高中数列讲解课件

Day1:等差数列&等比数列morning:通项公式Day1:等差数列&等比数列morning:通项公式2022/10/162数列引入：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上通过画点发现了一连串具有规律的数，后人将这些按一定顺序排列的数称为数列。（1）（4）（9）（16）a1a2a3a4上面就是著名的正方形数，通过观察可以得到它们可以表示为：这里的a1,a2,a3,...,an,...就是数列的一般形式,简记为：{an}从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相同的数列叫做常数列；而有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的叫做摆动数列。an=n²2022/10/112数列引入：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家2022/10/163数列{an}可以用一个式子来表示第n项和序号n之间的

关系，这个式子就是数列的通项公式。观察下面几列数的通项公式：（1）1,2,3,4,5,6，....，n,...（2）10,9,8，....，-1，-2，....（3）2,22，

23，24，25，....（4）10,20,30，...,1000，...（5）1，-1,1，-1，....（6）5，6,8,9,100，...-1，....an=n(n∈N）an=11-n(n∈N)an=2n(n∈N）an=n*10(n∈N）an=1,n∈奇数-1，n属于偶数总结：（1）由第6个小题可以看到，并不是每一个数列都可以用一个通项公式来表示。

（2）若数列中被排列的数相同，但次序不同，它们不是同一数列。如:数列（7）4，5，6，7，8，9，10。

数列（8）10，9，8，7，6，5，42022/10/113数列{an}可以用一个式子来表示第n项2022/10/16

总结：（3）有些数列的通项公式并不唯一。

例如上述的数列（5）也可以表示为

（4）数列并不都是无穷的，它可分为有限数列和无穷数列两种。Practice:（1）1,3,5,7,.....

（2）2,4,6,8,10，....

（4）Key:an=2n-1;an=2n

2022/10/11总结：（3）有些数列的通项公式并不唯一2022/10/16·等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。·公差：每两项相差的常数,通常用d表示。·等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时A就叫做a和b的等差中项。A=（a+b)/2推导过程：∴等差数列的通项公式可以表示为：an=a1+(n-1)d.计算时也会用到：an=an-1+d.

2022/10/11·等差数列：从第2项起，每一项与它的前一2022/10/16例1:⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20=8+(21-1)×(-3)=-49⑵由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为a=-5+(-4)*(n−1)=−4n−1,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解:令a1=10，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=10，此时需要支付车费a10=10+(14-4)×1.2=22元答：需要支付车费22元。Practice:(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;(3)已知d=-3,a5=8,求a1;(4)已知a1=12,a6=27,求d。2022/10/11例1:⑴求等差数列8，5，2，…的第202022/10/16

（5）如果一个三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角度是多少度？·等差数列的前n项和推导：【倒序相加法】∴等差数列的前n项和为：Sn=na1+n(n-1)*d/2或Sn=n(a1+an)/22022/10/11（5）如果一个三角形的三个内角2022/10/16例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金，其中a1=500，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为Sn=10*500+10*(10-1)*50/2=7250（万元）答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.Practice:（1）a1=20,an=54,Sn=999,求d及n;（2）d=2,n=15,an=-10,求a1及Sn；（3）某同学给自己制订了七天的长跑计划，第一天跑500米，以后每一天比前一天多跑500米，求这七天他一共跑了多少米？2022/10/11例1、2000年11月14日教育部2022/10/162022/10/112022/10/16·等比数列：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数。·公比：后一项与前一项的比，通常用q表示。·等比数列的通项公式：an=a1*qn-1注意：等比数列公比q是任意常数,可正可负；首项a1和公比q均不为0.·等比数列的前n项和：Sn=na1,(q=1)Sn=a1(1-qn)/(1-q)，(q≠1）例3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.解：由题意知a3=12,a4=18,得：q=18/12=3/2∴a2=a3/q=12/(3/2)=8a1=8/(3/2)=16/3Practice:

(1)如果一个等比数列前5项和等于10，前10项和为50，那么它的前15项和为多少？

(2)某市近十年的国内生产总值从2000亿元开始以每年10%速度增长，这个城市近十年的国内生产总值一共多少？2022/10/11·等比数列：如果一个数列从第2项起,每Day1:等差数列&等比数列afternoon:求和总结Day1:等差数列&等比数列afternoon:求和总结2022/10/16求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：直接法倒序相加法错位相减法分组转化法裂项相消法“an”法(公式法)2022/10/11求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：直2022/10/16一、公式法求和：1．（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和。

公比含字母是一定要讨论

（2）利用公式法求和

2022/10/11一、公式法求和：（2）利用公式法2022/10/16运用公式求和注意项数正确怎么求?2022/10/11运用公式求和注意项数正确2022/10/162．错位相减法求和：

例．已知数列求前n项和。

2022/10/112．错位相减法求和：2022/10/16错位相减法尝试!当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和适用错位相减法.2022/10/11错位相减法尝试!当{an}是等差数列，{2022/10/162022/10/112022/10/16三．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：

2022/10/11三．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项2022/10/162022/10/112022/10/16分析:裂项后使得中间一些项互相抵消从而容易求和,这种方法叫做裂项相消法.1nx(n+2)的前n项的和。例.求数列11x3、12x4、13x5…解：11x3+12x4+sn=1nx(n+2)13x5+1(n-1)x(n+1)…+裂项公式是：1nx(n+k)=k1n1n+k1()-11-31()+21=21-41()+31-51()+[….n1n+21()-]=211121+-n+11-n+21()=432(n+1)(n+2)1-2022/10/11分析:裂项后使得中间一些项互相抵消从2022/10/16关键是变形!2022/10/11关键是变形!2022/10/16裂项相消法求和(1)求和

(2)求和2022/10/11裂项相消法求和(2)求和2022/10/162022/10/112022/10/162022/10/112022/10/16方法四——分组法2022/10/11方法四——分组法2022/10/16拆开重新组合再求和2022/10/11拆开重新组合再求和2022/10/16

2022/10/11

2022/10/162022/10/112022/10/16分析:拆项分组后构成两个等比数列的和的问题,这样问题就变得容易解决了.解：原式=(x+x2+x3+…+xn)+()y1y21+++…+y31yn1=x(1-xn)1-x+y1yn1(1-)1y1-=x(1-xn)1-x+yn-1(y-1)yn2022/10/11分析:拆项分组后构成两个等比数列的和2022/10/16方法五．合并求和：例：

解：原式=（100-99）（100+99）+（98-97）（98+97)+……+（2-1)(2+1）

=100+99+98+97+……+2+1=50502022/10/11方法五．合并求和：例：

解：原式=（102022/10/16方法六——倒序相加法2022/10/11方法六——倒序相加法2022/10/162022/10/112022/10/167．其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。2022/10/117．其它求和方法2022/10/16例.设数列{an}的前n项和为sn

，若an=(-1)n-1(2n-1),则s17+s23+s50

的值是多少？解：sn=1-3+5-7+9-11+……+(-1)n-1(2n-1)=(-2)+(-2)+(-2)+……当n为偶数2k时S2k=(-2)k当n为奇数2k+1时S2k+1=S2k+a