全国卷高考复习平面向量(知识总结题型)

第一部分 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又后力向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作_0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为土;|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只后相等或/、等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向里和的运算a三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a+b=b+a.(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量—b的和的运算叫做a与b的差三侑形法刖a-b=a+(—b)数乘求实数人与向量a的积的运算(1)|入a|=入|a|;(2)当入＞0时，入a的方向与a的方向相同；当入v0时，入a的方向与a的方向相反;当入=0时，入a=0入(a)=入法a；(入+)a=入a+jia；入(a+b)=[a+入b3.共线向量定理向量a(aw0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数 入，使得b=la.【基础练习】

.判断正误（在括号内打或TOC\o"1-5"\h\z（1）零向量与任意向量平行.（ ）（2）若a//b,b//c,则allc.（ ）（3）向量XB与向量CD是共线向量，则AB,C,D四点在一条直线上.（ ）⑷当两个非零向量a,b共线时，一定有b=入a,反之成立.（ ）（5）在^ABC中，D是BC中点，则称2（超届.（ ）.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a,b都是单位向量，则a=b；③向量ABWBAK等.则所有正确命题的序号是（ ）A.①C.①③D.①②A.①C.①③D.①②3.（2017•枣庄模拟）设D为△ABC所在平面内一点,若BC=入DC入eR),则入=（ ）A.2B.3C.-2D.-3A.2B.3C.-2D.-34.(2015•全国n卷）设向量a,b不平行，向量入a+b与4.(2015•全国n卷.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC^BD相交于Q且OA=a,OB=b,则DC=,BC=（用a,b表示）.1 2 7.（2017•嘉兴七校联考）设口E分别是△ABC勺边AB,BC上的点，AD=4ABiBE="BC；若DE2 3=入iAB+入2AC入1,入2为实数），则入1=,入2=.考点一平面向量的概念［例1］下列命题中，不正确的是（填序号）.①若|a|=|b|,则a=b；②若A,B,C,D是不共线的四点，则"AB=DC'是"四边形ABC而平行四边形”的充要条件；③若a=b,b=c,则a=c.【训练1】下列命题中，正确的是（填序号）.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 ^解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

TOC\o"1-5"\h\z③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 .答案③考点二平面向量的线性运算… _ , 一I …一，一 1【例2】(2017•潍坊模拟)在△ABN,P,Q分别是ARBC的三等分点，且AP=-A^BQ=31 — — —0C若AB=a,AC=b,则PQ=( )3A-3a+1b B.-ga+3bc.3a4 D.-3a-3b【训练2](1)如图，正方形ABC碑，点E是DC的中点，点F是BC的一个nEc-靠近B点的三等分点，那么EF等于( ) \C.考点三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b).求证：AB,D三点共线；(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【训练3】已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,Cb=-3a+3b,贝版)A.A, B, C三点共线 B.A, B, D三点共线C.A, G D三点共线 D.B, C, D三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数入1,入2,使a=入入2e2.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ..平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解 ^.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(X1,y。,b=(X2,、4,则

a+b=(X1+X2,yi+y2),a-b=(xi—X2,y「y2),入a=(入xi,入yi),|a|='x；+y2.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 ^②设 A(xi, yi) , B(X2, y2),则AB=(X2—Xi, y2—yi), |AB=,(X2—Xi)~~( y2—yi)~2.平面向量共线的坐标表示设a=(Xi,yi),b=(X2,y2),贝Ua//b?Xiy2—X2yi=0.【基础练习】i.(20i7•东阳月考)已知向量i.(20i7•东阳月考)已知向量a=(24),b=(—i,i),则2a+b等于( )A.(5，7)A.(5，7)B.(5,9)C.(3，7)D.(3,9)2.(20i5-2.(20i5-全国I卷)已知点A(0,i),B(3,2),向量AC=(—4,-3),则向量BC=(A.(—7—4)B.(7A.(—7—4)B.(7，4)C.(-i,4)D.(i，4)3.(20i6全国n卷)已知向量a=(m4),b=(3,-2),且a//b,则m=4.(必修4Pi0iA3改编)已知？ABCD勺顶点A(-i,—2),R3,—i),C(5,6),则顶点D的坐3.(20i6标为.考点一平面向量基本定理及其应用【例U(20i4•全国I卷)设D,E,F分别为△ABC勺三边BCCAAB的中点，则EB+Fb=TOC\o"1-5"\h\za.AD b=AD c.；BC d.Bc /——「一【训练i】如图，已知AB=a,AC=b,BD=3DC用a,b表不'AQ则AD=.8 DC考点二 平面向量的坐标运算【例2】(i)已知向量a=(5,2), b=(-4, —3), c=(X,y),若 3a-2b+c=0,贝U c=( )A.(—23,—i2) B.(23,i2)C.(7,0) D.(—7,0)【训练2】(i)已知点A(-i,5)和向量a=(2,3),若A屋3a,则点B的坐标为( )A.(7,4)C.(5,4)(2)(20i5•江苏卷)已知向量A.(7,4)C.(5,4)(2)(20i5•江苏卷)已知向量a=(2,i),b=(i,B.(7,i4)D.(5,i4)-2).若na+nb=(9,—8)(rqnCR),则m—n的值为考点三 平面向量共线的坐标表示—n的值为考点三 平面向量共线的坐标表示【例3】(i)已知平面向量a=(i,2),b=(-2,n),且a//b,则2a+3b=(2)(必修(2)(必修4P101练习7改编)已知A2,3),B(4,—3),点P在线段AB的延长线上，且|AP3 ，一=/IBp,则点P的坐标为【训练3】【训练3】(1)(2017•浙江三市十二校联考)已知点A(1,3),B(4,—1),则与AB同方向的单位向量是( )A.5'B.5'C.D.55A.5'B.5'C.D.55,(2)若三点A(1,—5),Ra,—2),q—2,-1)共线，则实数a的值为第三部分 平面向量的数量积及其应用.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a和b,记OA=a,OB=b,则/AOB=0(0°<0<180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a与b,它们的夹角为e,则数量|a||b|cos_旦叫做a与b的数量积(或内积)，记作a-b,即a•b=|a||b|cos_9_,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0•a=0.(3)数量积几何意义：数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cose的乘积..平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(X1,y0,b=(X2,y2),0为向量a,b的夹角.(1)数量积：a•b=|a||b|cos0=X1X2+yy2.(2)模：|a|=7aa=7X+y2.a,b X1X2+丫乎⑶夹角：cose=-7—7=r-2——2 A-^.|a||b|4X1+y1•、X2+y2(4)两非零向量si±b的充要条件：a•b=0?X1X2+y1y2=0.(5)|a-b|<Ia||b|(当且仅当a//b时等号成立)？|X1X2+yy[w^X1+y!•^X2+y2..平面向量数量积的运算律： (1)a・b=b•a(交换律).(2)入a•b=入(a•b)=a•(入b)(结合律).(3)(a+b)•c=a-c+b-c(分配律).【基础练习】.(2015•全国n卷)向量a=(1,—1),b=(-1,2),则(2a+b)•a等于( )A.-1 B.0 C.1 D.2.(2017・湖州模拟)已知向量a,b,其中|a|=:，|b|=2,且(a—b)，a,则向量a和b的夹角是..(2016•石家庄模拟)已知平面向量a,b的夹角为等,|a|=2,|b|=1,则|a+b|=.35.(必修4P104例1改编)已知Ia|=5,Ib|=4,a与b的夹角0=120°,则向量b在向量a

方向上的投影为.6.(2017•瑞安一中检测)已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中 a=(1,2),|b|=1,且a+b与a—2b垂直，则向量a-b=；a与b的夹角0的余弦值为.【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知)|AB=6,|雨=4,若点MN满|AB=6,|雨=4,若点MN满足bm=3Mcdn=2Nc则aunW于()A.20 B.15 C.9 D.6D,E分别是边AB,BC的中点,(2)(2016•天津卷)已知△ABCD,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则祚•BC%直为(5一8181C.4)11D.万【训练1】(1)(2017・义乌市调研)在RtAABC^,/A=90°,AB=AC=2,点D为AC的中点，点E满足BE=1BC则AE-BD= 3(2)(2017•宁波质检)已有正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点，则DE-CB勺值为；DE-DC勺最大值为.考点二平面向量的夹角与垂直TOC\o"1-5"\h\z【例2】(1)(2016•全国n卷)已知向量a=(1,m,b=(3,—2),且(a+b)，b,则m( )A.—8 B.-6 C.6 D.8(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a