FIR滤波器设计知识讲座

DigtlalSignalProcessing——UsingMATLABFIR滤滤波器设设计数字频率率w的概概念定义：其中：Ω=2πf为模拟拟角频率率T:抽样样时间间间隔，fs:抽抽样频率率所以数字滤波波器设计必须须给出抽样频频率数字频率的2π等价于模拟抽抽样频率Ωs=2πfs按照Nyquist抽样样定理，基带带信号的频率率特性只能限限于|w|<ws/2=π的范围数字滤波器幅幅度响应(1)π数字低通滤波器1数字高通滤波器数字滤波器幅幅度响应(2)11数字带通数字带阻7.1概概论滤波器设计：：给定技术要要求设计系统统设计步骤：确定技术要求求：由具体应应用条件决定定提供一个逼近近要求的滤波波器的表述根据表述实现现滤波器下面讨论时我我们均假设技技术要求已知知7.1.1技技术要要求的给定幅度要求：绝对指标要求求：对幅度响响应|H(ejw)|给出要求求相对指标要求求：以分贝dB形式给出出相位要求：线线性相位一、绝对指标标要求(1)Passbandripple通带波纹Stopbandripple阻带波纹Transitionband过渡带绝对指标(2)频带[0,wp]称为通带passband,δ1是在理想通带带响应上可以以接受的容度度（或波纹））频带[ws,pi]称为阻带stopband,δ2是相应的阻带带容度（或波波纹）频带[wp,ws]称为过渡带transitionband,在这个频带内内幅度响应不不作要求二、相对指指标要求(1)0相对指标(2)Rp:以dB计的通带波波纹As:以dB计的阻带衰衰减两种指标之间间的关系：Rp和As的计算见P214ex7.1&ex7.2三、为什么只只讨论低通滤滤波器(LPF)上述指标都是是针对低通滤滤波器的其他类型的频频率选择性滤滤波器(如高高通或带通)也能给出类类似要求滤波器设计最最重要的参数数是频带容限限和频带边缘缘频率四、技术指标标举例设计一个低通通滤波器，它它具有一个通通带[0,wp]，通带内内频带容限为为δ1(或Rp，单单位dB)，一个阻带[ws,pi]，阻带内容容度为δ2(或As,单单位dB)最后求得结果果是得出滤波波器的系统函函数H(z)或差分方程程五、FIR滤滤波器的优点点相位响应可以以真正线性系统绝对稳定定，设计相对对容易高效实现可用DFT实实现实际应用时，，我们感兴趣趣的是线性相位的FIR滤波波器六、线性相位位响应的优点点设计问题中仅仅有实数运算算时延固定，没没有时延失真真对长为M的滤滤波器，运算算次数只有M/2量级7.2线线性相位位FIR滤波波器性质包括脉冲和频频率响应的形形状，系统函函数零点的位位置设h(n)是是长为M的脉脉冲响应，0≤n≤M-1，则在原点z=0处有(M-1)阶零零点，在z平平面其它处有有M-1个零点，频频率响应函数数可写为线性相位的脉脉冲响应形状状(1)因为频率响应应函数具有线线性相位这里是恒定相位位延迟(constantphasedelay)，由第6章知知，h(n)是对称脉冲冲响应因此，h(n)关于对称，根据据M的奇偶有有两种对称类类型线性相位的脉脉冲响应形状状(1)线性相位的脉脉冲响应形状状(2)第二类线性相相位满足条件件相位响应不通通过原点，但但斜率恒为常数，此此时称群时延(groupdelay)，可知h(n)是反对称脉脉冲响应h(n)仍然然关于对称，根据据M的奇偶有有两种对称类类型线性相位的脉脉冲响应形状状(2)对应频率响应应特性H(ejw)将M为奇和偶偶数结合对称称和反对称的的情况，得得到四种类型型的线性FIR滤波器对应每种类型型其频率响应应特性都有独独特性质，令令其中，Hr(w)是连续续的振幅响应函数，可正可可负的实函数数相位响应是一一个不连续函函数例：设脉冲响响应为h(n)={1，1，1，1}，求出并并画出频率响响应解：频率响应应函数为由方程可得：：I类线性相位位：对称脉冲冲响应，M为为奇数这种情况下，，beta=0，alpha=(M-1)/2是整数h(n)=h(M-1-n)，0≤n≤≤M-1将两式比较可可得：II类线性相相位:对称脉脉冲响应，M为偶数这种情况下，，beta=0，alpha=(M-1)/2不是整数h(n)=h(M-1-n)，0≤n≤≤M-1注意：Hr(pi)=0,因此不不能采用这种种类型设高通or带阻滤波器III类线性性相位：反对对称脉冲响应应，M为奇数数这种情况下，，beta=pi/2，，alpha=(M-1)/2是整整数h(n)=-h(M-1-n)，0≤n≤M-1Hr(0)=Hr(pi)=0,因因此这种滤滤波器不适合合设计低通或高通滤波器exp(jpi/2)=j，这种特性非常常适合设计希尔伯特变换换器和微分器器IV类线性相相位：反对称称脉冲响应，，M为偶数这种情况和II类似，有有Hr(0)=0andexp(jpi/2)=j.因此这种类型型适合用于设设计数字希尔伯特特变换器和微微分器MATLAB实现Hr_type1:求I类线性相相位的Hr(w)调用格式：[Hr,w,a,L]=Hr_type1(h)Hr_type2:求II类线性性相位的Hr(w)调用格式：[Hr,w,b,L]=Hr_type2(h)Hr_type3:求III类线线性相位的Hr(w)调用格式：[Hr,w,c,L]=Hr_type3(h)Hr_type4:求IV类线性性相位的Hr(w)调用格式：[Hr,w,d,L]=Hr_type4(h)小结了解了线性相相位FIR滤波器的各种种特性，便可可根据实际需需要选择合适适的FIR滤滤波器，同时时设计时要遵遵循有关约束束条件。如：第第3、、4种种情况况，对对于任任何频频率都都有固固定的的π/2相移，，一般般微分分器及及90°相相移器器采用用这两两种情情况，，而选选频性性滤波波器则则用第第1、、2种种情况况。(1)设计计线性性相位位的低低通DigtalFilter从幅度度特性性考虑虑，只只能选选择第第1种种或第第2种种第一种种：第二种种(2)设计计线性性相位位的高高通DF从幅度度特性性看，，可用用第一一种或或第四四种第一种种第四种种(3)设计计线性性相位位的带带阻DF从幅度度特性性考虑虑，只只能选选择第第一种种(4)设计计线性性相位位的带带通DF从幅度度特性性考虑虑，可可以选选择任任一种种线性相相位滤滤波器器的零零点位位置对实序序列而而言，，零点点是共轭出现的的;对对称称序列列而言言，零零点是是镜像出现的的;令q=z–1,f(q)的的系数数与f(z)刚刚好倒倒序.由于h(n)的的系数数是对对成的的，倒倒序并并不会会改变变系数数.如果zk是多项项式的的根，，则则pk=zk-1也是.对称系系数多多项式式的镜镜像零零点如果zk满足多多项式式:h0+h1zk-1+h2zk-2+..+hM-2zk-M+2+hM-1zk-M+1=0此时hM-1=h0,hM-2=h1,…那么rk=zk–1同样会会满足足方程程h0+h1rk+h2rk2+……+h1rkM-2+h0rkM-1=h0zkM-1+h1zkM-2+……+h2zk2+h1zk+h0=zkM-1(h0+h1zk-1+……+h1zk-M+2+h0zk–M+1)=01/z11/conj(z1)z1conj(z1)特殊的的如果零零点为为实数，则只只有两个零点：：z2,1/z2如果零零点在在单位圆圆上且为虚数，则只只有两个零点z3,z3*如果零零点在在单位圆圆上且为实数，则只只有一个零点z47.3窗窗口口设计计法设计步步骤给定要要求设设计的的理想想滤波波器的的频率率响应应Hd(ejw)设计一一个FIR滤波波器频频率响响应H(ejw)由于设设计是是在时时域中中进行行，使使所设设计滤滤波器器的h(n)去去逼近近理想想单位位取样样响应应序列列hd(n)理想滤滤波器器的频频率响响应Hd(ejw)设希望望设计计的滤滤波器器传输输函数数为Hd(ejw)，对对应脉脉冲响响应为为hd(n)，则则它们们满足足关系系：若已知Hd(ejw)，即可可求出出hd(n)，再经经过z变换换，就就可以以求出出系统统函数数H(z)，从而而设计计出系系统一般情情况下下，Hd(ejw)逐段恒恒定，在边界频频率处处有不不连续续点，因而而hd(n)是无限时时宽的，且且是非非因果果序列列。例：理理想低低通滤滤波器器的传传输函函数Hd(ejw)无失真真的理理想低低通的的传输输函数数为相应的的单位位取样样响应应hd(n)由上式式可知知，hd(n)无限长长，且为为非因果果序列理想低低通滤滤波器器的Hd(ejw)和h(n)波形设实际际实现现的低低通滤滤波器器单位位取样样响应应为h(n)，，长为为N，，其系系统函函数设计过过程相相当于于找到到一个个有限限长序序列h(n)，去逼逼近理理想低低通的的hd(n)，这必必然会会引入入误差差———频域域的吉吉布斯斯(Gibbs)效应应(截截断断效效应应)后果果：：引引起起通通带带和和阻阻带带内内的的波波动动效效应应，，尤尤其其是是使使阻阻带带衰衰减减减减小小设计计实实现现一一个个FIR滤滤波波器器H(ejw)例：：设设计计截截止止频频率率wc=/3时时延延为为6的的具具有有线线性性相相位位的的FIR低低通通滤波波器器为了了构构造造一一个个长长为为N的线线性性相相位位滤滤波波器器，，只只有有将将hd(n)截取取一一段段，，并并保保证证对对(N-1)/2对称称设截截取取的的段段用用h(n)表示示，，则则其中中W(n)：长长为为N的窗窗函函数数(这这里里取取矩矩形形序序列列)当当τ=(N-1)/2时，，截截取取的的h(n)对(N-1)/2对称称，，保保证证设设计计的的滤滤波波器器具具有有线线性性相相位位这里里，，hd(n)是以以n=6为为中中心心偶偶对对称称的的无无限限长长序序列列现用用一一个个有有限限长长N=13的的因因果果序序列列h(n)逼逼近近它它最简单的的方法：：给hd(n)加矩形窗窗RN(n)，即令W(n)=RN(n)，，则低通滤波波器脉冲冲响应波波形截断断处理示示意图截断处理理后，由由于h(n)满足对称称脉冲响响应，所所以一定定满足第第一类线线性相位位设计步骤骤先由Hd(ejw)求付里叶叶反变换换hd(n).砍头去尾尾。因为我们们要设计计FIR滤波器器h(n)必须满足足：因果性：：t<0时，h(n)=0-->砍头头线性相位位：要求求h(n)中心对称称或反对对称，由由于砍头头，所以以必须去去尾，让让它们中心对称称。即用有限限长的h(n)去逼近无无限长的的hd(n).利用卷积积过程。。即h(n)=W(n)××hd(n)可见窗函函数序列列的形状状及长度度的选择择是设计计关键。。窗口法设设计数字字滤波器器主要任务务：寻找找最有效效的方法法截断hd(n)，即用一个有有限长度度的窗口口函数序序列W(n)来截取hd(n)，使H(ejw)最逼近Hd(ejw)通过加窗窗可得到到不同类类型的数数字滤波波器数字低通通数字高通通数字带通通数字带阻阻数字低通通设h(n)是长为N，以τ=(N-1)/2为中心偶偶对称的的函数h(n)的设计根据前面面讨论可可知，低低通滤波波器只能能选择对对称脉冲冲响应当N为奇奇数时，，设计第第一种情情况的线线性相位位低通DF当N为偶偶数时，，设计第第二种情情况的线线性相位位低通DF设选用矩矩形窗，，即设计举例例：用矩形窗窗设计截截止频率率wc=/3的的具有线线性相位位的FIR低通通滤波器若取N=13，，为奇数数，则对对称脉冲冲响应若取N=12，，为偶数数，则数字高通通理想的线线性相位位高通DF的频频率特性性为：其幅度特特性：1冲激响应应理想高通通滤波器器冲激响响应加窗处理理后的数数字滤波波器冲激激响应分析因为为为偶函函数，W(n)为常数数当N为奇奇数时，，对应第第一种线线性相位位，h(n)=h(N-1-n)为为对称脉脉冲响应应当N为偶偶数时，，对应第第四种线线性相位位，h(n)=-h(N-1-n)为反对对称脉冲冲响应取矩形窗窗时，W(n)=RN(n)取N=13，为为奇数，，则取N=12，为为偶数，，则理想数字字带通滤滤波器理想的线线性相位位带通DF的频率特性性为：1其冲激响应应hd(n)加矩形窗处处理后，得得到分析：若选择相位位有相移的的理想带通通DF频率特性为为：此时的脉冲冲响应加矩形窗处处理后分析此时的h(n)一定定为反对称称序列当N为奇数数时，对应应第三种线线性相位，，当N为偶数数时，对应应第四种线线性相位，，7.4加加窗对对系统频率率响应的影影响根据频域卷卷积定理，，加窗后，，滤波器的的频率响应应现在我们以以低通滤波波器为例来来讨论：加窗后，频频率响应发发生了什么么变化加什么样的的窗，可以以使变化减减至最小7.4.1矩矩形窗矩形窗口的的频率特性性为用幅度响应应和相位响响应的乘积积表示为矩形窗（2）当w很小时，当w很大时，WR(w)为周期函数数主瓣矩形窗处理理后的频率率响应根据频域卷卷积定理可可得Wr(w-wc)Wr(w-wc+2π/N)Wr(w-wc-2π/N)加窗后的低低通滤波器器频谱几个特殊频频率点w=0处，，响应值为为窗函数数频谱Wr(w-θ)和理想低低通滤波器器频率特性性Hd(θ)的乘积的的积分，可可近似看作作Wr(θ)在-π到π的全部积分分面积w=wc处处，Hd(θ)刚好与Wr(w-θ)的一半重重叠，因此此H(wc)=0.5H(0)w=wc-2π/N处，Wr(w-θ)的全部主主瓣在Hd(θ)的通带之之内，因此此卷积结果果有最大值值，频率响响应出现正正肩峰w=wc+2π/N处，Wr(w-θ)的全部主主瓣在Hd(θ)的通带之之外，通带带内的旁瓣瓣负的面积积大于正的的面积，因因此卷积结结果有最负负值，频率率响应出现现负肩峰几个特殊频频率点（2）当w>wc+2π/N后，Wr(w-θ)的左边旁旁瓣的起伏伏部分扫过过通带，卷卷积值围绕绕零值而波波动当w<wc+2π/N时，Wr(w-θ)的右旁瓣瓣进入通带带，卷积值值围绕H(0)而波波动加矩形窗对对理想低通通滤波器的的影响使理想频率率特性不连连续点处边边沿加宽，，形成过渡渡带，过渡渡带的宽度度等于窗的的频谱主瓣瓣宽度4π/N在截止频率率wc的两两边处处，，H(w)出现肩峰峰，肩峰的的两侧形成成起伏振荡荡，振荡幅幅度取决于于旁瓣相对对幅度，振振荡多少，，取决于旁旁瓣的多少少增加截取长长度，则主主瓣附近的的窗的频率率响应可见改变N，只能改改变窗的主主瓣宽度，，w坐标的的比例和Wr(w)的绝对值值大小，而而不能改变变主瓣与旁旁瓣的相对对比例矩形窗的频频谱示意图图各种窗函数数矩形窗阶段段造成府肩肩峰为8.95%，，阻带最小小衰减为21dB，，不符合工工程需要为了加大阻阻带衰减，，只能改善善窗函数形形状，使窗窗谱尽量逼逼近冲击函函数，即绝绝大部分能能量集中在在频谱中点点一般窗函数数满足两项项要求：窗谱主瓣尽可能能的窄，以得到较较陡的过渡渡带尽量减少最大旁瓣的相对幅度一般而言，，上面两项项要求不能能同时满足足矩形窗三角形(BARTLETT)窗升余弦窗（（汉宁Hanning窗）-1左移右移倒余弦升余弦窗（（汉宁Hanning窗）-2升余弦窗（（汉宁Hanning窗）-3由于频谱是是由三个互互有频移的的不同幅值值的矩形窗窗函数相加加而成，这这样使旁瓣瓣大大抵消消，从而能能量相当有有效地集中中在主瓣内内。其代价:主主瓣加宽一一倍，可达达到减少肩肩峰，余振振，提高阻阻带衰减。。缺点：过过滤带加大大改进的升余余弦窗(汉汉明Hanning窗)-1其频谱函数数为其幅度函数数为改进的升余余弦窗（汉汉明Hamming窗）-2二阶升余弦弦窗(布拉拉克曼Blackman窗)凯塞窗（Kaiser窗）以上几种窗窗函数是各各以一定主主瓣加宽为为代价，来来换取某种种程度的旁旁瓣抑制，，而凯窗则则是：全面地反映映主瓣与旁旁瓣衰减之之间的交换换关系，可以在它们们两者之间间自由地选选择它们的的比重。滤波器阶数数(长度)M的选择择

名称近似过渡带宽精确过渡带宽最小阻带衰减矩形4π/M1.8π/M21dB巴特利特8π/M6.1π/M25dB汉宁8π/M6.2π/M44dB哈明8π/M6.6π/M51dB布莱克曼12π/M11π/M74dB取Kaiser窗时时设定beta,再再用kaiserord函数求得MMatlab实现现W=boxcar(M):产产生M点的矩形形窗W=triang(M):产产生M点的的Bartlett窗W=hanning(M)产产生生M点的Hanning窗W=hamming(M)产产生M点的Hamming窗W=blackman(M)产生生M点的Blackman窗窗W=kaiser(M,beta)产产生beta值的的M点Kaiser窗Examples例：设计一一个数字FIR低通通滤波器，，技术指标标如下:wp=0.2π，Rp＝0.25dB，ws＝＝0.3ππ，As＝＝50dB首先查表选选择满足阻阻带衰减的的窗函数从中选择最最合适的(过渡带较较小的)调用MATLAB函函数进行设设计验证设计滤滤波器是否否满足通带带波纹如果不能满满足，则换换用过渡带带较大的，，重复以上上步骤如果满足，，则设计成成功频率采样设设计法(1)设计原理：：系统函数数H(z)能够从频率率响应H(ejw)的样本H(k)中恢复基本思想：：已知理想想低通滤波波器Hd(ejw)，选取滤波波器长度为为M，在[0，2π]区间以M等分频率对对Hd(ejw)采样得H(k)，再由其离离散傅里叶叶反变换h(n)得系统函数数H(z)h(n)=IDFT[H(k)]可用函数ifft计算频率采样设计计法(2)特点：采样频率点上上近似误差为为0其它频率点上上的近似误差差取决于理想想响应的形状状，理想响应应愈陡峭，近近似误差越大大靠近通带边缘缘的误差较大大，通带内误误差较小分类：直接设计法：：直接利用基基本思想，在在近似误差上上不给出任何何条件最优设计法：：通过改变过过渡带内的样样本值将阻带带内误差减至至最小PhaseforType1&2PhaseforType3&4直接设计法(Naivedesignmethods)设计思想：令H(k)=Hd(ej2πk/M)，k=0,1,…,M-1，用h(n)=IDFT[H(k)]求得脉冲响应应h(n)例：用频率采采样法设计一一个数字FIR低通滤波波器，技术指指标如下:wp=0.2π，Rp＝＝0.25dB，ws＝＝0.3π，，As＝50dB分析：取M=20，使在wp处有一个样本本，即k=2wp=0.2π=(2π/20)2下一个样本在在ws，即在k=3wp=0.3π=(2π/20)3这样通带内[0≤w≤wp]内有3个样样本，在阻带带[ws≤w≤π]内有7个样样本Hr(k)=[1,1,1,0,……,0,1,1]共15个零由于M=20，α=(M-1)/2=9.5，为II类线线性相位滤波波器再由IDFT可得h(n)MATLAB编程解得M=20;alpha=(M-1)/2;l=0:M-1;w1=(2*pi/M)*l;Hrs=[1,1,1,zeros(1,15),1,1];Hdr=[1,1,0,0];wdl=[0,0.25,0.25,1];k1=0:floor((M-1)/2);k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;angH=[-alpha*(2*pi)/M*k1,alpha*(2*pi)/M*(M-k2)];H=Hrs.*exp(j*angH);h=real(ifft(H,M));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1);[Hr,ww,a,L]=Hr_Type2(h);最优设计法(Optimumdesignmethod)设计方法：增增大取样点数数M，并让过渡样样本作为自由由样本，改变变他们的值以以得到在给定定M的条件下下的最大衰减减及过渡带宽宽例：利用最优优设计法设计计一个比上例例更好的低通通滤波器增加取样点数数M=40，以使过渡带带内(0.2π<w<0.3π)有一个样本本，在k=5和k=35处，用T表示示这两个样本本值，其中0<T<1，，则以采样的的振幅响应Hr=[1,1,1,1,1,T,0,……,0,T,1,1,1,1]共29个零由于alpha=(M-1)/2=19.5，，相位响应的的样本是现在我们考虑虑如何选取T值，以得到到更好的最小小阻带衰减首先我们选取取通带和阻带带幅度的中值值0.5用MATLAB编程解得得MATLAB程序M=40;alpha=(M-1)/2;l=0:M-1;w1=(2*pi/M)*l;Hrs=[1,1,1,1,1,0.5,zeros(1,29),0.5,1,1,1,1];Hdr=[1,1,0,0];wdl=[0,0.25,0.25,1];k1=0:floor((M-1)/2);k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;angH=[-alpha*(2*pi)/M*k1,alpha*(2*pi)/M*(M-k2)];H=Hrs.*exp(j*angH);h=real(ifft(H,M));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1);[Hr,ww,a,L]=Hr_Type2(h);结论：通过改变一个个样本值，我我们得到一种种更好的设计计实际系统的过过渡带往往很很小，只有一一到两个样本本，只需优化化较少的样本本就可以获得得最大的最小小阻带衰减这等小于使最最大旁瓣幅度度最小化，因因此这类优化化问题也称最最大最小化问问题(minimaxproblem)最优过渡值表表见文献19的附录B最优等波纹设设计法窗口设计法和和频率采样设设计法的缺陷陷设计过程不能能将边缘频率率wp和wc精确给定不能够同时标标定波纹因子子δ1和δ2，近似误差在频频带区间上不不是均匀分布布的，靠近频频带边缘误差差愈大，远离离频带边缘误误差愈小上述缺陷的克克服对线性相位FIR滤波器而言，，可以导出一一组条件，使使最大近似误误差最小化的的意义下设计计的解达到最最优(最大值值最小误差或或Chebyshev误差)满足这种条件件的滤波器称称为等波纹滤滤波器，其近近似误差在通通带和阻带均均匀分布，且且实现相同性性能滤波器时时阶数更低最大最小问题题的建立线性相位FIR滤波器4种情况的频频率响应都能能写为如下形形式其中beta和Hr(w)的表达式在表表7.2(P.265)中给出出利用三角函数数恒等式，可可将上面每个个Hr(w)表达式写成成一个w的函数Q(w)和一个余弦和和的函数P(w).其中四种情况下的的Q(w)，L和P(w)由表7.3(P.279)给出Chebyshev近近似问题分析的目的是是为了对4种种情况有Hr(w)的共同形形式.这将将使问题的