(MBA课程)管理运筹学第四章线性规划在工商管理中的应用

第四章、线性性规划在工商商管理中的应应用通过线性规划划的图解法，，我们对线性性规划的求解解及灵敏度分分析的基本概概念、基本原原理已有所了了解，又通过过线性规划问问题的计算机机求解的学习习，我们掌握握了用计算机机软件这一有有用工具去求求解线性规划划问题及其灵灵敏度分析。。在这一章我我们来研究线线性规划在工工商管理中的的应用，解决决工商管理中中的实际问题题。1§4.1、人人力资源分配配的问题§4.2、生生产计划的问问题§4.3、套套裁下料问题题§4.4、配配料问题§4.5、投投资问题主要内容2某昼夜服务的的公交线路每每天各时间段段内所需需司司机和乘务人人员数如下：：设司机和乘务务人员分别在在各时间段一一开始时上班班，并连续工工作八小时，，问该公交线线路怎样安排排司机和乘务务人员，既能能满足工作需需要，又配备备最少司机和和乘务人员?班次时间所需人数16:00-10:0060210:00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050522:00-2:002062:00-6:0030例1§4.1、人力资源分配的问题3解：设xi表示第i班次次时开始上班班的司机和乘乘务人员数，，可以知道在在第i班工作作的人数应包包括第i-1班次时开开始上班的人人员数和第i班次时开始始上班的人员员数，例如有有x1+x2≥70。又要要求这六个班班次时开始上上班的所有人人员最少，即即要求x1+x2+x3+x4+x5+x6最小，这样我我们建立如下下的数学模型型。目标函数：minx1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：x1+x6≥60，x1+x2≥70，x2+x3≥60，x3+x4≥50，x4+x5≥20，x5+x6≥30，x1,x2,x3,x4,x5,x6≥04用“管理运筹筹学”软件可可以求得此问问题的解：x1=50，x2=20，x3=50，x4=0，x5=20，x6=10，24小时内一一共需要司机机和乘务人员员150人。。此问题的解不不唯一，用LINDO软软件计算得到到：X1=60,X2=10,X3=50,X4=0,X5=30,X6=0目标函数值=1505福安商场是个个中型的百货货商场，它对对售货人人员的需求经经过统计分析析如下所示：：星期一：15人；星期二二：24人；；星期三：25人；星期期四：19人人；星期五：：31人；星星期六：28人；星期日日：28人。。为了保证售货货人员充分休休息，售货人人员每周工作作五天，休息息两天，并要要求休息的两两天是连续的的，问应该如如何安排售货货人员的作息息，既满足了了工作需要，，又使配备的的售货人员的的人数最少?解：设x1为星期一开始始休息的人数数，x2为星期二开始始休息的人数数，…，x7为星期日开始始休息的人数数。目标是要要求售货人员员的总数最少少。因为每个个售货员都工工作五天，休休息两天，所所以只要计算算出连续休息息两天的售货货员人数，也也就计算出了了售货员的总总数。把连续续休息两天的的售货员按照照开始休息的的时间分成7类，各类的的人数分别为为X1，X2，…X7，即有目标函函数:minX1+X2+X3+X4+X5+X6+X7例26模型：再按照每天所所需售货员的的人数写出约约束条件，例例如星期日需需要28人，，我们知道商商场中的全体体售货员中除除了星期六开开始休息和星星期日开始休休息的人外都都应该上班，，即有x1+x2+x3+x4+x5≥28，喂！请问数学模型？7上机求解得：：x1=12,x2=0,x3=11,x4=5,x5=0,x6=8,x7=0,目标函数最小小值=36.也就是说配备备36个售货货员，并安排排12人休息息星期一、二二；安排11人休息星星期三、四；；安排5人休休息星期四、、五；安排8人休息星期期六、日。这这样的安排排既满足了工工作需要，又又使配备的售售货员最少。。软件对此问问题的解如下下：目目标函数最最优值为：36变量最最优解解相相差值x1120x200.333x3110x450x500x680x7008约束松松驰/剩余变量对对偶价格格10-0.33329030-0.33340-0.33351060-0.333700由于所有约约束条件的的对偶价格格都小于或或等于0，，故增加约约束条件的的常数项都都不会使目目标值变小小。即增加售货货员是不利利的。但对对于约束1、3、4、6来讲讲，减少一一售货员会会使目标函函数值变小小，是有利利的。9目标函数系系数范围：：变量下下限当当前值上上限X1011.5X20.6671无无上限X3011.5X4111X511无无上限X6011X7111.333安排星期二二开始休息息和星期五开始休息的人员员可以无限限制，此时时最优解仍仍然不变。。10常数项范围围：约束下下限当当前值上上限11928282无无下下限152431524424102541.55无无下下限19206163138.5728283611法二：设x1为星期一开开始上班的的人数，x2为星期二开开始上班的的人数，……，x7为星期日开开始上班的的人数。目目标是要求求售货人员员的总数最最少。(P40-2a.ltx)目标函数:minX1+X2+X3+X4+X5+X6+X7约束条件：：星期日X3+X4+X5+X6+X7≥28星期一X1+X4+X5+X6+X7≥15星期二X1+X2+X5+X6+X7≥24星期三X1+X2+X3+X6+X7≥25星期四X1+X2+X3+X4+X7≥19星期五X1+X2+X3+X4+X5≥31星期六X2+X3+X4+X5+X6≥28解:函函数值=36,X1=3,x2=5,x3=12,X4=0,x5=11,x6=0X7=5,则周1休息息人数为周周3上班的的+周2上上班的=12+5=17,与与法一是一一样的周1开始休息息仍为17-5=12人12．明兴公司司面临一个个是外包协协作还是自自行生产的的问题。该该公司生产产甲、乙、、丙三种产产品，这三三种产品都都要经过铸铸造、机加加工和装配配三个车间间。甲、乙乙两种产品品的铸件可可以外包协协作，亦可可以自行生生产，但产产品丙必须须本厂铸造造才能保证证质量。有有关情况见见表4—3；公司中中可利用的的总工时为为：铸造8000小小时，机加加工12000小时时和装配10000小时。公公司为了获获得最大利利润，甲、、乙、丙三三种产品各各生产多少少件?甲、、乙两种产产品的铸造造应多少由由本公司铸铸造?应多多少由外包包协作？例3§4.2、生产计划的问题13表4-3解：：设设x1、、x2、、x3分分别别为为三三道道工工序序都都由由本本公公司司加加工工的的甲甲、、乙乙、、丙丙三三种种产产品品的的件件数数，，设设x4、、x5分分别别为为由由外外协协铸铸造造再再由由本本公公司司机机加加工工和和装装配配的的甲甲、、乙乙两两种种产产品品的的件件数数。。计计算算每每件件产产品品的的利利润润分分别别如如下下：：工时与成本甲乙丙每件铸造工时(小时)5107每件机加工工时(小时)648每件装配工时（小时)322自产铸件每件成本(元)354外协铸件每件成本(元)56机加工每件成本(元)213装配每件成本(元)322每件产品售价(元)23181614产品品甲甲全全部部自自制制的的利利润润=23-(3+2+3)=15(元元)产品品甲甲铸铸造造外外协协，，其其余余自自制制的的利利润润=23-(5+2+3)=13(元元)产品品乙乙全全部部自自制制的的利利润润=18-(5+1+2)=10(元元)产品品乙乙铸铸造造外外协协，，其其余余自自制制的的利利润润=18-(6+1+2)=9(元元)产品品丙丙的的利利润润=16-(4+3+2)=7(元元)工时与成本甲乙丙每件铸造工时(小时)5107每件机加工工时(小时)648每件装配工时（小时)322自产铸件每件成本(元)354外协铸件每件成本(元)56机加工每件成本(元)213装配每件成本(元)322每件产品售价(元)23181615建立立数数学学模模型型如如下下：：目标标函函数数：：max15X1+10X2+7X3+13X4+9X5约束束条条件件：：5X1+10X2+7X3≤8000(这这里里没没包包括括外外协协铸铸造造时时间间)，，6X1+4X2+8X3+6X4+4X5≤12000(机机加加工工)，，3X1+2X2+2X3+3X4+2X5≤10000(装装配配)，，X1，X2，X3，X4，X5≥0用““管管理理运运筹筹学学””软软件件进进行行计计算算，，计计算算机机计计算算结结果果显显示示在在图图4-1中中。。详详见见上上机机计计算算…………。。工时与成本甲乙丙每件铸造工时(小时)5107每件机加工工时(小时)648每件装配工时（小时)32216目标标函函数数最最优优值值为为：：29400变量量最最优优解解相相差差值值x116000x202x3013.1x400.5x56000结果果分分析析：：最最大大的的利利润润为为29400元元，，其其最最优优的的生生产产计计划划为为全全部部由由自自己己生生产产的的甲甲产产品品1600件件，，铸铸造造外外协协、、其其余余自自制制生生产产乙乙产产品品600件件，，而而丙丙产产品品不不生生产产。。从从相相差差值值一一栏栏中中可可知知，，如如果果全全部部由由自自己己生生产产的的乙乙产产品品的的利利润润再再增增加加2元元达达到到每每件件12元元利利润润，，那那么么全全部部自自制制的的乙乙产产品品才才有有可可能能上上马马生生产产，，否否则则乙乙产产品品还还是是铸铸造造外外协协、、其其余余自自制制的的利利润润更更大大。。同同样样丙丙产产品品的的利利润润要要再再增增加加13.1元元达达到到每每件件利利润润20.1元元，，丙丙产产品品才才有有可可能能上上马马生生产产；；铸铸造造外外协协、、其其余余自自制制的的甲甲产产品品利利润润再再增增加加0.5元元达达到到13.5元元，，才才有有可可能能上上马马生生产产。。17约束松松驰/剩余变变量对对偶偶价格格100.3202.25340000从对偶偶价格格栏可可知铸铸造每每工时时的对对偶价价格为为0.3元元，机机加工工每工工时的的对偶偶价格格为2.25元元，装装配每每工时时的对对偶价价格为为零元元。这这样如如果有有人以以低于于铸造造和机机加工工的对对偶价价格来来提供供铸造造及机机加工工的工工时则则可以以购入入来获获取差差价（（例如如外协协铸造造工时时价格格低于于0.3元元，则则外协协铸造造合算算)。。同样样如果果有人人要购购买该该公司司的铸铸造与与机加加工的的工时时，则则出价价必须须扣除除成本本外，，还必必须高高于其其对偶偶价格格，否否则就就不宜宜出售售。至至于装装配每每工时时的对对偶价价格为为零，，这是是由于于在此此生产产计划划下还还有4000个个装配配工时时没有有完。。注意:从计计算中中可知知,如如果把把松驰或或者剩余变变量看看作变变量时时引入入模型型时，，对偶偶价格格实际际上是是松驰或或者剩余变变量的的相相差值值的绝绝对值值。18对偶价价格不不是市市场价价格，，在作作市场场决策策时，，某种种资源源市场场价格格低于于对偶偶价格格时，，可适适量买买进这这种资资源，，组织织和增增加生生产。。相反反当市市场价价格高高于对对偶价价格时时，可可以卖卖出资资源而而不安安排生生产或或提高高产品品的价价格。。注意啊！19目标函函数系系数范范围：：变变量下下限限当当前值值上上限限X11415无无上上限X2无无下限限1012X3无无下限限720.1X4无无下下限1313.5X58.667910从目标标函数数决策策变量量系数数一栏栏中知知道，，当全全部自自己生生产的的每件件甲产产品的的利润润在14到到+∞∞内变变化时时，其其最优优解不不变；；全部部自己己生产产的每每件乙乙产品品的利利润只只要不不超过过12元，，则其其最优优解不不变；；当每每件丙丙产品品的利利润不不超过过20.1元时时，则则其最最优解解不变变；当当铸造造外协协其余余自制制的每每件甲甲产品品的利利润不不超过过13.5元时时，其其最优优解不不变；；当铸铸造外外协，，其余余自制制的每每件乙乙产品品的利利润在在8.667到到10元内内变化化时，，则其其最优优解不不变。。在这这里当当某产产品利利润变变化时时都假假设其其余产产品的的利润润是不不变的的。20常数项项范围围约约束下下限当当前值值上上限108000100002960012000200003600010000无无上上限从约束束条件件右边边常数数变化化范围围栏可可知，，当铸铸造工工时在在0到到10000小小时间间变化化时其其对偶偶价格格都为为0.3元元；当当机加加工工工时在在9600到20000小时时内变变化时时，其其对偶偶价格格都为为2.25元；；当装装配工工时在在6000到+∞内内变化化时，，其对对偶价价格都都为零零。也就是是说当当常数数项超超出上上面的的范围围时其其对偶偶价格格可能能已变变，这这时某某种资资源的的市场场价格格与对对偶价价格的的关系系随之之发生生变化化。21永久机机械厂厂生产产Ⅰ、、Ⅱ、、Ⅲ三三种产产品。。每种种产品品均要要经过过A、、B两两道工工序加加工。。设该该厂有有两种种规格格的设设备能能完成成A工工序，，它们们以A1、A2表示；；有三三种规规格的的设备备能完完成B工序序，它它们以以B1，B2，B3表示。。产品品Ⅰ可可在A、B的任任何规规格的的设备备上加加工。。产品品Ⅱ可可在任任何一一种规规格的的A设设备上上加工工，但但完成成B工工序时时，只只能在在B1设备上上加工工。产产品ⅢⅢ只能能在A2与B2设备上加加工。已已知在各各种设备备上加工工的单件件工时、、原料单单价、产产品销售售单价、、各种设设备的有有效台时时以及满满负荷操操作时的的设备费费用如表表4——4示，，要求制制定最优优的产品品加工方方案，使使该厂利利润最大大。例422表4-4设备产品单件工时设备的有效台时满负荷时的设备费用ⅠⅡⅢ2791210000321B1684000250B24117000783B374000200原料单价(元／件)0.250.350.5销售单价(元／件)1.2522.823解：设Xijk表示第i种产品品在第j种工序序上(A工序用用1表示示，B工工序用2表示)的第k种设备备上加工工的数量量。如x123表示第ⅠⅠ种产品品在B道道工序上上用B3设备加工工的数量量。则约约束5x111+10x211≤6000，(设设备A1)7x112+9x212+12x312≤10000，，(设设备A2)6x121+8x221≤4000，(设设备B1)，4x122+11x322≤7000(设设备B2),7x123≤4000(设备备B3)设备产品单件工时设备的有效台时满负荷时的设备费用ⅠⅡⅢA15,X11110,X2116000300A27,X1129,X21212,X31210000321B16,X1218,X2214000250B24,X12211,X3227000783B37,X123400020024设Xijk表示第i种产品品在第j种工序序上(A工序用用1表示示，B工工序用2表示)的第k种设备备上加工工的数量量。恒等等约束：：X111+X112-X121-X122–X123=0，(Ⅰ产产品在A、B工序上加工工的数量相等等)X211+X212-X221=0,(Ⅱ产品在在A、B工序序上加工的数数量相等)X312-X322=0,(Ⅲ产品在A、B工序上上加工的数量量相等)设备产品单件工时设备的有效台时满负荷时的设备费用ⅠⅡⅢA15,X11110,X2116000300A27,X1129,X21212,X31210000321B16,X1218,X2214000250B24,X12211,X3227000783B37,X1234000200应该是≥0才才合理25设备产品单件工时设备的有效台时满负荷时的设备费用ⅠⅡⅢA15,X11110,X2116000300A27,X1129,X21212,X31210000321B16,X1218,X2214000250B24,X12211,X3227000783B37,X1234000200原料单价(元／件)0.250.350.5销售单价(元／件)1.2522.8应该是1.25(X121+X122+X123)-0.25(X111+X112)才合理。26设备产品单件工时设备的有效台时满负荷时的设备费用ⅠⅡⅢA15,X11110,X2116000300A27,X1129,X21212,X31210000321B16,X1218,X2214000250B24,X12211,X3227000783B37,X1234000200275x111+10x211≤6000，，(设备备A1)7x112+9x212+12x312≤10000，(设备A2)6x121+8x221≤4000，，(设备备B1)，4x122+11x322≤7000(设备备B2),7x123≤4000(设备B3)X111+X112-X121-X122–X123=0，(Ⅰ产产品在A、B工序上加工工的数量相等等)X211+X212-X221=0,(Ⅱ产品在在A、B工序序上加工的数数量相等)X312-X322=0,(Ⅲ产品在A、B工序上上加工的数量量相等)28模型将模型输入计计算机x111=1200，，x112=230.0492，X211=0，X212=500，X312=324.138，X121=0，X221=500，X122=858.6206，X322=324.138，X123=571.4286,最优值为1146.6。。29由于本题要求求的决策变量量的单位是件件，所以答案案应该是整数数。本题与例例1、例2、、例3实质上上都是整数规规划的问题，，但是这类问问题可以作为为线性规划的的问题来解，，有些如例1，例2，例例3的答案都都是整数，而而有些如本题题答案是非整整数，可以将将答案舍入成成整数也可能能得到满意的的结果。如本本题如果用软软件的整数规规划的来解，，得到的答案案为x111=1200，，x112=230，X211=0，X212=500，X312=324，X121=0，X221=500，X122=859，X322=324，X123=571..最优值为1146.3622。其其最优解正好好与四舍五入入线性规划结结果一样的。。两种方法的的最优值也相相差无几，只只差0.3元元。30本问题最优优的方案为为生产Ⅰ产产品1430件（X111+X112=1200+230=X121+X122+X123=0+859+571=1430)，，Ⅰ产品第A道工序由由A1设备加工1200件件，由A2设备加工230件。。Ⅰ产产品的第B道工序由由B2设备加工859件，，由B3设备加工571件。。生产Ⅱ产品品500件件，它的第第A道工序序全部由A2设备加工，，它的第B道工序全全部由B1设备加工。。X212=X221=500。。生产Ⅲ产品品324件件，其第A道工序全全部由A2加工，其第第B道工序序全部由B2设备加工，，X312=X322=324，，这样能使使工厂获得得最大利润润1146.3元。。生产数量ⅠⅡⅢA1X111=1200X211=0A2X112=230X212=500X312=324B1X121=0X221=500B2X122=859X322=324B3X123=

57131如果分别按按实际产品品和原材料料来计算则则有：Maxz=-0.5x111-0.6352x112-0.85x211-0.6389x212-0.8852x312+0.875x121+0.8024x122+0.9x123+1.5x221+1.5691x3225x111+10x211≤6000，(设备A1)7x112+9x212+12x312≤10000，(设设备A2)6x121+8x221≤4000，(设备B1)，4x122+11x322≤7000(设备B2),7x123≤4000(设设备B3)X111+X112-X121-X122–X123≥0，(ⅠⅠ产品在A工序加工工的数量大大于B加工工的数量)X211+X212-X221≥0,(Ⅱ产产品在A工工序上加工工数量天于于B的数量量)X312-X322≥0,(Ⅲ产品品在A工序序上加工的的数量大于于B)32结果如下：：本问题最优优的方案为为生产Ⅰ产产品1200件（X111+X112=1200+0=X121+X122+X123=0+628.572+571.428=1200)，，Ⅰ产品第A道工序由由A1设备加工1200件件，由A2设备加工0件。ⅠⅠ产品的的第B道工工序由B2设备加工628.572件，，由B3设备加工571.428件。。生产Ⅱ产品品500件件，它的第第A道工序序全部由A2设备加工，，它的第B道工序全全部由B1设备加工。。X212=X221=500。。生产Ⅲ产品品324件件，其第A道工序全全部由A2加工，其第第B道工序序全部由B2设备备加加工工，，X312=X322=407.79，，这这样样能能使使工工厂厂获获得得最最大大利利润润1128.091元元。。比比上上方方法法要要少少。。此此法法合合理理。。33某工工厂厂要要做做100套套钢钢架架，，每每套套用用长长为为2.9m，，2.1m和1.5m的的圆圆钢钢各各一一根根。。已已知知原原料料每每根根长长7.4m，，问问应应如如何何下下料料，，可可使使所所用用原原料料最最省省。。解：：最最简简单单的的做做法法是是，，在在每每根根原原材材料料上上截截取取2.9m、、2.1m和和1.5m的的圆圆钢钢各各一一根根组组成成一一套套，，每每根根原原材材料料省省下下料料头头0.9m。。为为了了做做100套套钢钢架架，，需需要要原原材材料料100根根，，共共有有90m的的料料头头。。若若改改用用套套裁裁可可以以节节约约不不少少原原材材料料，，为为了了找找到到一一个个省省料料的的套套裁裁方方案案，，先先设设计计出出较较好好的的几几个个下下料料方方案案，，所谓谓较较好好，，第第一一要要求求每每个个方方案案下下料料后后的的料料头头较较短短，，第第二二要要求求这这些些方方案案的的总总体体能能裁裁下下所所有有各各种种规规格格的的圆圆钢钢，，并并且且不不同同方方案案有有着着不不同同的的各各种种所所需需圆圆钢钢的的比比。。这样样套套裁裁才才能能满满足足对对各各种种不不同同规规格格圆圆钢钢的的需需要要并并达达到到省省料料的的目目的的。。为为此此设设计计出出以以下下5种种下下料料方方案案以以供供套套裁裁用用。。见见表表4——5。。例5§4.3、套裁下料问题34表4——5。。下料数方案（根）长度ⅠⅡⅢⅣⅤ2.9120102.1002211.531203合计7.47.37.27.16.6料头00.10.20.30.8设y1,y2,y3三三种种圆圆钢钢2.9m，，2.1m,1.5m切切割割根根数数,则则应应满满足足2.9y1+2.1y2+1.5y3≤≤7.4，，其其切切割割方方案案很很多多，，如如果果要要求求料料头头不不超超过过最最短短的的1.5，，则则可可能能是是次次优优方方案案。。35解：：为了了用用最最少少的的原原材材料料得得到到100套套钢钢架架，，需需要要混混合合使使用用上上述述五五种种下下料料方方案案，，设设按按I，，ⅡⅡ，，ⅢⅢ，，ⅣⅣ，，V方方案案下下料料的的原原材材料料根根数数分分别别为为x1，x2，x3，x4，x5，可可列列出出下下面面的的数数学学模模型型。。目标标函函数数：：minX1+X2+X3+X4+X5约束束条条件件：：X1+2X2+X4≥100，，2X3+2X4+X5≥100，，3X1+X2+2X3+3X5≥100，X1，X2，X3，X4，X5≥0．上机计算得到到如下最优下下料方案：按按Ⅰ方案下料料30根；按按Ⅱ方案下料料10根，按按Ⅳ方案下料料50根(即即x1=30，x2=10，x3=0，x4=50，x5=0)，只需需90根原材材料(即目标标函数最小值值为90)即即可制造100套钢架。。36思考如果只取方案前四个或前三个或再增加其它方案，结果如何？37其它方案列表表（不是所有有）(P46-5b)12345678910111213142.9120101100000002.1002211032100001.531203120124321合计7.47.37.27.16.66.55.96.35.75.164.531.5料头00.10.20.30.80.91.51.11.72.31.44.44.45.9minX1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14约束条件：X1+2X2+X4+X6+X7≥100，2X3+2X4+X5+X6+3X8+2X9+X10≥100，3X1+X2+2X3+3X5+X6+2X7+X9+2X10+4X11+3X12+2X13+X14≥10038模型将模型输入计计算机解为：目标函函数值=90,x1=0,x2=40,x3=30,x4=20,其它x为为0。从这里里看出模型有有多个解。料料头多的方案案一般为0。。39注意！在建立此数学学模型时，约束条件用大大于等于号比比用等于号要要好。因为有时在在套用一些下下料方案时可可能会多出一一根某种规格格的圆钢，但但它可能是最最优方案。如如果用等于号号，这个套用用方案就不是是可行解了。。约束条件用大大于等于号时时，目标函数数本来求所用用原材料最少少和求料头最最少是一样的的，但由于在在第一个下料料方案中料头头为零，无论论按第一下料料方案下多少少根料，料头头都为零，也也就是说不管管第一下料方方案下料是200根还是是150都可可使目标函数数值达到最小小，这显然不不合理。所以以目标函数就就一定要求原原材料最少。。如果所有方方案料头都不不为零，则可可用料头作为为最小值函数数变量。40思考：如果原材不止止一种规格，，如还有10M长的原材材，则如何设设计模型？41某工厂要用三三种原料1，，2，3混合合调配出三种种不同规格的的产品甲、乙乙、丙，已知知产品的规格格要求、产品品的单价、每每天能供应的的原材料数量量及原材料单单价，分别见见表4-6和和表4—7。。该厂应如何何安排生产，，使利润收入入为最大?产品名称规格要求单价(元／千克)

甲原材料1不少于50％，原材料2不超过25％50乙原材料1不少于25％，原材料2不超过50％35丙

不限25表4-6现在讲讲第四四个问问题：：§§4.4配配料问问题例642解：设设xij表示第第i种种产品品中原原材料料j的的含量量(分分别用用产品1，2，3表示示产品品甲、、乙、、丙)。例例如x23就表示乙产产品中中第3种原原材料料的含含量，，目标标是使使利润润最大，，利润润的计计算公公式如如下：：原材料名称每天最多供应量单价（元/千克）1100652100253603543由表4-6得到到：X11≥0.5(X11+X12+X13)，(甲中中原料料1占占甲产产品数数量不不少于于50%.)X12≤0.25(X11+X12+X13)X21≥0.25(X21+X22+X23)X22≥0.5(X21+X22+X23)由表4-5得到到：X11+X21+X31≤100X12+X22+X32≤100X13+X23+X33≤6044得问题题模型型如下下(必必须整整理后后上机机求解解）：：45模型将模型型输入入计算算机解为：：x11=100，，x12=50,x13=50，其其余的的xij=0，，也就就是说说每天天只生生产甲甲产品品200千千克，，分别别需要要用1原料料100千千克，，2原原料50千千克，，3原原料50千千克。。其它它乙、、丙产产品不不生产产。目目标函函数值值=500元46VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX11100.0000000.000000X1250.0000000.000000X1350.0000000.000000X210.00000015.000000X220.0000000.000000X310.00000045.000000X330.00000010.000000X230.0000000.000000X320.0000000.000000从相差差值中中可看看出：：只有有当X21的系数数从-30增加加15元则则乙产产品才才生产产，只只有当当X31和X33的系数数分别别从-40增加加45元和和从-10增加加10元则则丙产产品才才生产产，47汽油混混合问问题。。一种汽汽油的的特性性可用用两种种指标标描述述，用用“辛辛烷数数”来来定量量描述述其点点火性性，用用“蒸蒸汽压压力””来定定量描描述其其挥发发性。。某炼炼油厂厂有1，2，3，4种标标准汽汽油，，其特特性和和库存存量列列于表表4——8中中，将将这四四种标标准汽汽油混混合，，可得得到标标号为为1，，2的的两种种飞机机汽油油，这这两种种飞机机汽油油的性性能指指标及及产量量需求求列于于表4—9中。。问应应如何何根据据库存存情况况适量量混合合各种种标准准汽油油，既既满足足飞机机汽油油的性性能指指标，，又使使2号号飞机机汽油油满足足需求求，并并使得得1号号飞机机汽油油产量量最高高。例748设Xij为飞机机汽油油i中中所所用标标准汽汽油j的数数量，，这样样可知知X11+X12+X13+X14为飞机机汽油油1总总产量量，总总产量量越多多越好好，所所以有有目标标函数数为maxX11+X12+X13+X14约束条条件之之一：：X21+X22+X23+X24≥250000飞机汽油辛烷数蒸汽压力(g／cm2)产量需求(L)1不小于91不大于9.96×10-2越多越好2不小于100不大于9.96×10-2不少于250000表4-949表4-8:得到有有关库库存量量和产产量指指标的的约束束条件件：X11+X21≤380000,X12+X22≤265200,X13+X23≤408100,X14+X24≤130100,Xij≥0.标准汽油辛烷数蒸汽压力(s／cm2)库存量(L)1107.57.11×10-238000029311.38×10-22652003875.69×10-2408100410828.45×10-213010050下面再列出出有关辛烷烷数和蒸汽汽压力的约约束条件:物理中的““分压定律律”可叙述述如下：““设有一种种混合气体体，由n种种气体组成成。设混合合气体的压压力为P，，所占总容容积为V，，各组成成成分的压力力及其所占占容积分别别为p1…,pn，及v1,…,vn,，则PV=∑pjvj”。用此分分压定律可可写出有关关蒸汽压力力的约束条条件。飞机汽油1的蒸汽压压力不能大大于9.96×10-2,，即有:51同样，可以以得到有关关飞机汽油油2的蒸汽汽压力的约约束条件为为：2.85x21-1.42x22+4.27x23-18.40x24≥0.52同样可以写写有关辛烷烷数的约束束条件，对对于飞机汽汽油1有：：(107.5x11+93x12+87x13+108x14)/(x11+x12+x13+x14)≥91.经整理得：：16.5x11+2x12-4x13+17x14≥0.对于飞机汽汽油2有：：7.5x21-7x22-13x23+8x24≥0.综上所述得得到此问题题的数学模模型:标准汽油辛烷数蒸汽压力(s／cm2)1107.57.11×10-229311.38×10-23875.69×10-2410828.45×10-253目标函数：：maxX11+X12+X13+X14约束条件：：X21+X22+X23+X24≥250000,X11+X21≤380000,X12+X22≤265200,X13+X23≤408100,X14+X24≤130100,2.85X11-1.42X12+4.27X13-18.49X14≥0.2.85X21-1.42X22+4.27X23-18.40X24≥0.16.5X11+2X12-4X13+17X14≥0.7.5X21-7X22-13X23+8X24≥0.Xij≥0。数学模型：：54模型将模型输入入计算机X11=261966.078，X12=265200，x13=315672.219，X14=90561.688，X21=118033.906，X22=0，X23=92427.758，X24=39538.309，最优值=933399.938。55结论：表明用1号号标准汽油油261966.078升，，2号标准准汽油265200升，3号号标准汽油油315672.219升，，4号标准准汽油90561.688升升，混合成成933399.938升1号飞机汽汽油；用1号标准汽汽油118033.906升升，2号标标准汽油零零升，3号号标准汽油油92427.758升，4号标准汽汽油39538.309升混混合成250000升2号飞飞机汽油，，这是既满满足需求，，又使1号号汽油的产产量为最高高的最优方方案。561、此模型型有多组解解，如用lindo软件算得得：目标值=933400.0X11=163529.40625,X12=265200,X13=408100,X14=96570.585938,X21=216470.59375,X22=0,X23=0,X24=33529.410156.2、目标函函数也可设设为：（加加上飞机汽汽油2的产产量）maxX11+X12+X13+X14+X21+X22+X23+X24约束条件不不变。最优优值是一样样，目标值值=118340,减去飞机机汽油2的的产量250000升，结果果是一样的的。注解57补充题，某某钢铁公司司生产一种种合金，要要求成分规规格为：锡锡不少于28%，锌锌不多于15%，铅铅恰好10%，镍要要界于35%—55%之间，，不允许有有其它成分分，钢铁公公司拟从五五种不同级级别的矿石石中进行冶冶炼，每种种矿物的成成分含量和和价格如下下表，矿石石杂质在冶冶炼中废弃弃，求每吨吨合金成本本最低的矿矿物数量，，假设矿石石在冶炼过过程中金属属含量没有有发生变化化。合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质%费用(元/吨）12510102530340240003030260301552060180420200402023058515175519058合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质%费用(元/吨）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190解：设xi为第i种种矿石的数数量(吨)，目标是是成本最低低。则：MinZ=340x1+260x2+180x3+230x4+190x5St:0.25x1+0.4x2+0.2x4+0.08x5≥≥0.280.1x1+0.15x3+0.2x4+0.05x5≤0.150.1x1+0.05x3+0.15x5=0.10.35≤0.25x1+0.3x2+0.2x3+0.4x4+0.17x5≤≤0.550.7x1+0.7x2+0.4x3+0.8x4+0.45x5=1,xi≥059模型的解解为：60如果设为为：（（0.25x1+0.4x2+0.2x4+0.08x5）/（0.7x1+0.7x2+0.4x3+0.8x4+0.45x5）≥≥0.28化简为：：0.054x1+0.204x2-0.112x3-0.024x4-0.046x5>0其它的同同理可为为：0.0054x1+0.105x2-0.09x3-0.08x4+0.0175x5>00.03x1-0.7x2+0.01x3+0.08x4+0.105x5=00.135x1+0.085x2+0.02x3+0.04x4+0.0775x5>00.054x1+0.055x2+0.06x3+0.12x4+0.0125x5>0但是因为为MinZ=340x1+260x2+180x3+230x4+190x5此模型零零解是满满足的。。这样设设计有问问题。61某部门现现有资金金200万元，，今后五五年内考考虑给以以下的项项目投资资，已知知项目A：：从第一年年到第五五年每年年年初都都可投资资，当年年末能收收回本利利110％。项目B：：从第一年年到第三三年每年年年初都都可以投投资，次次年末回回收本利利125％，但但规定每每年最大大投资额额不能超超过30万元。。项目C：：第三年初初需要投投资，到到第五年年末能回回收本利利140％，但但规定最最大投资资额不能能超过80万元元。项目D：：第二年初初需要投投资，到到第五年年未能回回收本利利155％，但但规定最最大投资资额不能能超过100万万元。例8§4.5投资问题62据测定每每万元每每次投资资的风险险指数如如下所示示：问：（（1）应应如何确确定这些些项目的的每年投投资额，，使得第第五年末末拥有资资金的本本利金额额为最大大?（2）应应如何何确定这这些项目目的每年年投资额额，使得得第五年年末拥有有资金的的本利在在330万的基基础上使使得其投投资总的的风险系系数为最最小?项目风险指数（每万元每次）A1B3C4D5.563解：第第一确定变量量：（1）这这是一个个连续投投资的问问题，设设xij为第i年年初投资资于j项项目的金金额(单单位万元元)，根根据给定定条件，，将变量量列于下下表：年份项目12345Ax1Ax2Ax3Ax4Ax5ABx1Bx2Bx3Bx4BCx3CDx2D第二确确定约约束条件件因为项目目A每年年都可以以投资，，并且当当年末都都能收回回本息，，所以该该部门每每年都应应把资金金都投出出去，手手中不应应当有剩剩余的呆呆滞资金金，因此此第一年年：该部部门年初初有资金金200万元，，故有X1A+X1B=20064第二年：：因第一一年给项项目B的的投资要要到第二二年末才才能回收收，所以以该部门门在第二二年初拥拥有资金金仅为项项目A在在第一年年投资额额所回收收的本息息110％X1A，故有X2A+X2B+X2D=1.1x1A.第三年：：第三年年初的资资金额是是从项目目A第二二年投资资和项目目B第一一年投资资所回收收的本息息总和1.1X2A+1.25x1B故有X3A+X3B+X3C=1.1X2A+1.25X1B年份项目12345Ax1Ax2Ax3Ax4Ax5ABx1Bx2Bx3Bx4BCx3CDx2D65第四年：：同以上上分析，，可得X4A+X4B=1.1X3A+1.25X2B第五年：X5A=1.1X4A+1.25X3B另外，由于对对项目B，C，D的投资资额的限制有有xiB≤30,(i=1,2,3,4)x3c≤80,x2D≤100.年份项目12345Ax1Ax2Ax3Ax4Ax5ABx1Bx2Bx3Bx4BCx3CDx2D66第三、目标函函数和模型该问题要求在在第五年末该该部门手拥有有的资金额达达到最大，这这个目标函数数可以表示为为:max(1.1X5A+1.25X4B+1.4X3C+1.55X2D)模型为：目标函数：maxz=1.1X5A+1.25X4B+1.4X3C+1.55X2DS.t.X1A+X1B=200X2A+X2B+X2D=1.1X1A.X3A+X3B+X3C=1.1X2A+1.25X1B·X4A+X4B=1.1X3A+1.25X2B·X5A=1.1X4A+1.25X3B．XiB≤30,(i=1,2,3,4)X3c≤80,X2D≤100.Xij≥0.67max1.1x5a+1.25x4b+1.4x3c+1.55x2dStx1a+x1b=200x2a+x2b+x2d-1.1x1a=0x3a+x3b+x3c-1.1x2a-1.25x1b=0x4a+x4b-1.1x3a-1.25x2b=0x5a-1.1x4a-1.25x3b=0X1b≤30x2b≤30x3b≤30x4b≤30x3c≤80x2d≤100化简才能上机机化简后得到：：68模型将模型输入计计算机x1A=170,x2A=57,x3A=0,x4A=7.5,x5A=33.5，，x1B=30,x2B=30,x3B=20.2,x4B=30x3C=80，x2D=100第五年末拥有有的资金的本本利（即目标函数数最大值）为341.35万元69从对偶价格栏栏可知第一年年初增加投资资1万元，将将导致第五年年末拥有资金金的本利增加加1.664万元；目前前第一年投资资额为200万；第二二年初增加投投资1万元（（比回收,因因为x2a+x2b+x2d-1.1x1a=0），，将导致第五五年末拥有资资金的本利增增加1.513万元，目目前第二年的的投资金额来来自第一年投投资于项目A而回收的110％的本本利；同样可可知第三年初初、第四年初初、第五年初初增加或减少少投资1万元元，将导致第第五年末拥有有资金的本利利分别增加或或减少1.375万元、、1.210万元、1.1万元；约束松松驰/剩余余变量对对偶价格格01.66401.51301.37501.2101.170从第6个至第第9个约束方方程对偶价格格栏中可知：：如果第一年年、第二年、、第三年、第第四年B项目目的投资额的的限制放松或或收缩1万元元指标(对应应于XiB≤30，I=1,2,3,4），将将导致第五年年末拥有的资资金的本利分分别增加或减减少0.055万元、0万元、0万万元、0.040万元；；约束松松驰/剩余余变量对对偶价格格600.0557009.8000.0471约束松松驰/剩余余变量对对偶价格格

1000.0251100.037从第10个和和第11个约约束方程对偶偶价格栏可知知：项目C（对应应于X3C≤80)、项项目D（对对应于X2D≤100)的的投资额的限限制放松或收收缩1万元的的指标，将导导致第五年末末拥有的资金金的本利分别别增加或减少少0.025万元、0.037万元元72第四个表格是是关于保持对对偶价格不变变的右边值的的变化范围的的，当某一个个的右边值在在此范围内变变化而其他右右边值不变时时，对偶价格格不变，例如如如果第一年年初现有资金金为190万万元，从表上上可知，190万元属于于保持对偶价价格不变的右右边值的变化化范围内，故故可以从其对对偶价格计算算出第五年末末所拥有的资资金的本利总总数为：341.35-(200-190)×1.664=324.71(万元)但如第一年初初现有资金低低于变化下限限177.8万元时，则则需要重新建建模求解。当当几个右边值值同时变化时时则可用百分分之一百法则则判断原来的的对偶价格是是否保持不变变。常数项范围：：约束下下限当当前值上上限1177.8200202.673在第三个表格格中列出了目目标函数中变变量系数的变变化范围，当当X5A、X4B、X3C和X2D中的一个变量量在此范围内内变化时，即即项目A的第第五年、项目目B的第四年年、项目C的的第三年、项项目D的第二二年投资在第第五年末的回回收本利的百百分比中的一一个在此范围围变化时，最最优解保持不不变。超出这这个范围，要要重新建模求求解，当几个个系数同时变变化时要用百百分之百法则则判断，部分目标系数数变动范围：：变量下下限当当前值上上限X5A01.11.12X4B1.211.25无无上限X3C1.3751.4无无上限X2D1.5131.55无无上上限74部分目标系数数变动范围改改为（书上P53有错））：变量下下限当当前值上上限X1A无下限00.055X1B-0.0550无无上限限X4A无下限00X3B000.025X3A无下限00.044X2B-0.04400X2A000.04同时常数项范范围也有错按按如下为准：：75常数项范围：：约束下下限当当前前值上上限限1177.85200202.62-24.3602.913-26.803.24-7.503.645-33.50无无上限603087.37