数学分析申大维-2015-16chap7第12次

§11§11问题的提出:求空间中给定一点M(abc)到曲面Gxyz0的最短距离问题可化为求函数uf(xyz(xa)2yb)2(z的最小值问题,但其中x,y,G(x,y,z)0minf(x,y,G(x,y,z)（ConstrainedObjectiveConstrainedh(x,y,z)例求函数fxyz(xa)2yb)2(zc)2求点M(a,bc)到曲线:gxyz0条件G(x,y,z)0下的最小值问题.设P0x0y0z0)是所求条件极值问题的最小值点,几何直观上可知必有MP0垂直于曲面Σ,即MP0平行于曲面Σ在P0点的法向量n.注意：ngradG(x0,y0z0nP0(x0,y0,z0gradf(x0,y0,z0)2(x0a,y0b,z0c)MP0n在P0点gradf与gradG平行PP0x0,y0,z0对特定函数fx,yz(xa)2yb)2(zc)2，minf(x,y,G(x,y,z)0在P0点gradf与gradG平行.即存在,使得gradfP0)gradGP0). 设函数f(x,y,z)，g(x,y,z)均有连续的一阶偏导数，且gradg(x,y,z)→.若P0(x0,y0,z0)是函数f(x,y,z)在限制条件g(x,y,z)0下的一个极值点，gx0y0z00且gradfP0)与gradg(P0)线性相关，即存在常数，使得P0x0y0z0满足方程组fg0,fg0,fg0,g(x,y,z) 定理设函数fx,yz)gx,yz)均有连续的一阶偏导数，且gradgxyz.若P0x0,y0z0)是函数fxyz在限制条件gxyz0下的一个极值点，则gx0y0z00且gradfP0)与gradgP0)线性相关，即存在常数，使得P0x0,y0z0满足方程组fg0,fg0,fg0,g(x,y,z) 为便 ,引入一个新的函L(x,y,z,)f(x,y,z)g(x,y,称之为Lagrange函数,其中称为Lagrange乘数LLx,y,z)fx,yz)gx,yz) Lxfxgx0,Ly0,Lz0,Lg(x,y,z)这恰好是函数fxyz在限制条件gxyz0下的条件极值点P0x0,y0,z0)必需满足的条件. 求f(x,y,z)在限制条件g(x,y,z)0下的条件极值点的一般方法——Lagrange乘数法Lagrange函数Lx,yzfx,yzgx,yLx0Ly0Lz0L0,xyz)四个未知量:xyz；四个方程推广：函数fx,yzt)在两个限制条件x,yz,t0x,yzt)0下的条件极值点必满足相应的函数Lx,yzt)的直接极值的必要条件L(x,y,z,t,,)f(x,y,z,t)(x,y,z,t)(x,y,z,t六个未知量:x,y,z,t,;六个方程例求空间中一点P0x0,y0z0)到平面:AxByCzD0的最短距离解考虑函数fx,yz(xx0)2yy0)2(zz0)2在限制条件gxyzAxByCzD0下的目标函数：f目标函数：f(xyz(xx0)2yy0)2(z限制条件gx,yz)AxByCzD0；解做Lagrange函数L(x,y,z,)f(x,y,z)g(x,y,z)令Lx2(xx0)Axx01L2(yy)B2y0Lz2(zz0)Cyy102LAxByCzDzzC102Ax0By0Cz0D)根据问题的几何意义2A2B2Cx,yz)P0s f(x,y,z)2(A2B2C2)/4例求抛物线yx2与直线xy2之间的最短距离.解法一考虑函数fxyuvxu)2yv)2在限制条件yx20,uv20下的最小值问题.在x0y0,u0,v0)点取到.由Lagrange乘数法,令L(x,y,u,v,,)(xu)2(yv)2(yx2)(uv2)x0y0u0v0满足Lx2xu2xLy2(yv)0Lu2(xu)0Lv2(yv)0,Lyx20,Luv2解出x01,y01,u011,v05724884故fxyu,v)fx0y0u0v09864所求最短距离为d9872 解法二考虑函数解法二考虑函数xuxu)2x2(u2)]2xu的直接极值问题解法 已知XY平面上任一点(x,y)到直xy20的距离为dfx,y1xy2)2在限制条件yx202,因此,考虑函22Lxxy22x0Lyx20解出x01,y0124由此可知抛物线yx2与直xy2之间的最短距离为df(1,1)72 xy例在曲面 b2x2y2z21x0,y0z0)一点P0x0,y0z0),使过P0点的切平面与三个坐标解设Muvw)是Σ上任一点，过M的切平面方u(xuvyvw(zw0,即uxvywz c该切平面在X轴,Y轴,Za2,b2,c2 所围四面体的Va2b2c2在限制条(u,vw下求V的最小值可化为在同一限制条件下求函数f(uvw)uvw的最大值.令令L(uvwuvw(u2v2w21Luvwa2 解出3uvw2Lvuw2v从而得出ua,vbLwuv2wc wcLu2v2w21 3故当切点P0x0y0z0)abc 四面体的体积V最小, 1a2b2c23abc6x0y0 例h为圆柱形的货仓当容积在V一 法一min(2RHRR2h2R2H1R2h3由R2H1R2hVHV13R3带入目标函数，转R0h0的情况下求fRh2V2RhRR2h2直接 例求例求二次型f(x1,x2 ni,nx1,x2 xnn|xi21上的最大与最小值i一、设二元函 f(