北师大版初三数学下册教案

一、学生知识状况分析学生的知识技能基础学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角互余），以及有一锐角是30°的特殊直角三角形的边角关系（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）.而通过本章的学习，学生乂掌握了一般直角三角形的边角关系和特殊角（30°,45°,60°的角）的三角函数值，并能应用三角函数知识解决相关的实际问题.学生活动经验基础学生已经经历了对特殊角三角函数值的探尢及总结过程，通过计算器进行了一般角的度数与其对应的三角函数值的互换，能把简单的实际问题转化为数学问题.因此，学生能熟练使用计算器，也具备了一定的探究能力和解决实际问题的能力.二、教学任务分析本课时是本章的复习课，主要是让学生较全面地理解本章各知识点及其联系,对本章知识形成整体认识，并能综合运用所学知识解决实际问题，同时进一步渗透“数形结合”思想.知识与技能.以问题的形式梳理本章内容，使学生能熟练运用锐角三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题..通过实例使学生掌握锐角三角函数的定义，并能熟练运用特殊角的三角函数值解题..通过练习使学生掌握利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值；由己知三角函数值求出它对应的锐角.过程与方法通过例题精讲，进一步渗透数形结合思想、化归思想、模型思想、方程思想，通过知识梳理、习题精练、小结反思,使学生积累一定的数学活动经验.情感态度与价值观在数学活动中培养学生的几何直观，发展应用意识，提高学生提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学习数学的自信心.教学重点：掌握锐角三角函数的概念和特殊角的三角函数值，并熟练运用于解直角三角形及与直角三角形有关的实际问题.教学难点：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.三、教学过程分析本节课共设计六个教学环节：知识梳理——典例精析——巩固训练一一拓展提高一一小结反思一一学习评价.第一环节知识梳理活动内容及形式：.以教材“回顾与思考”中的几个问题为抓手带领学生回顾、总结梳理本章知识，并用适当的方法（如框图、关系结构图、表格、条目式等）呈现全章知识结构：先独立整理，再与同伴交流，小组合作补充，教师点拨完善..结合主要知识点设计一组知识回顾简单练习题，学生独立完成后再与同伴交流、小组互评，教师点评.活动目的：.通过“知识梳理”，清晰展现各知识点及相互之间的联系,使全章知识系统化、条理化，促进学生较全面地理解本章相关知识，帮助学生建立良好的认知结构；.通过“回顾练习”使学生在简单应用中进一步形成对相关知识的整体认识，建构本章的知识体系.实际教学效果：学生对本章知识点及结构有了全面、清晰的认识，为下一步应用相关知识解决问题奠定了基础

回顾练习:1.如果N。是等边三角形的一个内角，那么cos。的值等于（ ）A.-2B.— C.— D.12 22.在中，2ZC=90°,BC=2,sinA=-,则AC的长是（ ）A.GB.3 C.- D-JU5.2XABC中，若sinA=巫，tanB=—,则NC二 ,2 32.在△猾€：中，ZC=90°,sinA=则tanB=.如图所示，人们从0处的某海防哨所发现，在它的北偏东60。方向,相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所北东B东南方向B处，则A、B间的距离是北东B第二环节典例精讲活动内容及形式：给出一组典型习题，学生先独立思考，提出解题思路，再由教师精讲,并对解题方法和数学思想进行归纳提升.活动目的：通过“典例精讲”，使学生进一步理解锐角三角函数的概念，熟练运用直角三角形的边角关系、特殊角的三角函数值及计算器解直角三角形及相关问题，并能将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.形成初步的数学经验和灵活快速的解题方法，提高学生综合运用知识解决问题的能力.实际教学效果：.学生能够灵活运用直角三角形的边角关系、特殊角的三角函数值及计算器解百角三角形:

.涉及斜三角形问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形问题：.能将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并能借助方程建立未知量与已知量的关系，使问题得以解决.例1.如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,CD_LAB于点D,己知AC=6，BC=2,那么sinZACD=( )" 2 26力邪A•D.— C,L/.3 3 5 2解析:将要求的角转化为与它相等的角ZACD=ZB,sinZACD=sinZB,选A变式：若将题目中“CDLAB于点D”改为“CD为AB边上的中线”，其它条件不变，选哪个答案呢？例2.在RtZXABC中，ZC=90°,根据下列条件求直角三角形中的其它元素:(1)c=20,ZA=45°; (2)a=6&,b二6几；解析：(1)已知斜边、一锐角，求两直角边和另一锐角.NB=900-ZA=45°,a=b=10及；(2)已知两直角边，求斜边和两锐角.c=12a/2,tanA=—ZA=30°,ZB=60°例3.如图在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,AC=6,D是AC上一点，若tanZDBA=-,求AD的长。5分析：关键是构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的宜角三角形中.本题已知tanZDBA=乙，所以可以过D作DE1AB于E,把NDBA放于RtADBE中，5然后根据正切函数的定义，即可弄清DE与BE的长度关系，再结合等腰直角三角形的性质，问题迎刃而解.解：过D作DE_LAB于E,△DBE和ADEA为此△DF10tanZDBE=——=-/.设DE=x则BE=5xBE5/.AB=DE+BE=6x又0AACB为等腰RtA ZA=45°/.RgDEA为等腰RtAAE=DE=x/.AD=V2x又0AC=6,/.AB=V2AC=6^26x=6y[2x=/.AD=V2x=>/2-V2=2即AD=2例4.如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西600方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.（1）问B处是否会受到影响？请说明理由.（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物.分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响,若小于200海里则不受影响.（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决.解：（1）过B作BD_LAC于D根据题意得：ZBAC=30°,在RtZXABD中BD=sin30°-AB=1AB=-x20x16=160<2002 2・・・B处会受到影响.(2)以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F(如图)则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在RtADBE中，DB=160,BE二200,由勾股定理可知DE=120,在RtZ\BAD中，AB=320,BD=160,由勾股定理可知：AD=16O>/30AE=AD-DE/.AD=160>/3-120（海里）160V3-120 ।I、/.t= =3.8（小时）40・••该船应在3.8小时内卸完货物.第三环节巩固训练活动内容及形式：.学生独立完成练习：教科书第一章复习题的1.(1)、⑵,2.(3),3.(1)、⑶4,5,7,10,12题.小组互评、教师点评.活动目的：.通过“巩固训练”深度挖掘教材中题目的数学价值,不失时机地提升学生的思维品质：.通过适量的练习让学生熟练掌握特殊角的三角函数值，巩固三角函数的相关运算，熟练利用计算器进行三角函数值及其对应的锐角度数间的互换解决简单的实际问题，提高综合运用知识解决问题的能力；.培养学生自我反馈，自主发展的意识，使学生在知识、情感和态度等诸方面得到发展实际教学效果：这些题涉及的知识点和基本方法较多，但难度不是很大，大

部分学生都能较快，较好地完成，达到了复习巩固本章主要知识和方法、提升学生思维品质的目的.第四环节拓展提高活动内容及形式：先独立思考，再小组讨论1、教科书复习题第8题：2、课外拓展题课外拓展题题目及答案:⑴公园里有一块形如四边形46co的草地，测得BC=CD=10米,ZB=ZC=120°,ZA=45°.则这块草地的面积为.解析:：连接30,过C作CE_L5O于上，QBC=DC=iO,ZABC=ZBCD=120°,/.Z1=Z2=30°,ZABD=90°.CE=5,/.BE=56QZA=45°,.\AB=BD=2BE=l。/.一Spi边杉人SCO=S△八6"+S^BCD=1xl0>/3x1073+lxl0>/3x5=(l50+25>/3)/?r.活动目的：对于学有余力的同学给『足够的发展空间；增强学生分析问题、解决问题的能力，进一步渗透化归、“数形结合”思想和方法.实际教学效果:对第8题需要小组讨论、同伴互助、老师提示完成.对于拓实际教学效果:展题,大部分学生能根据己知条件及具体问题情景需要作出辅助线，构造直角三角形,联系直角三角形的边角关系解题；通过拓展练习每个学生的解题能力都有不同程度的提高，层次较高的学生也有机会面临挑战,得到更大空间的锻炼.

第五环节小结反思第五环节小结反思活动内容及形式：让学生谈收获、需要注意的问题及疑惑，教师补充.活动目的：鼓励学生自己进行课堂小结，启发学生动脑思考、归纳、总结所学知识，加深对系统的知识体系和解题方法的印象，通过小结反思，体验成功的喜悦和探索的乐趣，让学生认识自我，增强自信心.同时培养学生用简明语言概括的能力和准确的语言表达能力，使学生把所学知识进一步系统化.实际教学效果：学生通过对本节课所学内容的归纳、总结，加深了对“直角三角形的边角关系”的整体认识和理解，第六环节学习评价活动内容及形式：课后作业.基础训练：教材复习题第2.⑴、(2),6,11,16题.巩固提高：教材复习题18、19题、放飞思维：(附后)活动目的：根据“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”理念，在设计课后学习评价时突出一个层次性，以满足不同基础水平和不同思维层次的同学的需要，使不同发展水平的学生都有收益.其中基础题主要训练学生的定向思维，培养基本技能，提高题主要培养学生思维的严谨性、深刻性；放飞题具有一定的挑战性，培养学生思维的灵活性，目的是让思维层次较高的学生跳一跳，摘得到，同时在挑战的过程中，训练学生的发散思维，培养学生的意志力.实际教学效果：各层次学生都能学有所得，学生综合运用知识解决问题的能力得到提高.选作题让学生学会根据实际背景、有限的条件进行综合分析、思考，多次分散和组合应用三角函数，并在对二角函数的应用中渗透数形结合的思想.

选做题:如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺，测倾器，（1）请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：（1）测量数据尽可能少（2）在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间的距离用m表示；如果测D、C间距离用n表示；如果测角用。、B、Y等表示，测倾器高度不变.）（3）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）分析：要设计一个测量HG高度的方案，且要求测量数据尽可能少，根据以往的经验，若已知AD的长度，再分别测在A和D两处观测的H的仰角即可求出H点距AD的高度.但要求HG的长度还需测得DC的高度，因此采用这种方法，需4个数据：若分别测得在D和C两处观测的H的仰角再测出DC的长度也可以求出HG的长度，而采用这种方案需3个数据，因此本题最佳的解决方案有两套.有了方案第3小题便可轻松解决了.解：（1）延长AD交HG于M,方案1:分别测量AD=m,DC=n,在A处测得H的仰角为丫，在D处测得H的仰角为a.（2）解设HG=x,-I, HMx-n x-n在.RtAAHM中，tany= = AM= AMAM tanyazci. HMx-nz.x-n在.RtADHM中，tana= = /.DM= tanaDMDM

tana又。AM-DM=m又。AM-DM=mx-ntan/tanamtan/•tana+n(tana-tany) mtana•tan/ =in tantz-tan/ taxitz-tan/即HG=n+即HG=n+mtana-tan/

tana-tan/方案2：(1)分别在D、C两点测得H的仰角为Q、B及DC长为nHG x x(2)设HG=x,在RtACHG中，tan^=—=—/.CG=—CGCG tan/,………一 HMx-n-x-n在RtADHM中，tana= = DM= DMDM tana0DM=CGx_x-n0DM=CGx_x-ntan/?tan(7n-tanp

tan夕一tana即HG=ntan即HG=ntanp

tanp-tana、教学反思(一)亮点.拉网回顾建构体系促进理解本节课以问题为抓手、以题组为线索、以方法指导为突破，引领学生自主梳理本章知识，进行“拉网式”的回顾，在学生对全章知识有了较全面的认识，初步形成知识块后通过练习反观所学知识，站在一定的高度重新市视所学知识，反思H己对本章知识掌握情况，在练习中逐步形成对全章知识的系统化认知.力求让学生学有所思，思有所悟，悟有所得..以生为本，渗透思想，促进发展本着教学以学生发展为本的原则，整体设计力图使学生在充满乐趣与挑战的氛围中，大胆尝试，愉快合作，充分地感悟提升，理性地分析评价..在教学中努力构建平等、民主的氛围，尽可能地为学生提供“真实性任务”，让学生自主学习，自主建构知识，点燃他们思维的火花，调动其学习的积极性和主动性，在小组合作、探究学习中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，在动手、动脑的前提下自我发现、口我总结、白我提升.在第二环节“典例精讲”教师通过追问、拓展、点评、提升规律来加深学生对问题的理解.第三环节“巩固训练”沿独立思考一一小组交流互评一一小组代言人讲解思路~组间相互补充的路径操作，学生参与课堂展示积极性高涨，敢于表达自己的不同见解，对每一个题目积极探究避繁就简，寻求解题的最优方案.同时，