高考数学中的内切球和外接球问题

资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系更正或许删除高考数学中的内切球和外接球问题一、相关外接球的问题假如一个多面体的各个极点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.相关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考察看的一个热点.察看学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的相关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中经常会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的相关问题例1若棱长为3的正方体的极点都在同一球面上，则该球的表面积为______________.例2一个正方体的各极点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的相关问题例3一个长方体的各极点均在同一球面上，且一个极点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.例4已知各极点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.16B.20C.24D.32----圆满版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系更正或许删除例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体8积为.解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有6x3h3932hx186x24∴正六棱柱的底面圆的半径r1，球心终究面的距离d3.∴外接球的半22径Rr2d2.体积：V4R3.3小结此题是运用公式R2r2d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、结构法(补形法)1、结构正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积S4r29.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a,b,cR，则有2Ra2b2c2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个极点出发的三条棱长分别为a,b,c，则体对角线长为la2b2c2，几何体的外接球直径为2R体对角线长l即Ra2b2c22----圆满版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系更正或许删除练习：在周围体ABCD中，共极点的三条棱两两垂直，其长度分别为1,6,3，若该周围体的四个极点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为S4R216例6一个周围体的所有棱长都为2，四个极点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6例7已知球的面上四点A、B、C、D，，，ABBC3，ODA平面ABCABBCDA则球O的体积等于.解析：此题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快即可找到球的直径，由于DA平面ABC，ABBC，联想长方体中的相应线段关系，结构如图4所示的长方体，又由于DAABBC3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD3.故球O的体积等于92

.（如图4）ADOOBACB2、例8（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD，CD图4DCBC，若AB6,AC213,AD8，则球的体积是图5解析：第一可联想到例，结构下面的长方体，于是AD为球的直径，O为7----圆满版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系更正或许删除球心，OBOC4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只需求出BOC即可，在RtABC中，求出BC4，所以BOC60，故B、C两点间的球面距离是（如图5）本文章在给出图形的情况下解决球心地点、半径大小的问题。

.3例.已知各极点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32.小结:此题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.例正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为S解:设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.DC又1，∴球心O必在SO1所在的直线上.AO1BSO平面ABCD图3∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC中，由SASC2,AC2,得SA2SC2AC2，ASC是以AC为斜边的直角三角形.∴AC1V球4.23小结:依据题意，我们能够选择最正确角度找出含有正棱锥特色元素的外接球----圆满版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系更正或许删除的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.此题供给的这种思路是研究正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是经过找寻外接球的一个轴截面圆，进而把立体几何问题转变成平面几何问题来研究.这种等价转变的数学思想方法值得我们学习.五.确定球心地点法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCDD折成一个直二面角BACD，则周围体ABCD的外接球的体积为AOCA.125B.125C.125D.125图4B12963解:设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相均分，可知OAOBOCOD.∴点O到周围体的四个极点A,B,C,D的距离相等，即点O为周围体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径ROA5故2.4R3125.V球36出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个极点都在球O的球面上，ABBC且PA7,PB5,PC51,AC10求球O的体积。解：ABBC且PA7,PB5,PC51,AC10由于72(51)2102所以知:AC2PA2PC2----圆满版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系更正或许删除所以APPC所以可得图形为：在RtABC中斜边为AC在RtAPC中斜边为AC取斜边的中点，在RtABC中OAOBOC在RtAPC中OPOBOC所以在几何体中OPOBOCOA，即为该周围体的外接球的球心RAC5所以该外接球的体积为V球4R3500233【总结】斜边一般为周围体中除了直角极点以外的两个点连线。1.（陕西理?6）一个正三棱锥的四个极点都在半径为1的球面上，其中底面的三个极点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．33B．3C．3434答案B

．312----圆满版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系更正或许删除直三棱柱ABCA1B1C1的各极点都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于。解:在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径5，故此球的表面积为4R220.3．正三棱柱ABCA1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．答案8表面积为23的正八面体的各个极点都在同一个球面上，则此球的体积为A．2B．1C．2D．223333答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由3a28234知，a1，则此球的直径为2，应选A。5.已知正方体外接球的体积是32，那么正方体的棱长等于（）32B.23C.42D.43333答案D6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶3B.1∶3C.1∶33D.1∶9----圆满版学习资料分享----资料内容仅供您学习参照，如有不当之处，请联系更正或许删除答案C（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为．8答案43（2007天津理?12）一个长方体的各极点均在同一球的球面上，且一个极点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案14π9（.2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个极点在一个直径为2cm的球面上。假如正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.答案24210.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱P锥的侧面积是________．答案67

CDBEAF（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正周围体的四个极点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角