《导数在研究函数中的应用》 市一等奖 教学课件

考向1利用导数研究函数的极值结合①式，可知(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．结合①式，及a＞0，得ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．所以二次方程1＋ax2－2ax＝0无解或有两个相同实数解，Δ＝4a2－4a≤0，即0≤a≤1.又∵a＞0.故实数a的取值范围是(0，1]．1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．2．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．3．本题第(2)问求解的关键是转化，函数与方程，方程与不等式相互转化．(2013·绍兴模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)要使f(x)在(0，2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当a＜0时，若函数满足y极大＝1，y极小＝－3，试求y＝f(x)的解析式．【解】

(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.依题f′(x)≥0在(0，2)上恒成立．即2ax≥3x2.∵x＞0，2a≥3x，∴2a≥6.∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)． (2012·北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．【审题视点】

(1)求出两条切线方程比较系数求解．(2)求出函数f(x)＋g(x)在(－∞，2]上的变化情况，再确定k的范围．考向2利用导数研究函数的极值

【尝试解答】

(1)∵f(x)＝ax2＋1，∴f′(x)＝2ax， ∴f′(1)＝2a.

又f(1)＝c＝a＋1，∴f(x)在点(1，c)处的切线方程为y－c＝2a(x－1)，即y－2ax＋a－1＝0. ∵g(x)＝x3＋bx，∴g′(x)＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b.

又g(1)＝1＋b＝c，

∴g(x)在点(1，c)处的切线方程为

y－(1＋b)＝(3＋b)(x－1)，即y－(3＋b)x＋2＝0.依题意知3＋b＝2a，且a－1＝2，即a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：

由此可知： 当k≤－3时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值为h(－3)＝28；

当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k，2]上的最大值小于28.

因此，k的取值范围是(－∞，－3]．

1．本题(2)中函数解析式确定，但区间不定，因此可先求出函数取得极值与最值的情况，再确定符合要求的k值．2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的是一个最小值．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex，(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．【解】

(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k，当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增．所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时，f(x)min＝f(k－1)＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e.函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．1.f′(x)＞0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．1.求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；2．f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；3．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．从近两年高考试题看，导数的应用是考查的热点，重点是利用导数研究函数的单调性，求极(最)值，题型全面，小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，大题考查导数与函数单调性、极值与最值的关系，多与方程、一元二次不等式等知识交汇，体现转化思想、分类讨论思想的应用，同时应注意与导数有关的创新题．创新探究之二导数在比较大小中的创新应用

(2012·浙江高考)设a>0，b>0，e是自然对数的底数(

)A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>bB．若ea＋2a＝eb＋3b，则a<bC．若ea－2a＝eb－3b，则a>bD．若ea－2a＝eb－3b，则a<b【解析】设f(x)＝ex＋2x，则f′(x)＝ex＋2＞0，从而f(x)在R上是增函数，若ea＋2a＝eb＋3b，则(ea＋2a)－(eb＋2b)＝b＞0，即f(a)－f(b)＞0，∴a＞b，设g(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2，f(x)在R上不是单调函数，从而无法确定a与b的大小关系．故选A.【答案】

A