导数的基本概念及性质应用

-.z.导数的根本概念及性质应用考点：1、掌握导数的根本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：知识点总结：导数的根本概念与运算公式导数的概念函数y=的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的极限，即＝＝说明：分子和分母中间的变量必须保持一致导函数函数y=在区间(a,b)内每一点的导数都存在，就说在区间(a,b)内可导，其导数也是(a,b)内的函数，叫做的导函数，记作或，函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。导数的几何意义设函数y=在点处可导，则它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的切线斜率。求导数的方法〔１〕根本求导公式〔２〕导数的四则运算〔３〕复合函数的导数设在点*处可导，y=在点处可导，则复合函数在点*处可导，导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y＝在*个区间内可导，假设＞0，则为增函数；假设＜0则为减函数。⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。①确定函数的定义区间②求，令＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。③把函数的连续点〔即的无定义点〕的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成假设干个小区间。④确定在各小开区间内的符号，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性。说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2．可导函数的极值⑴极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有＜〔或＞〕，则称为函数的一个极大〔小〕值点。称为极大〔小〕值点。⑵求可导函数极值的步骤。①求导数②求方程＝0的根③检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，则函数y＝在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，则函数y＝在这个根处取得极小值。说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点〔隐含条件，说明*点是极值点，相当于给出了一个＝0的方程3．函数的最大值与最小值⑴设y＝是定义在区间[a,b]上的函数，y＝在(a,b)内有导数，求函数y＝在[a,b]上的最大值与最小值，可分两步进展。①求y＝在(a,b)内的极值。②将y＝在各极值点的极值与、比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。⑵假设函数y＝在[a,b]上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；假设函数y＝在[a,b]上单调减少，则为函数的最大值，为函数的最小值。说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值例题讲解题型一导数的概念【例1】设f(*)在点*0处可导，a为常数，则等于()/(*0/(*0/(*0【变式】设在处可导题型二导数的几何意义、物理意义【例2】〔1〕求曲线在点〔1，1〕处的切线方程；〔2〕运动曲线方程为，求t=3时的速度。分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(*)在处的导数就是曲线y=f(*)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例3】求以下函数单调区间〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕题型四：利用导数求函数的最〔极〕值【例4】求函数在闭区间[-3，0]上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例5】1、设f'(*)是函数f(*)的导函数，y=f'(*)的图象如右图所示，则y=f(*)的图象最有可能的是(A)(B)(C)(D)2、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图，则函数在开区间内有极小值点〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】函数在处取得极值。(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。【例7】函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点〔1，0〕，〔2，0〕如下图.求：〔1〕的值；〔2〕a、b、c的值.【例8】函数f〔*〕=*3+a*2+b*+c，当*=－1时，取得极大值7；当*=3时，取得极小值．求这个极小值及a、b、c的值【例9】的图象经过点，且在处的切线方程是〔1〕求的解析式；〔2〕求的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例10】〔1〕如果函数f(*)=*3+a*的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.[0,+)C.(3,+)D.[3,+)〔2〕如果函数f(*)=*3+a*的图象上有平行于*轴的切线，则实数a的取值范围是________________【例11】函数在区间上都是增函数，在〔0，4〕上是减函数.〔1〕求b的值；〔2〕求a的取值范围题型八：综合应用【例12】平面向量，假设存在不同时为的实数和，使且，试确定函数的单调区间例题答案：【例1】解：应选(C)【变式】：-1【例2】〔1〕，，即曲线在点〔1，1〕处的切线斜率k=0因此曲线在〔1，1〕处的切线方程为y=1〔2〕。【例3】〔1〕时∴，〔2〕∴，〔3〕∴∴，，〔4〕定义域为【例4】略，注意强调学生的步骤完整性【例5】1、C2、A【例6】分析：〔1〕分析*=±1处的极值情况，关键是分析*=±1左右〔*〕的符号.〔2〕要分清点A〔0，16〕是否在曲线上.解：〔1〕〔*〕=3a*2+2b*－3，依题意，〔1〕=〔－1〕=0，即解得a=1，b=0.∴f〔*〕=*3－3*，〔*〕=3*2－3=3〔*+1〕〔*－1〕.令〔*〕=0，得*=－1，*=1.假设*∈〔－∞，－1〕∪〔1，+∞〕，则〔*〕＞0，故f〔*〕在〔－∞，－1〕上是增函数，f〔*〕在〔1，+∞〕上是增函数.假设*∈〔－1，1〕，则〔*〕＜0，故f〔*〕在〔－1，1〕上是减函数.所以f〔－1〕=2是极大值，f〔1〕=－2是极小值.〔2〕曲线y=*3－3*，点A〔0，16〕不在曲线上，设切点M〔*0，y0〕，则y0=*03－3*.∵〔*0〕=3*02－3，∴切线方程为y－y0=3〔*02－1〕〔*－*0〕.代入A〔0，16〕得16－*03+3*0=3〔*02－1〕〔0－*0〕.解得*0=－2，∴M〔－2，－2〕，切线方程为9*－y+16=0.评述：过点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例7】解：函数的增减变化如下表：*12+0-0+极大极小〔1〕在*=1处由增变减，故为极大值，即=1.〔2〕由于，【例8】解：f′〔*〕=3*2+2a*+b．据题意，－1，3是方程3*2+2a*+b=0的两个根，由韦达定理得∴a=－3，b=－9∴f〔*〕=*3－3*2－9*+c∵f〔－1〕=7，∴c=2极小值f〔3〕=33－3×32－9×3+2=－25∴极小值为－25，a=－3，b=－9，c=2【例9】解：〔1〕的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点得〔2〕单调递增区间为【例10】〔1〕A〔2〕(-，0］【例11】解：⑴由条件知是函数的极值点.∵，令，得.⑵已求，∴.令，得.由条件知为极大值点，则应为极小值点.又知曲线在区间〔0，4〕上是减函数.∴，，得【例12】解：由得所以增区间为；减区间为。课堂演练：1.假设曲线y=f〔*〕在点〔*0，f〔*0〕〕处的切线方程为2*－y－1=0，则A．f′〔*0〕>0 B．f′〔*0〕<0C．f′〔*0〕=0 D．f′〔*0〕不存在2.函数在区间上的最大值是〔〕A． B． C． D．3．函数y=*3－3*的极大值为m，极小值为n，则m+n为A．0 B．1C．2 D．44.函数在时取得极值，则实数的值是〔〕A． B． C． D．5.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是〔〕 A． B． C． D．6.三次函数y=f〔*〕=a*3+*在*∈〔－∞，+∞〕内是增函数，则A．a>0 B．a<0C．a=1 D．a=7.与直线2*－6y+1=0垂直，且与曲线y=*3+3*2－1相切的直线方程是___________．8.a为实数，。⑴求导数；⑵假设，求在[－2，2]上的最大值和最小值；⑶假设在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围1-6AAADAA，7.3*+y+2=08.解：⑴由原式得∴⑵由得,此时有.由得或*=-1,又所以f(*)在[－2,2]上的最大值为最小值为⑶解法一:的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得即∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2].解法二:令即由求根公式得:所以在和上非负.由题意可知,当*≤-2或*≥2时,≥0,从而*1≥-2,*2≤2,即解不等式组得－2≤a≤2.∴a的取值范围是[－2,2].课堂小结：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察根本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题型。课下作业：1、函