河南郑州登封市2023学年高三适应性调研考试数学试题（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（）A．4 B．3 C．2 D．12．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，，则.其中正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④3．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C． D．4．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．6．下列函数中，在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．7．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是A． B．C． D．8．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（）A．3 B．4 C．5 D．69．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的模为（）A． B．4 C．2 D．10．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）A．324 B．522 C．535 D．57811．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C．4 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数恰好有3个不同的零点，则实数的取值范围为____14．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），则⋅_____，△ABC的面积为_____．15．在的展开式中，所有的奇数次幂项的系数和为-64，则实数的值为__________.16．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，则a1=_____，a1+a2+…+a5=____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数．（1）若，求函数的值域；（2）设为的三个内角，若，求的值；18．（12分）在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点，，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于两点，且满足，求的面积.19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.20．（12分）2019年底，北京2023年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)21．（12分）已知函数．（1）若不等式有解，求实数的取值范围；（2）函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．22．（10分）如图，在棱长为的正方形中，，分别为，边上的中点，现以为折痕将点旋转至点的位置，使得为直二面角．（1）证明：；（2）求与面所成角的正弦值．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【题目详解】由成等比数列得，即，已知，解得.故选：.【答案点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.2、C【答案解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【题目详解】解：①：、也可能相交或异面，故①错②：因为，，所以或，因为，所以，故②对③：或，故③错④：如图因为，，在内过点作直线的垂线，则直线，又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则又，所以因为，，所以，所以，故④对.故选：C【答案点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.3、B【答案解析】

由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积.【题目详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则，那么.故选：B【答案点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.4、A【答案解析】

联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.【题目详解】联立方程，解方程可得或，不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，因为，，由平面向量垂直的坐标表示可得，，因为，所以a2-c2=ac，两边同时除以可得，，解得e=或（舍去），所以该椭圆的离心率为.故选：A【答案点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.5、D【答案解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值.【题目详解】根据题意，可知为等差数列，公差，由成等比数列，可得，∴，解得.∴.根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为.故选：D.【答案点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值.6、C【答案解析】

由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【题目详解】因为函数和在递增，而在递减.故选：C【答案点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.7、D【答案解析】

先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【题目详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【答案点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.8、B【答案解析】分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解：记执行第次循环时，的值记为有，则有；记执行第次循环时，的值记为有，则有.令，则有，故，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）.9、D【答案解析】

由复数的综合运算求出，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【题目详解】，．故选：D．【答案点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．10、D【答案解析】

因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.【题目详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为，故第6个数据为578.选D.【答案点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.11、B【答案解析】

或，从而明确充分性与必要性.【题目详解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【答案点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.12、D【答案解析】

设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【题目详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．【答案点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

恰好有3个不同的零点恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.【题目详解】解：恰好有3个不同的零点恰有三个根，令，，在递增；，递减，递增，时，在有一个零点，在有2个零点；故答案为：.【答案点睛】已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.14、【答案解析】

①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解；②结合①求出，根据面积公式即可得解.【题目详解】①2（sin32°•cos77°﹣cos32°•sin77°），②，，∴，∴．故答案为：．【答案点睛】此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用，涉及平面向量数量积的坐标表示，三角恒等变换，根据三角形面积公式求解三角形面积，综合性强.15、3或-1【答案解析】

设，分别令、，两式相减即可得，即可得解.【题目详解】设，令，则①，令，则②，则①-②得，则，解得或.故答案为：3或-1.【答案点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算能力，属于中档题.16、80211【答案解析】

由，利用二项式定理即可得，分别令、后，作差即可得.【题目详解】由题意，则，令，得，令，得，故.故答案为：80，211.【答案点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【答案解析】

（1）将，利用三角恒等变换转化为：，，再根据正弦函数的性质求解，（2）根据，得，又为的内角，得到，再根据，利用两角和与差的余弦公式求解，【题目详解】（1），，，，即的值域为；（2）由，得，又为的内角，所以，又因为在中，，所以，所以.【答案点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题，18、（1）；（2）.【答案解析】

（1）根据离心率以及，即可列方程求得，则问题得解；（2）设直线方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的，即可求得参数，则三角形面积得解.【题目详解】（1）设，由题意可得.因为是的中位线，且，所以，即，因为进而得，所以椭圆方程为（2）由已知得两边平方整理可得.当直线斜率为时，显然不成立.直线斜率不为时，设直线的方程为，联立消去，得，所以，由得将代入整理得，展开得，整理得，所以.即为所求.【答案点睛】本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题.19、（1）的极坐标方程为，的直角坐标方程为（2）【答案解析】

（1）先把曲线的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用求得极坐标方程.将，化为，再利用求得曲线的普通方程.（2）设直线的极角，代入，得，将代入，得，由，得，即，从而求得，，从而求得，再利用求解.【题目详解】（1）依题意，曲线，即，故，即.因为，故，即，即.（2）将代入，得，将代入，得，由，得，得，解得，则.又，故，故的面积.【答案点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.20、(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)【答案解析】

(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，解得答案.【题目详解】(Ⅰ)