大学高数下册试题及答案第11章

第12页共12页大学高数下册试题及答案,第11章第十一章无穷级数作业29常数项级数的概念和性质1．按定义判断以下级数的敛散性，假设收敛，并求其和：〔1〕；解：因为所以因此由定义可知该级数收敛〔2〕；解：因为所以，因此由定义可知该级数发散〔3〕；解：因为所以，因此由定义可知该级数收敛〔4〕；解：因为，依次重复所以，，不存在因此由定义可知该级数发散2．利用根本性质判别以下级数的敛散性：〔1〕；解：观察发现该级数为，是发散的调和级数每项乘以得到的，由级数的根本性质，该级数发散〔2〕；解：观察发现该级数为，是收敛的两个等比级数，逐项相加得到的，由级数的根本性质，该级数收敛〔3〕；解：观察发现该级数为，是收敛的等比级数与发散的逐项相加得到的，由级数的根本性质，该级数发散〔4〕．解：观察发现该级数一般项为，但由级数收敛的必要条件，该级数发散作业30正项级数及其收敛性1．用比拟判别法〔或定理2的推论〕断定以下级数的敛散性：〔1〕；解：由于，而是收敛的等比级数从而由比拟判别法，该级数收敛〔2〕．解：由于，而是收敛的等比级数从而由比拟判别法的极限形式，该级数收敛2．用达朗贝尔判别法断定以下级数的敛散性：〔1〕；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛〔2〕；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛〔3〕；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛〔4〕．解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛3．用柯西判别法断定以下级数的敛散性：〔1〕；解：由于，从而由柯西判别法，该级数收敛〔2〕．解：由于，从而由柯西判别法，该级数收敛4．用判别法断定以下级数的敛散性：〔1〕；解：由于，而为的发散的级数，从而由判别法，该级数发散〔2〕．解：由于，而为的发散的级数，从而由判别法，该级数发散5．设为正整数，证明：〔1〕；解：对来说，由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知〔2〕．解：对来说，由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知，从而由无穷大量与无穷小的关系作业31交织级数与任意项级数的收敛性1．判别以下级数的敛散性；假设收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：〔1〕；解：该级数为交织级数，其一般项的绝对值为单调减少，且，从而由莱布尼茨判别法知其收敛再由于，由判别法知发散，从而原级数不会绝对收敛，只有条件收敛〔2〕；解：由于，由判别法知，绝对收敛〔3〕；解：由于不存在，由收敛级数的必要条件，从而该级数发散〔4〕；解：由于，从而由达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛〔5〕．解：当时显然收敛，否那么，当时由达朗贝尔判别法，从而该级数绝对收敛，当时级数变为发散当时级数变为条件收敛7．假设存在，证明绝对收敛．证明：由从而绝对收敛．8．假设级数绝对收敛，且，试证：级数和都收敛．级数是否收敛？为什么？证明：假设级数绝对收敛，那么必收敛，由必要条件由，从而级数和都有意义，而，从而级数和都收敛。级数发散，因为，收敛的必要条件不满足。作业32幂级数及其求和1．求以下幂级数的收敛半径和收敛域：〔1〕；解：当时即为条件收敛，从而收敛域为〔2〕；解：当时即为，由于从而级数发散，因此收敛域为〔3〕；解：当时，当时幂级数即为，由于从而级数发散当时幂级数即为，由于且从而级数收敛。因此收敛域当时当时，当时即为即为，由于从而级数发散，从而当时收敛域为〔4〕；解：当时即为条件收敛，从而收敛域为〔5〕；解：因此收敛域为〔6〕．解：对于，当时即为条件收敛，当时即为发散，从而原级数的收敛半径为1，收敛域为2．求以下幂级数的收敛域及其和函数：〔1〕；解：当时，即为条件收敛，当时即为发散，从而幂级数的收敛域为设，那么从而故〔2〕；解：当时，即为发散，从而幂级数的收敛域为故，〔3〕．解：从而幂级数的收敛域为设，那么，，由特征方程，得通解再由得特解〔4〕，并求数项级数的和．解：，当时发散，从而幂级数的收敛域为设，那么，作业33函数展开成幂级数1．将以下函数展开成麦克劳林级数〔要指出其成立的区间〕：〔1〕；解：〔2〕；解：〔3〕；解：〔4〕(提示：利用)；解：，〔5〕．解：2．将以下函数展开成的幂级数〔要指出其成立区间〕：〔1〕；解：〔2〕．解：3．求以下函数的幂级数展开式，并确定其成立区间：〔1〕；解：〔2〕．解：4．展开为的幂级数，并证明：．解：从而作业34傅里叶级数1．以下周期函数的周期为，它在一个周期上的表达式列举如下，试求的傅里叶级数展开式．〔1〕；解：〔2〕；解：〔3〕；解：〔4〕．解：2．将以下函数展开成傅里叶级数：〔1〕；解：〔2〕；解：3．将以下各函数分别展开成正弦级数和余弦级数：〔1〕解：展开成正弦级数，那么作奇延拓，展开成余弦级数，那么作偶延拓，，〔2〕解：展开成正弦级数，那么作奇延拓，展开成余弦级数那么，作偶延拓，，作业35一般周期函数的傅里叶级数1．设是周期为6的周期函数，它在上的表达式为试求的傅里叶展开式．解：2．在指定区间上展开以下函数为傅里叶级数：解：取作周期延拖在限定即可，函数为偶函数，故时时3．将函数分别展开成正弦级数和余弦级数．解：展开成正弦级数，那么作奇延拓，展开成余弦级数，那么作偶延拓，，4．试将函数展开成周期为8的正弦级数．解：展开成正弦级数，那么作奇延拓，，第十一章《无穷级数》测试题1．选择题：〔1〕对级数，“”是它收敛的B条件．A．充分；B．必要；C．充要；D．非充分且非必要．〔2〕“局部和数列有界”是正项级数收敛的C条件．A．充分；B．必要；C．充要；D．非充分且非必要．〔3〕假设级数绝对收敛，那么级数必定A．A．收敛；B．发散；C．绝对收敛；D．条件收敛．〔4〕假设级数条件收敛，那么级数必定B．A．收敛；B．发散；C．绝对收敛；D．条件收敛．2．用适当的方法断定以下级数的敛散性：〔1〕；解：因为从而该正项级数发散〔2〕；解：因为从而该正项级数收敛〔3〕；解：因为从而该正项级数收敛〔4〕；解：因为从而该正项级数收敛〔5〕；解：因为从而该正项级数发散〔6〕；解：因为从而该正项级数发散〔7〕；解：因为从而该正项级数发散〔8〕；解：设，那么而，时，从而收敛的必要条件满足。设，那么同理可以推出而的级数收敛，从而原正项级数也收敛〔9〕，其中均为正数，且；解：用柯西判别法当时发散，当时该正项级数收敛当时不能断定敛散性。〔10〕．解：由积分中值定理，从而有比拟判别法收敛3．判别以下级数的敛散性；假设收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：〔1〕；解：令，那么时从而单碟减少，又从而以来布尼茨判别法收敛但是，因此是条件收敛而不能绝对收敛〔2〕；解：从而该级数是交织级数，由于单碟减少且从而以来布尼茨判别法收敛但是，因此是条件收敛而不能绝对收敛〔3〕；解：因为从而该级数绝对收敛〔4〕．解：去掉前面有限项即当足够大时为交织级数，由于，对足够大的单碟减少且从而以来布尼茨判别法收敛但不绝对收敛4．求以下极限：〔1〕；解：由于单调增加且从而因此由夹逼准那么〔2〕．解：令，由于看从而，因此5．求以下幂级数的收敛半径和收敛域：〔1〕；解：看，而因一般项极限不为零而发散从而该幂级数的收敛半径也为，收敛域为〔2〕．解：为收敛半径考虑端点，当时收敛域为；当时收敛域为；当时收敛域为；6．求以下幂级数的收敛域及其和函数：〔1〕；解：为收敛半径考虑端点那么知收敛域为。在收敛域内设，那么在收敛域内再设，那么〔2〕．解：解：为收敛半径考虑端点那么知收敛域为。在收敛域内设，那么7．将以下函数展开成麦克劳林级数〔要指出其成立的区间〕：〔1〕；解：由于〔2〕；解：由于，从而〔3〕．解：由于，