纺织数理统计第一讲

欢迎同学们！2012.9.14主讲：顾伯洪高晶助教：潘忠祥电话：67792661(82661)

办公室：纺织楼4027Score20%homework40%mid-term40%finalCalculating0.9040.3490.0020.000980.00036TextileprocessingMulti-factorsNon-linearrelationshipsTextileQualityFiberYarnsFabricsClothingHigherqualityHighqualityforfiber,yarnandfabricHighqualityformanufacturingHighqualitymachineryOptimizationQualitydesignAestheticdesignDoyourbest概率论与数理统计概率论－事件发生的可能性数理统计－用数据来分析对象满足的概率规律一、必然现象与随机现象1、确定性现象或必然现象在一定条件下肯定会发生某种确定的结果如水100ºC沸腾，苹果从树上掉落，导线通电发热2、随机现象或偶然现象即使条件一定，结果也不可预测如掷一枚硬币，出现正面或反面？买一张彩票，是否中奖？射击运动员射中的环数？第一章随机事件与概率§1.1样本空间随机事件随机现象，从表面上看，似乎是不可捉摸，其实不然，人民通过实践观察并且证明，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验，结果总能呈现某种规律性，我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性。要面对随机现象进行研究，还有一些要求。二、随机试验与随机事件随机试验是对随机现象进行试验或观察，具有如下特点：1、试验可以在相同条件下重复进行2、每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个3、每次试验之前不能预知将会出现哪一种结果当目的不同时，结果也会有不同。如天气：下雨或不下雨。晴、多云、阴、小雨、大雨等。随机试验的每个结果称为随机事件。一般用大写英文字母A、B、C等表示。例如在0、1、2、…、9中任取一数。A表示取到0，B表示取到5，C表示取到奇数，D表示取到3的倍数。它们都是随机事件。不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如A,B能分解为其它事件的事件称为复合事件。如C,D每次试验一定发生的事件称为必然事件。如骰子点数大于0一般用Ω表示必然事件。每次试验一定不发生的事件称为不可能事件。如骰子点数大于9一般用φ表示不可能事件它们是随机事件的特例。为了研究的方便，引入随机试验的样本空间概念。例如掷一颗骰子，任一随机事件A都是样本空间Ω的一个子集必然事件等于样本空间，记作Ω不可能事件是不包含任何样本点的空集，记作φ基本事件就是仅包含单个样本点的子集。随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω,即样本空间例如随机事件都是样本空间的子集三、事件间的关系及运算1、事件的包含若事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每个样本点也属于B,则称事件B包含事件A。等价的说法是：B不发生，则A也不发生。例如A={4},B={2,4,6},则AB记作BA或AB对任何事件A,有φ

AΩA用图形表示，即B文氏图VennDiagram2、事件的相等若AB且BA，称事件A与B相等。即A与B中的样本点完全相同。记作A=B掷一颗骰子A表示点数小于3，B表示点数为1或2则A=B3、事件的并（和）两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”，是一个事件，称为A与B的并（和）。它是由A与B的所有样本点构成的集合。记作A+B或A∪B掷骰子之例中，若A={1,2,3},B={1,3,5}则A∪B={1,2,3,5}集合的运算规律对事件也成立，如A∪B=B∪A,(A∪B)∪C=A∪(B∪C)A∪BA,A∪BBA∪φ=A,A∪Ω=Ωn个事件A1,…,An中至少有一个发生，是一个事件。称为事件A1,…,An的和。记作A1+…+An或A1∪…∪An可列个事件A1,A2,…,An,…中至少有一个发生称为事件A1,A2,…,An,…的和若A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3,4}则A+B+C={1,2,3,4,5}用图形表示，即AB4、事件的交（积）两个事件A与B同时发生，即“A且B”,是一个事件。称为事件A与B的交（积）。它是由A与B的公共样本点构成的集合。记作AB或A∩B如A={1,2,3},B={1,3,5}则AB={1,3}它也有运算律：A∩B=B∩A(A∩B)∩C=A∩(B∩C)A∩BAA∩BBA∩φ=φA∩Ω=A也可定义多个事件的交。交与并运算还满足分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)用不同的记号，可写为(A+B)C=AC+BC(AB)+C=(A+C)(B+C)用图形表示，即BA5、事件的差事件A发生而事件B不发生，是一个事件，称为事件A与B的差。它由属于A但不属于B的所有样本点组成。记作A-B如：A={1,2,3},B={1,3,5}则A-B={2},B-A={5}用图形表示即BA6、互不相容事件若A与B不能同时发生，即AB=φ称事件A与B互不相容或互斥。互斥事件没有公共的样本点。基本事件间是互不相容的。如A={1,2,3},B={1,3,5},C={4,5}A与C是互不相容的。A与B是相容的。用图形表示即AC7、对立事件事件“非A”,即A不发生，称为A的对立事件。也称为A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成。记作Ā如A={1,2,3},Ā={4,5,6}易见AĀ=φ,A+Ā=ΩĀ=Ω-A=AA用图形表示ΩĀ事件的运算性质(与集合运算类似)(2)结合律：(1)交换律(3)分配律：(4)德摩根定律：对n个事件，有：例1

从一批产品中每次取出一个产品进行检验，事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的运算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到合格品，三次中最多有一次取到合格品。解：三次全部取到合格品：A1A2A3三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3三次中恰有两次取到合格品三次中至多有一次取得合格品例2

设x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置，试说明下列各事件的关系：A={x|x≤20}B={x|x>3}C={x|x<9}D={x|x<-5}E={x|x≥9}解：ACD,BED与B,D与E互不相容C与E为对应事件。B与C，B与A，E与A相容A与C,A与D,C与D,B与E也是相容的。符号 集合含义 事件含义Ω

全集 样本空间，必然事件Φ

空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 样本点{ω} 单点集 基本事件AΩ

一个集合 一个事件AB A的元素在B中 A发生导致B发生A=B 集合A与B相等 事件A与B相等A∪B A与B的所有元素 A与B至少有一个发生A∩B A与B的共同元素 A与B同时发生Ā A的补集 A的对立事件A-B 在A中而不在B中的元素 A发生而B不发生A∩B=φ

A与B无公共元素 A与B互斥§1.2随机事件的频率与概率的定义及性质1、随机事件的频率概率的统计定义。在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性。定义1设随机事件A在n次试验中发生了次，则比值称为随机事件A的频率，记作，即当试验次数n充分大时，随机事件A的频率常在某个确定的数字附近摆动。著名的统计学家进行过的抛硬币试验结果：试验者抛硬币次数n正面朝上次数nA频率fn(A)BuffonFisherPearsonPearson4040100001200024000204849796019120120.50690.49790.50160.5005结果表明，在抛硬币的试验中，“正面朝上”这一随机事件A的频率fn(A)稳定在数字0.5的附近。频率fn(A)的性质：(1)非负性：fn(A)>=0。因为，在n次试验中随机事件A发生的次数nA>=0，所以：fn(A)=nA/n>=0(2)规范性：fn(Ω)=1。因为，在n次试验中事件Ω发生的次数nΩ=n，所以：fn(Ω)=nΩ/n=1概率的统计定义随机事件A在试验中发生的可能性大小的数字p就是随机事件A的概率，记作P(A),即P(A)=p。当试验次数n充分大时，随机事件A的频率fn(A)将在概率P(A)附近摆动，所以：P(A)≈Fn(A)随机事件的这个定义通常称为概率的统计定义。年份新生儿总数男婴儿数女婴儿数男婴概率女婴概率197736701883 178751.31 48.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年总计31394161461524851.4848.52可以认为生男孩的概率近似值为0.515这种概率只能通过统计得出。如某妇产医院几年间出生婴儿的性别记录为：2、概率的公理化定义3、概率的性质上式通常称为概率加法公式。例1

掷一枚硬币，出现正面的概率解：设硬币是均匀的只有正、反面两个基本事件。若A表示出现正面。解：为简便，每位数字有10种选择。基本事件总数是106。事件A表示找到张某，则A只有一个基本事件。例2

随意拨一个六位电话号码，正好找到朋友张某的概率。4、关于概率的一些解释。(1)硬币出现正面的概率为(2)概率不会自动“平衡”是指多次试验中正面出现的频率接近而不是多次试验中正面出现的次数接近一半。如 总次数10