高三一轮复习 二次函数与幂函数

11第七课时二次函数与幂函数考纲要求：函数A)知识梳理：1．幂函数(1)幂函数的定义形如＝α(α∈)的数称为幂函数，其中x是变量，常数．(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质

定义域值域奇偶性

y＝RR奇

y＝2R[0，)偶

y＝3RR奇

y＝2[0，∞[0，∞非奇非偶

y＝-(－∞，∪(0，∞(－∞，∪(0，∞奇x∈)时

x∈，∞单调性

增

增x∈－时

增

增

时，减x∈－∞，0)减

时，减2.二次函数(1)二次函数的图象和性质a>0图象

a<0定义域值域

R单调性

b在－，－上减，在2a

b在－，－上增，在2a

b－，∞上递增2a

b－，∞上递减2a

1212312123奇偶性图象特点

b＝时偶函数，≠时非非偶函数b①对称轴：＝；顶点：2(2)二次函数表达式的三种形式①一般式：＝2

＋＋a0)②顶点式：＝(＋)＋其中a≠，顶点坐标为(－，．③两根式y＝(－x－)(其中≠x是次函数的图象与轴两个交点的横坐标．基础训练：1．判断下列结论的正误．正的打“√”，错误的打“×)(1)函数x)2

与函数(x＝x

都是幂函数．)(2)幂函数的图象都经过(和点0,0)．)(3)幂函数的图象不经过第四象()(4)当α时幂函数y＝α

是定义域上的减函数()4ac－2(5)二次函数y＝2＋＋，∈，]最值一定是.()4(6)二次函数y＝2＋＋，∈，可能是偶函数()在y＝ax小．)

＋＋a0)中，a决了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大答案：××√(4)×××√2．已知点M，在函数f(x的图象上，则()的达式为．3答案：(x＝3．已知函数fx＝＋＋的象在x轴方，则a的取值范围_．1答案：，∞204．二次函数的图象与轴有一个交点，对轴为x＝，y轴于点．则它的解析式为．1答案：＝23

－＋35．已知函数fx)x2

＋a1)＋2在间－∞，上减函数，则实数的值范围为________．答案：－，2][典题1](1)已知函数f(x＝m2－－2

＋－是函数，且x∈，∞时，x是增函数，则m的值为．(2)幂函数＝f(x的图象过点4,2)，则幂函数＝x的象是．填号1(3)已知x)x，a<，则下列各式正确的________．填)2

11ab11ab11ba111ab11ab11ba1④<(a)<f11ba2①(a)<fbf<

；②<<bfa；③(a)<fbf<

；解析：

<f(．(1)∵函数f(x＝m2－－xmm－是函数，2－－＝，得m＝1或m＝又∵函数fx在，＋∞上增函数，∴2＋－，＝1(2)∵幂函数y＝(x)的图象过点4,2)，f(xx.211(3)∵a<<1，∴<<，ba1又fx＝为函数，2∴(a)<fbf<.答案：(1)2③③小结：幂函数yxα

的性质和图象由于的取值不同而比较复杂一般可从三方面考查：(1)的负：时图象经(0,0)点(1,1)点在一象限的部“上”α<0时图象不过0,0)点经(1,1)，在第一象限的部分“下降”(2)曲线在第一象限的凹凸性时线下凹，α<1时线上凸，α<0时线下凹；(3)函的奇偶性：一般先将数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．[典题2]已知二次函数x满足f(2)＝－1，(＝－，fx)的大值是，确定此二次函数的解析式．解析：法一利一般式：设fx＝2＋＋a．由题意得

4a＋＋＝，a－＋＝－，4ac－b2＝，4a

4，解得，∴所求二次函数为x)＝4x24＋法二利用顶点：设fx＝(x－)2

＋.∵(2)＝(－，2＋1∴抛物线的对称轴为x＝＝，221∴＝.2又根据题意，函数有最大值，n＝，1∴＝(x＝x2

＋∵(2)＝－，

212max212max1∴－2

＋＝－，解得a＝－，∴(x＝－

1x－22

＋＝－4x＋x＋法三利用零点：由已知fx＋0两根为x＝，＝－1，故可设fx＋a(－＋即fx＝2－－a－又函数有最大值＝，4a1即＝4a解得4或＝舍．∴所求函数的解析式为fx＝4x＋＋小结：求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：练习：为美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状如图所示．对应的两条曲线关于y轴称AE∥轴AB＝，低点在轴，高CH＝1，＝，则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式________．解析：题图可知，对应的两条曲线关于y轴称，x轴，AB＝4，低点C42在上CH＝cmBD＝所点C的坐标为0横标绝对值为＋＝，22即C(－，因为点与关y轴称，所以F(3,0)，为点是轮廓线DFE在1的二次函数图象的顶点以该二次函数为yx－2a>0)点代得＝，41即y＝(x3)241答案：＝(x－24二次函数的图象与性质与一元二次方程二次不等式等知识交汇命题是高考考查频率非常高的一个热点查解元二次不等式元次不等式恒成立及一元二次方程根的分布等问题，且主要有以下几个命题角度：

aaaa－，∈，∞角度一：二次函数的最值问题[典题3](1)已知二次函数()＝2

－x≤≤，求(x的最小．(2)已知a是实数，记函数()x2－2x＋在a，＋上最小值为g(，ga)的解析式．解析：1(1)①当>0时f(x＝2－x象的开口方向向上，且对称轴为x＝.a1a．当≤，a≥时f(＝2－图的对称轴在0,1]，a11∴(x在0，上减，在，上递增．∴(x＝

111＝－＝－.aaa1b．当>1即0<<1时x＝2a∴(x在0,1]上减．

－x图象的对称轴在0,1]的右侧，∴(x＝＝－②当时()ax

1－x的图象的开口方向向下对称轴＝在y轴左侧，a∴(x＝2

－x在0,1]上减．∴(x＝＝－，∈综上所述，(xmin＝1(2)(x＝2

－x＋＝(－2

＋，∈a，＋，∈，称轴为x1.当＋即时，函数图象如(1)函数f(x)在间a，＋上为减函数，所以最小值为f(＋＝2＋；当a≤≤＋，≤≤时函数图象如(2)，对称轴＝处得最小值，最小值为f(1)＝；当时，函数图象如(，函数x)在区间aa1]为增函数，所以最小值为a＝2－a＋，，综上可知，()＝≤a≤，a＋，>1.小结：二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到间两个端点处对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．角度二：二次函数图象与性质的合应用[典题4]若数(x＝x．

＋ax＋3在间[－4，上是单调函数，则实数a的值范围为

432432223(2)若函数()＝x2．

25－x－的义域为m，域为－，4，m的取值范围是(3)若方程2

＋－x＋－1＝两根中在0和之一根在1和2之，则实数k的值范围是_______．解析：(1)由于函数(x的图象开口向上，对称轴是＝－，所以要使fx)在－上单调函数，应有－≤4或a≥，a≤－6或≥3325(2)函数fx图象的对称轴为x＝，＝－，f(3)＝(0)＝－，二次函数的图象22知m的取值范围为，.(3)设f()x

＋－＋－，由题意

，即，，

12解得k<.23答案：－，－6]∪，＋∞

32，(3)，小结：有关二次函数的问题数形结合切联系图象是探求解题思路的有效方法函思想研究方程、不等式尤是恒成立)问题是高考命题的热点．1．(1)(2)(3)x(x)2(1)(2)3yxα(αRα>0(α<01．axbxca≠0≠02课后作业：1．若幂函数y＝m2－＋3)·xmm－的象不过原点，则m的值_．解析：幂函数性质可知2－m3＝，＝或m又函数图象不过原点，∴2－－≤，－≤≤，∴＝2或＝答案：或2．已知函数fx＝2

＋x，f－a＋(a≤2，则实数a的值范围是_______．解析：fx)x＋x，(2)＝，－＋(a)＝22答案：－2,2]

＋a≤16，解得∈[－．3．已知函数fx＝2

＋＋＋b，f(0)4，则的最大值________．解析：f(0)＝得，＋b＝，则f(1)＝＋＋＋b＝＋5＋－b)＝2＋4b＋＝－－1)2＋≤，

当且仅当b＝时f取最大值7.答案：4．已知二次函数x)满足f＋x＝(2－，x在[0,2]上增函数，若a≥(0)，则实数的值范围是．2＋＋－解析(2＋＝(2－可知数fx图象的对称轴为＝＝函f(x2在0,2]单调递增，所以由(a)≥f可得≤≤答案：5．方程x＋－＝在间1,5]上根，则实数a的取值范围为_______．解析：一令f(x＝x2－，题知fx的象与x轴[上交点，又f(0)＝－2<0，∴即

23∴－≤≤52法二：程x2＋－＝在间1,5]上根，即方程x＋－＝，也即方程＝－xxx22323在区间1,5]上根数y－x区间1,5]上是减函数－≤≤－≤≤x5523答案：－，56．已知二次函数x是偶函数，且f(4)＝f＝，则函数fx的解析式_．解析：由题意可设函数fx＝2ca≠，f(4)＝a＋＝＝a＋＝a＋c＝，解得＝，＝，x＝2.答案：(x＝27．知函数f(xx2________.

＋8x＋15)·(x2

－的象关于直线a对称，则实数＝解析：数fx＝－(x2＋＋x2－的象关于直线＝对称，则函数与轴交点也应关于直线xa对，由fx＝，－x＋8＋15)(x2

－＝，解得＝－或＝－或＝－1或＝，∴函数与轴交点为－(－－(1,0)不看－与1,0)(－与－都于x＝－对，a＝2.答案：28．设x是定义在R上奇函数，且当≥时(＝2，对任意的∈t，＋2]，不等式f(xt)≥(x恒成立，则实数的值范围________．解析∵当≥时)x2且x)定义在R上的奇函数∴(x在上是增函数，又f(xt≥2f(x＝(2)∴＋≥2∴≥21)∵∈[＋≥2－t2)∴≥2.答案：，＋)19．已知y＝(x为偶函数，当x≥时f(x＝x＋，满足ffa＝的实数的2数为________．解析：题意知，≥，fx＝，

其图象如图所示．

112121maxmaxmaxmax112121maxmaxmaxmax1222令t＝(a)，则t≤，f(t＝解得t＝－或＝－，fa)＝－或fa＝22222－，数形结合得，共有8个点．2答案：10．已知函数fx)满足(x＝2－＋2)＋2，x＝x2＋a－2)x－2＋设(x＝max{((x)}(x＝()(x)}(max(p表示中的较大值pq表，2q中较小值，记(x)的最小值为A，(x)的最大值为，－B＝12解析：＝－，则(＝2＋，x)＝－2－x＋，出它们的图象，如图所示．则(x的小值为两图象右边交点的纵坐标H()的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解或＝，∴＝＝，＝－16.答案：16．知函数x)＝2－，x)＝＋>0)，∀x∈－，x∈－f(x＝g(x)，则实数a的值范围________．2解析：题意得()≤(x)且x≥f(x)，(x在区间－上最大值(＝(－1)＝在间－上的最小值x＝(1)＝－由(x＝＋a>0)在间－1,2]上调递增，则g()得≥答案：，＋∞

，＝(－1)＝＋gx＝g(2)＝a，

解12．已知函数fx＝2

＋＋ab∈)，∈R(1)若函数()的最小值为f－＝，求fx的析式，并写出单调区间；(2)在1)的条件下，x＋在间－，－1]上恒立，试求k的值范围b解：由意得f－＝－b＋＝，a≠0，且－＝－1，a＝，＝∴()＝22a＋x＋，单调减区间－∞－，调增区间－，＋∞．(2)(xx＋k在[，1]上成立，转化为x

＋＋k在间－，－1]恒成立．设gx＝＋＋，∈－，－，则gx在－，1]上减．∴()＝－＝∴<1即的取值范围(－∞，13．已知a是数，函数x＝2范围．

＋x－在x∈－上