第二章第三节《函数的奇偶性与周期性》文

第三节函数的奇偶性与周期性1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.了解函数的周期性.1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.了解函数的周期性.3.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.知识梳理一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及简单性质.2.若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，反之，也成立．3．若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)＝0.4．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式．在定义域关于原点对称的情况下，(1)若f(x)－f(－x)＝0或eq\f(fx,f－x)＝1[f(－x)≠0]，则f(x)为偶函数；(2)若f(x)＋f(－x)＝0或eq\f(fx,f－x)＝－1[f(－x)≠0]，则f(x)为奇函数．5．设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇．二、函数的周期性1．周期函数定义：若T为非零常数，对于定义域内的任意x，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则f(x)叫做________，T叫做这个函数的________．2．周期函数的性质：(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是它的一个周期；(2)f(x＋T)＝f(x)常写作feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(T,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(T,2)))；(3)若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；(4)若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)(ω≠0)也是周期函数，且周期为eq\f(T,|ω|).一、1.f(－x)＝f(x)y轴相反f(－x)＝－f(x)原点相同二、1.周期函数一个周期基础自测1．(2013·肇庆二模)下列函数为奇函数的是()A．y＝|sinx|B．y＝|x|C．y＝x3＋x－1D．y＝lneq\f(1＋x,1－x)解析：由|sin(－x)|＝|sinx|，得y＝|sinx|为偶函数，排除A；由|－x|＝|x|，得y＝|x|为偶函数，排除B；y＝x3＋x－1的定义域为R，但其图象不过原点，故y＝x3＋x－1不为奇函数，排除C；由eq\f(1＋x,1－x)＞0得－1＜x＜1，所以函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，且lneq\f(1－x,1＋x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))－1＝－lneq\f(1＋x,1－x)，故y＝lneq\f(1＋x,1－x)为奇函数，故选D.答案：D2．函数f(x)＝eq\f(1,x)＋x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称解析：可判断f(x)＝eq\f(1,x)＋x为奇函数，所以图象关于原点对称．故选C.答案：C3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝()A．1 B．－1 C．－eq\f(11,4) D.eq\f(11,4)答案：B4．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是________．解析：∵T＝4，且在[－6，－4]上单调递减，∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称，由对称性知f(x)在[0,2]上单调递增．答案：单调递增1．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：因为g(x)是R上的奇函数，所以|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)＋|g(x)|是偶函数．故选A.答案：A2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，则f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故选A.答案：A3．(2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以易知x≤0时，f(x)＝－x2－4x解不等式得到f(x)＞x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)1．(2013·增城下学期调研)已知函数f(x)＝x－2，则()A．f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增B．f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增C．f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减D．f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增解析：f(x)＝eq\f(1,x2)，f(－x)＝eq\f(1,－x2)＝eq\f(1,x2)＝f(x)是偶函数，在(0，＋∞)单调递减．答案：C2．(2013·温州高三第一次质检)已知f(x)是定义在R上是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上