=dd1=x180~100mm320~400mm1~4按容限值确定权重，以使目标函数值在数量级上统一

③约束条件:(2)确定分目标和它们权重多目标及离散变量优化方法第15页(3)编制优化设计M文件[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)%V带传动多目标优化设计目标函数文件functionf=VDCD_3mb_MB(x)P=4;i=3;KA=1.1;

%已知条件：功率，传动比，工况系数f(1)=x(1);

%f1-小带轮基准直径:目标函数1a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;a=a1+sqrt(a1^2-a2);f(2)=a;

%f2,中心距：目标函数2P0=0.02424*x(1)-1.1128789;

%单根带额定功率DP0=0.17;

%功率增量alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a;

%小带轮包角Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114);%包角系数KL=0.20639*x(2)^0.211806;

%长度系数f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL;

%f3-V带根数：目标函数3多目标及离散变量优化方法第16页(3)编制优化设计M文件

%V带传动多目标优化设计约束函数文件

function[g,ceq]=VDCD_3mb_YS(x)i=3;n1=1440;%已知条件：传动比，转速

g(1)=100-x(1);%小带轮直径>=Ddming(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25%带速范围V<=Vmaxa1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;a=a1+sqrt(a1^2-a2);g(3)=120-180*(1-x(1)*(i-1)/a/pi);%小带轮包角>=alpming(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a;%中心距范围a>=aminceq=[];[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)多目标及离散变量优化方法第17页(3)编制优化设计M文件%V带传动多目标优化设计调用命令P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1;

%已知条件：功率，传动比，转速，工况系数x0=[100;1250];

%初始点（小带轮直径，V带基准长度）goal=[75,280,2];

%分目标w=[10^(-2),40^(-2),1.5^(-2)];

%分目标加权系数lb=[80,630];

%最小带轮直径和A型V带基准长度ub=[100;4000];

%最大带轮直径和A型V带基准长度[xopt,fopt]=fgoalattain(@VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,[],[],[],[],lb,ub,@VDCD_3mb_YS)[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)[],[],[],[],多目标及离散变量优化方法第18页Optimizationterminatedsuccessfully:Searchdirectionlessthan2*options.xopt=1.0e+003*0.10001.2269fopt=100.0000281.52963.5957(4)M文件运算结果(5)优化结果处理

dd1100mm1227mmLd小带轮基准直径带传动中心距带根数1250mm圆整4圆整多目标及离散变量优化方法第19页%优化结果数据处理后部分参数计算Dd1=100;Dd2=Dd1*i;z=4;Ld=1250;v=pi*Dd1*n1/6e4;a1=Ld/4-pi*Dd1*(i+1)/8;a2=Dd1^2*(i-1)^2/8;a=a1+sqrt(a1^2-a2);alpha=180-180*Dd1*(i-1)/pi/a;disp''disp'***************计算结果*****************'fprintf(1,'小带轮基准直径Dd1=%3.0fmm\n',Dd1);fprintf(1,'大带轮基准直径Dd2=%3.0fmm\n',Dd2);fprintf(1,'V带基准长度Ld=%3.0fmm\n',Ld);fprintf(1,'传动中心距a=%3.2fmm\n',a);fprintf(1,'小带轮包角alpha=%3.2f度\n',alpha);fprintf(1,'V带根数z=%3.0fmm\n',z);(4)M文件运算结果(5)优化结果处理

多目标及离散变量优化方法第20页***************计算结果*****************小带轮基准直径Dd1=100mm大带轮基准直径Dd2=300mmV带基准长度Ld=1250mm传动中心距a=293.82mm小带轮包角alpha=141.00度V带根数z=4(4)M文件运算结果(5)优化结果处理

(6)最终方案

多目标及离散变量优化方法第21页%V带传动多目标优化设计目标函数文件functionf=VDCD_3mb_MB(x)P=4;i=3;KA=1.1;

%已知条件：功率，传动比，工况系数f(1)=x(1);

%f1-小带轮基准直径:目标函数1a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(1)^2*(i-1)^2/8;a=a1+sqrt(a1^2-a2);f(2)=a;

%f2,中心距：目标函数2P0=0.02424*x(1)-1.1128789;

%单根带额定功率DP0=0.17;