差分方程模型

在p点附近取函数f(x),h(x)的一阶近似：0y—y—a(x—x),a>0,(3.7)n0n0在p点附近取函数f(x),h(x)的一阶近似：0y—y—a(x—x),a>0,(3.7)n0n0x—x+P(y—y),P>0,(3.8)n+10n0x——aPx+(1+aP)x,n—1,2,(3.9)n+1n0的一阶线性差分方程。当然它是原来方程的近似模型。作为数学模型合并两式可得：这是关于xn本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。其中，-a为f在p点处的切线斜率；丄为g(x)在p点处切线的斜率。0P00方程(3.9)递推可得—(—aP)nx+[1—(—aP)n]x1所以，p0点稳定的充要条件是：api<1，即：这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的。4)模型推广如果决策时考虑到x与y,y都有关系，则可假设

n+1nn+1xn+1旦(3.10)x二g(n+1y+y、―nn11)2这时数学模型为：y=f(x)(3.11)对此模型仍用线性近似关系可得：则有：ry+y、x-g(〜+)•n+12首先求出平衡点，即解方程y0-f(x0)00(y+yx-g(0c02-g(y)+P(y02o)・二g(y0)xn+1+yn-1-2y0)xn+1—x—(y+y02nn+1-2y0)再结合(3.7)可得：x—x—n+10x—x—n+102(yo-a(x-x0)+y—a(x—x)—2y)0n—1002x+aPx+aPx—(1+aP)xn+1n—1n—10即：2x+aPx+aPx—(1+aP)n+2特征方程为：n+1xn02九2+apl+ap二0(3.12)_aP+、：(aP)2-8aP特征根为：--一

—a0所以：邮>8时，耳<一^<—2，此时解不稳定。24<8时，|九=I1学，则邮<2时，九<11,2\121,2从而解是稳定的。这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了。说明决策水平提高了。进一步来看，对这个模型还可以进行进一步的分析：考虑下一年的产量时，还y+y+y可以近三年的价格来决定，例如：设X二h(匕盲1«-2),；另外还可以考虑引n+13入投资额z，并建立有关的离散方程关系。n模型4人口的控制与预测模型背景分析：人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟。但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用。人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等。试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律。模型假设：以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁。(1)设这个地区最大年龄为m岁(2)第t年为i岁的人数为x(t),i=1,2m;t=0,1,2,i这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体，我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系。3)4)5)6)设第t年为i岁的人口平均死亡率为3)4)5)6)x(t)—x(t+1)TOC\o"1-5"\h\z比:d(t)=ii+iix(t)i即：x(t+1)二(1—d(t))x(t),i二i,2,...,m—1;t二0,1,2,...i+1ii设第t年i岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿数为b(t)，[i,i]为生i12育区间。k(t)为第t年i岁人口的女性比(占全部i岁人口数)i由此可知：第t年出生的人数为：f(t)吐b(t)k(t)x(t)iii1记第t年婴儿的死亡率为d(t)，则x(t)=(1—d(t))f(t)00000b(t)b(t)设h(t)=ii，它表示i岁女性总生育率，i立b(t)卩(t)i则b(t)=0(t)h(t)，如果假设t年后女性出生率保持不变，则ii0(t)=b(t)+b(t)+...+b(t)i1i1+1i2=b(t)+b(t+1)+...+b(t+i—i)i1i1+1i221可见，0(t)表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率。它反映了人口变化的基本因素。

模型建立：根据上面的假设x(t+1)=(1一d(t))x(t)100=(1-d(t))(1-d(t))f(t)000=(1-d(t))(1-d(t))Eb(t)k(t)x(t)000iiii=i1iiii=i1=(1-d(t))(1-d(t))iiii=i1000=卩(t忆b/(t)x(t)iii=i1x(t+1)=(1-d(t))x(t)221TOC\o"1-5"\h\zx(t+1)=(1-d(t))x(t)mm-1m-1为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况令x(t)=[x(t),x(t),...,x(t)]/1200...0A(t)=B(t)=1-d(t)101A(t)=B(t)=1-d(t)101-d(t)20...0...00...1-d(t)m-10mxnb(t)...i0...b(t)...i0...000...0...00...0...00...0...00000000000mxn则此向量x(t)满足方程:x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)B(t)x(t)即：x(t+1)=(A(t)+B(t)B(t))x(t)(3.13)这是一阶差分方程其中B(t)是可控变量，x(t)是状态变量，并且关于B(t)和x(t)都是线性的，故称其为双线性方程。模型分析：在稳定的社会环境下，死亡率、生育模式、女性比例、婴儿存活率是可以假设为不变的故A(t)=A,B(t)=B为常数矩阵。从而，x(t+1)=(A+B(t).B)x(t)(3.14)只要总生育率0(t)确定下来，则人口的变化规律就可以确定下来。为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标：人口总数：N(t)=瓦x(t)ii=0人口平均年龄：R(t)=J、区i.x(t)TOC\o"1-5"\h\zN(t)ii=0平均寿命：S(t)=区exp[-工d(t)]，这里假定从第t年分析，如果以后每年的死ij=0i=0亡率是不变的，即：d(t)=d(t+1)=...ii+1则£d(t)表示t年出生的人活到第j+1年期间的死亡率，这也表明其寿命为jii=0岁，j=l,2...m.而exp(-丈d(t))表示寿命。ii=0通过求出x(t)的变化规律，就可以对上面引入的3个指标进行更具体的分析，从而对人口的分布状况、变化趋势、总体特征等有科学的认识和把握。具体求解分析这里不再进行。模型5线性时间离散弥漫网络模型引言：一个国家在一定时间段内的财富依赖于许多因素，不同国家的相互交流是重要的方面。建立数学模型，表现国家财富的变化与国家间财富的流动之间的关系。模型假设：设有n个国家，用u(t)表示在时期t${0,1,2,...}的财富。假设只考虑这些国家i之间仅仅两两国家之间有交流关系。并且假设财富流动的系数是丫。模型的建立：国家间的财富关系应当满足u(t+1)-u(t)=y(u(t)-u(t))+y(u(t)-u(t))121n1u(t+1)-u(t)=y(u(t)-u(t))+y(u(t)-u(t))21232TOC\o"1-5"\h\zu(t+1)—u(t)=y(u(t)一u(t))+y(u(t)一u(t))

n-1n-1n-2n-1nn-1u(t+1)—u(t)=y(u(t)—u(t))+y(u(t)—u(t))

nn1nn-1n用矩阵形式表示：令u(t)=(u⑴,u⑴,……,u(t))/表示时期t各个国家的财富状态;12n

_2—100.0—「—12—10.000—12—1.002.—10000..12—1—1000.0—12令A=n则有：u(t+i)二(I—yA)u(t)n(3.10)记A=则有：u(t+i)二(I—yA)u(t)n(3.10)记A=I—yA，则nn~tu(t)二Au(o)n(3.11)模型计算与分析：计算可知An的特征值为；k兀九仏)=4sin2,1<k<n,n的特征值为对应的特征向量为其中1.2km兀.2km兀、v(k)=(cos+sin)m<'nnn为讨论方便起见，引入如下记号：k兀1一丫入(k)=1—4ysm2——nv(k)=(v(k),,v(k))/1<k<n1九(n)=0,V(n)=丄(1,1,…,1)/n则有：n九(0)=九(n),V(0)为偶数时：1■v'n(1,1,...1)/,0=X(0)=k(n)<...<k(k)=k(n—k)<...<九(2一》=X(2+1)<...<九(2)=九(”-2)=4,n为奇数时：n—1n+10=九(0)=九(n)<..<九(k)=九(n—k)<..<NJ=X(2)<4记：V为由V(k),V(n-k)张成的子空间，k贝y：u(0)=£]<v(k),u(0)>v(k)k=0

u(t)=Au(0)=艺<v(k),u(0)>Av(k)nnk=0=2(1一九(k)Y)t<v(k),u(0)>v(k)k=on=2工(1一九(k)Y)t<®,u(0)k=0叹卩£由此式进一步分析可以获得：当tfg时，u⑴的渐进变化状态规律(略)。n模型6金融问题的差分方程模型1、设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是J,今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？1模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。模型假设：设贷款后第k个月后的欠款数是A元，月还款为m元，月贷款利息kr为r=12。模型建立：关于离散变量A，考虑差分关系有：kA+rA=A+m，kkk+1即：A=(1+r)A—m(3.15)k+1k这里已知有：A=100000,A=0024模型求解：令B=A—A，则B=B(1+r)=B(1+r)k-1kkk一1kk一11A=A+B+B+...+Bk012k=A+B[1+(1+r)+...+(1+r)k—1]01m=A(1+r)k—[(1+r)k—1],k=0,1,2,...0r这就是差分方程(3.15)的解。把已知数据A,r代入A=0012n中，可以求出月还款额m。例如：A=10000,r=0.0052125,n=2时，可0以求出：m=444.356元。模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。m如果令A=A，则A=—，并且krmmm当A=时，总有A=，即表明：每月只还上了利息。只有当A<时，0rkr0r欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。2、养老保险模型问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第k月止所交保费及收益的累计总额为F，每月收益率为r，用p、q分别表示60岁之前和k之后每月交费数和领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。模型建立：在整个过程中，离散变量F的变化规律满足：kF二F(1+r)+p,k二0,1,...,N-1<k+1kF二F(1+r)-q,k=NM'k+1k在这里F实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数k值，我们关心的是，在第M个月时，F能否为非负数？如果为正，则表明保险公M司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量F，很好地刻画了整个过程中资金的变化关系，特别是引入收益率r，虽k然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为75岁，则有p=20,q=2282;N=420,M=600，初始值为F=0，我们可以得到：0F=F(1+r)k+p[(1+r)k-1],k=0,1,2,..,Nk0rF=F(、1+r)k-n-纟[(1+r)k-n-1],k=N+1,...,MkNr在上面两式中，分别取k=N,和k=M并利用F=0可以求出：M(1+r)m-(1+—)(1+r)M一N+—=0pp利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的跟为：r=0.00485同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为r=0.00461,r=0.00413练习题：1、金融公司支付基金的流动模型：某金融机构设立一笔总额为S540万的基金，分开放置位于A城和B城的两个公司，基金在平时可以使用，但每周末结算时必须确保总额仍为S540万。经过一段时间运行，每过一周，A城公司有10%的基金流动到B城公司，而B城公司则有12%的基金流动到A城公司。开始时，A城公司基金额为S260万，B城公司为S280万。试建立差分方程模型分析：两公司的基金数额变化趋势如何？进一步要求，如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于S220万，那么是否需要在什么时间将基金做专门调动来避免这种情况？

2、某保险公司推出与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为：如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20岁至60岁，则在他生存期间，45岁时（投保满5年）可获返还补贴4000元，50岁时（投保满10年）可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴。另外，在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元。试建立差分方程模型分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？而寿命若为74岁时，实际年利率又是多少？3、Leslie种群年龄结构的差分方程模型已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。（1）假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；（2）讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？（3）假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？4、按年龄分组的种群增长一般模型及灵敏性分析对在问题3中的模型做进一步的拓广。对于某种群建立数学模型分析其数量变化规律，。这里分析的对象是特定的种群，变化过程可以按相等间隔的时段末来记录。为了精确表现种群的变化，自然需要将种群进行分类，不妨按与时间段长度相同的年龄进行分组。为了简化模型，