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文档简介

考向1利用导数研究函数的极值结合①式,可知(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号.结合①式,及a>0,得ax2-2ax+1≥0在R上恒成立.所以二次方程1+ax2-2ax=0无解或有两个相同实数解,Δ=4a2-4a≤0,即0≤a≤1.又∵a>0.故实数a的取值范围是(0,1].1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.特别注意,导数为零的点不一定是极值点.2.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.3.本题第(2)问求解的关键是转化,函数与方程,方程与不等式相互转化.(2013·绍兴模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增,试求a的取值范围;(2)当a<0时,若函数满足y极大=1,y极小=-3,试求y=f(x)的解析式.【解】

(1)f′(x)=-3x2+2ax.依题f′(x)≥0在(0,2)上恒成立.即2ax≥3x2.∵x>0,2a≥3x,∴2a≥6.∴a≥3.即a的取值范围是[3,+∞). (2012·北京高考)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.【审题视点】

(1)求出两条切线方程比较系数求解.(2)求出函数f(x)+g(x)在(-∞,2]上的变化情况,再确定k的范围.考向2利用导数研究函数的极值

【尝试解答】

(1)∵f(x)=ax2+1,∴f′(x)=2ax, ∴f′(1)=2a.

又f(1)=c=a+1,∴f(x)在点(1,c)处的切线方程为y-c=2a(x-1),即y-2ax+a-1=0. ∵g(x)=x3+bx,∴g′(x)=3x2+b,∴g′(1)=3+b.

又g(1)=1+b=c,

∴g(x)在点(1,c)处的切线方程为

y-(1+b)=(3+b)(x-1),即y-(3+b)x+2=0.依题意知3+b=2a,且a-1=2,即a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x).当a=3,b=-9时,h(x)=x3+3x2-9x+1,h′(x)=3x2+6x-9.令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1.h(x)与h′(x)在(-∞,2]上的变化情况如下:

由此可知: 当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(-3)=28;

当-3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.

因此,k的取值范围是(-∞,-3].

1.本题(2)中函数解析式确定,但区间不定,因此可先求出函数取得极值与最值的情况,再确定符合要求的k值.2.求函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的是一个最小值.(2013·郑州模拟)已知函数f(x)=(x-k)ex,(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.【解】

(1)由f(x)=(x-k)ex,得f′(x)=(x-k+1)ex,令f′(x)=0,得x=k-1.f(x)与f′(x)的变化情况如下:所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k,当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增.所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1.当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上可知,当k≤1时,f(x)min=-k;当1<k<2时,f(x)min=f(k-1)=-ek-1;当k≥2时,f(x)min=f(1)=(1-k)e.函数最值是个“整体”概念,而函数极值是个“局部”概念.1.f′(x)>0在(a,b)上成立,是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.1.求单调区间时应先求函数的定义域,遵循定义域优先的原则;2.f′(x0)=0时,x0不一定是极值点;3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时应分类讨论.从近两年高考试题看,导数的应用是考查的热点,重点是利用导数研究函数的单调性,求极(最)值,题型全面,小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值,大题考查导数与函数单调性、极值与最值的关系,多与方程、一元二次不等式等知识交汇,体现转化思想、分类讨论思想的应用,同时应注意与导数有关的创新题.创新探究之二导数在比较大小中的创新应用

(2012·浙江高考)设a>0,b>0,e是自然对数的底数(

)A.若ea+2a=eb+3b,则a>bB.若ea+2a=eb+3b,则a<bC.若ea-2a=eb-3b,则a>bD.若ea-2a=eb-3b,则a<b【解析】设f(x)=ex+2x,则f′(x)=ex+2>0,从而f(x)在R上是增函数,若ea+2a=eb+3b,则(ea+2a)-(eb+2b)=b>0,即f(a)-f(b)>0,∴a>b,设g(x)=ex-2x,则g′(x)=ex-2,f(x)在R上不是单调函数,从而无法确定a与b的大小关系.故选A.【答案】

A

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