弹性力学 第二章

弹性力学课件第二章第1页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三3.几何方程刚体位移形变和位移之间的关系：位移确定，形变完全确定；形变确定，位移不完全确定。

第2页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三4.物理方程平面应力问题平面应变问题第3页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三§2-6边界条件边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系，是力学计算模型建立的重要环节。

边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。第4页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三边界分类：（1）位移边界三类边界1.位移边界条件

位移分量已知的边界——位移边界。——平面问题的位移边界条件说明：当u=v=0时,称为固定位移边界。（2）应力边界（3）混合边界用表示边界上的位移分量，u,v表示弹性体位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：(a)第5页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三

位移边界条件的说明： ⑴它是函数方程，要求在上每一点s，

弹性体位移与对应的约束位移相等。 ⑵若为简单的固定边，u=v=0,则有 （在

上）。 ⑶它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。(b)第6页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三设在上给定面力分量2.应力边界条件在§2-3中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件：（在上）(c)(d)此式表示了弹性体边界上内力于外力之间的平衡关系。第7页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三应力边界条件的说明：⑴它是边界上微分体的静力平衡条件；⑵它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；⑶式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界

s上成立；⑷式（d）中，σx,σy,τxy─按应力符号规定，

fx、fy─按面力符号规定；⑸位移、应力边界条件均为每个边界两个，分别表示

x、y方向的条件；⑹所有边界均应满足，无面力的边界（自由边）

fx=fy

=0,也必须满足。第8页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三(e)当边界面为坐标面时，若x=a为正x

面，l=1,m=0,则式(d)成为第9页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三若x=-b为负x

面，l=-1,m=0,则式(d)成为(f)第10页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三

应力边界条件的两种表达式：

⑴在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得出应力边界条件； ⑵在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一致）。即在同一边界面上,应力数值应等于面力数值(给定),应力方向应同面力方向。第11页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 例如：在斜面上，

在

±坐标面上，由于应力与面力的 符号规定不同，故表达式有区别。平行于边界面的正应力，它的边界值与面力分量并不直接相关。第12页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例1列出边界条件：

y第13页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三第14页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例2列出边界条件：第15页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三第16页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三3.混合边界条件⑴部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；⑵同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。第17页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例3列出x=a

的边界条件：x=a,(u)x=a=0,(τxy)x=a=0.第18页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三思考题：试写出如下几个问题的边界条件。第19页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，(思考题图中（a）)。2、证明在无面力作用的0A边上，σy不等于零（思考题图中(b)）。3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（思考题图中(c)）。4、试导出在无面力作用时，AB边界上的σx

,σy

,τxy

之间的关系。（思考题图中（d））。5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并进一步说明它们的解答的异同。第20页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三§2-7圣维南原理及其应用弹力问题是微分方程的边值问题。应力、位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。第21页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三1.静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。2.圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。第22页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三

圣维南原理的说明： 1、圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）； 2、静力等效─指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同； 3、近处─指面力变换范围的一、二倍的局部区域； 4、远处─指“近处”之外。第23页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例1比较下列问题的应力解答：第24页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三 圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。 圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。第25页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三例2比较下列问题的应力解答：第26页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三3.圣维南原理的应用 (1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项： (1)必须满足静力等效条件； (2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。第27页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三

圣维南原理在小边界上的应用：

如图，考虑x=l

小边界， ⑴精确的应力边界条件第28页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三(a)在同一边界x=l上，上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。第29页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三⑵圣维南原理的应用─积分的应力边界条件在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界x=l

上，应力的主矢量(Fx

,Fy

)=数值相等方向一致(b) 面力的主矢量（给定) 应力的主矩(M)=

面力的主矩（给定）第30页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三

具体列出三个积分的条件：右端面力的主矢量、主矩的数值及方向，均已给定；右端应力的主矢量、主矩的数值及方向应与右端面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。(c)第31页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三即：应力的主矢量、主矩的数值

=面力的主矢量、主矩的数值；应力的主矢量、主矩的方向

=面力的主矢量、主矩的方向。式中，应力主矢量、主矩的正方向的正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向为，即（正应力）×（正的矩臂）的方向。第32页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三

讨论：1.如果只给出面力的主矢量、主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量、主矩；2.在负x面，x=−l

，由于应力、面力的符号规定不同，应在式(c)中右端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。第33页，共35页，2022年，5月20日，9点40分，星期三